蒲錦泉

（莆田第一中學(xué)，福建 莆田 351100）

高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動的關(guān)鍵是促使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)會學(xué)數(shù)學(xué)、會用數(shù)學(xué)的情境。數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，那么采取什么辦法可以使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有效地落地?章建躍教師認為，從數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上加以思考，是落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵途徑，需要教師改進教學(xué)的方式以適應(yīng)這一要求。下面以《方程的根與函數(shù)的零點》為例進行分析與思考。

一、教學(xué)設(shè)計理念

本節(jié)以素養(yǎng)立意，遵循“問題、探究、建構(gòu)、應(yīng)用”的活動過程，以層層遞進的“問題串”引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，運用從特殊到一般的研究策略，基于數(shù)學(xué)本質(zhì)而進行教學(xué)流程的優(yōu)化和“再創(chuàng)造”，積極啟發(fā)學(xué)生思考。促進學(xué)生逐步學(xué)會觀察聯(lián)系、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、邏輯分析、尋找材料，辨析驗證、得出結(jié)論，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念與定理的生成過程，感悟蘊含其中的數(shù)學(xué)思想與方法，逐步學(xué)會批判性思維、學(xué)會數(shù)學(xué)運用和創(chuàng)新。教學(xué)中既關(guān)注知識的生成過程，又關(guān)注學(xué)生的體驗，重在鼓勵、激發(fā)和喚醒學(xué)生。

二、教學(xué)過程框架

1.問題1數(shù)學(xué)中許多問題最終是轉(zhuǎn)化為方程求解問題，如何求解方程lnx+2x-6=0？

設(shè)計說明：設(shè)置問題情景，引發(fā)認知的沖突，促使學(xué)生認識到有些復(fù)雜的方程用以前的方法難以求出根，需要尋找解決問題的一般方法，學(xué)會提出、生成數(shù)學(xué)問題。

2.問題2探究方程f（x）=0的根與函數(shù)y=f（x）的聯(lián)系。

先探究一元二次方程的根與相應(yīng)二次函數(shù)間的聯(lián)系，分別以方程x2-2x-3=0、x2-2x+1=0、x2-2x+3=0引導(dǎo)學(xué)生思考，并推廣得到：

結(jié)論1：一元二次方程的實數(shù)根就是二次函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)；一元二次方程有實數(shù)根等價于二次函數(shù)圖象與x軸有交點。

結(jié)論2：方程f（x）=0的實數(shù)根就是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，方程f（x）=0有實數(shù)根等價于函數(shù)y=f（x）圖象與x軸有交點。

3.零點概念為敘述方便起見，引進函數(shù)的零點的概念，并得到三個等價關(guān)系：

方程f（x）=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點?函數(shù)y=f（x）有零點。

4.概念應(yīng)用

例1（1）函數(shù)y=2x-2的零點是_____；（2）函數(shù)y=2x-3 的零點是_____；（3）函數(shù) y=log2（x-1）的零點是____；

5.問題3探究函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上存在零點的條件。

師：觀察函數(shù)y=x2-2x-3的零點的特征。在零點-1的兩側(cè)，從左往右看，函數(shù)值由正變負，函數(shù)圖象穿過x軸，函數(shù)就有零點，同理考察零點3，那么函數(shù)圖象穿過x軸如何用數(shù)學(xué)符號來描述呢？由這些你歸納出問題3的條件嗎？

生：函數(shù)f（x）滿足f（a）·f（b）＜0。

6.問題 4 若函數(shù) y=f（x）在區(qū)間［a，b］上滿足 f（a）·f（b）＜0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有一定有零點？

生：連續(xù)函數(shù)。

師：你能舉例說明嗎？

師：還有補充？

生：f(x)={x+1,x≥0,在區(qū)間［-1，2］上滿足（fx-1,x＜0.1）·（f2）＜0，但在區(qū)間（-1，2）內(nèi)無零點。

7.問題5若函數(shù)f（x）滿足f（a）·f（b）＞0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定有零點嗎？

生：不一定，引導(dǎo)觀察二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象在區(qū)間（-2，4），（4，5）的情況說明。

師：生活中有沒有類似上面所講的情況嗎？如果溫度從3℃變到-6℃或者-3℃變到6℃，其間是否經(jīng)過0℃?溫度從3℃變到6℃，其間是否經(jīng)過0℃?

8.生成定理

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b）使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。

9.定理的理解及辨析：

例2下列說法是否正確？不對的請舉出反例（畫出圖象）。

（1）如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 f（a）·f（b）＜0，則函數(shù) y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有唯一零點。

（2）如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上是增函數(shù)，并且有f（a）·f（b）＜0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有唯一零點。

（3）已知函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上連續(xù)的，若在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，則f（a）·f（b）＜0。

總結(jié)：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線：

（1）若f（a）·f（b）＜0，且函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)，則函數(shù)有唯一零點；

（2）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點未必有f（a）·f（b）＜0。

10.定理應(yīng)用

例3求函數(shù)f（x）=ln x+2x-6的零點的個數(shù)

學(xué)生自主探究。

法一：可先畫出草圖，結(jié)合性質(zhì)、試驗、并加以判斷。

法二：在同一坐標(biāo)系中分別畫出y=lnx與y=6-2x的圖象，兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)即為原函數(shù)的零點。由圖象可知，原函數(shù)有唯一零點。

問題6兩種方法有何聯(lián)系與區(qū)別？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生認識到兩種方法的本質(zhì)是一致的，即F（x）=f（x）-g（x）的零點就是函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象交點的橫坐標(biāo)，在求方程的近似解時用法一比較方便；當(dāng)y=f（x）與y=g（x）的圖象容易畫時，分離函數(shù)來判斷零點個數(shù)可能比較方便。

11.反饋練習(xí)

（1）函數(shù) f(x)=(x2+2x+1)(x2-2x-2)的零點個數(shù)為______；

（2）判斷方程x2-2x-2=0的根大概在什么區(qū)間內(nèi)（多種思路）；

（3）函數(shù)f（x）=2x+x-3的零點是________；

（4）方程2x+x2=2的根的個數(shù)是多少？

思考：你能歸納判斷函數(shù)零點個數(shù)有哪些方法嗎？

12.歸納提升從知識、方法、思想等角度歸納提升，形成整體認識。

13.課后思考

（1）ln x+2x-6=0的根是多少？如何探求？（為下節(jié)的二分法作準(zhǔn)備）

（2）如何求解不等式x2-2x-3＞0？今天的學(xué)習(xí)對此問題的解決有何啟示？

三、以素養(yǎng)立意的課堂教學(xué)問題思考

以素養(yǎng)立意的課堂教學(xué)，應(yīng)從哪些方面著力？一節(jié)課的教學(xué)活動是難以把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個維度一一呈現(xiàn)，因此課堂教學(xué)的重點更應(yīng)落在以下幾方面。

1.把握核心知識，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)

知識是能力的載體，因此教學(xué)中首先要落實對核心知識準(zhǔn)確把握與理解，落實好教學(xué)目標(biāo)與要求，本節(jié)的核心知識是：（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖象，認識方程的根與函數(shù)的零點的本質(zhì)聯(lián)系；（2）理解函數(shù)零點的存在條件，會判斷函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)是否有零點。

首先，要讓學(xué)生認識到一元二次方程根的存在的本質(zhì)。在講到一元二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系時，學(xué)生會認為，一元二次方程根存在的本質(zhì)原因是與其判別式有關(guān)。教學(xué)中教師必須指明，雖然可以用判別式來判斷一元二次方程根的存在，但其根存在的實質(zhì)是相應(yīng)的函數(shù)圖象和x軸有交點，沒有揭露出方程根存在的本質(zhì)原因是相應(yīng)函數(shù)的零點的存在，那么就會導(dǎo)致學(xué)生對引入函數(shù)零點的必要性缺乏深刻的認識，認識不到其一般性和本質(zhì)性。所以，在研究一元二次方程與其相應(yīng)函數(shù)圖象的關(guān)系時，讓學(xué)生理解方程根存在的本質(zhì)。這樣，才能將所得到的判斷方程根存在的方法推廣到一般情況，對于沒有判別式的其他方程就可以根據(jù)相應(yīng)的函數(shù)圖象來判斷了。

其次，讓學(xué)生理解函數(shù)零點的存在條件，會判斷函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)是否有零點。教學(xué)中花了較多的時間在這些核心知識的建構(gòu)與理解上。在練習(xí)階段，進一步體會定理的應(yīng)用，像判斷方程x2-2x-2=0的根時可用圖象去處理，令f（x）=x2-2x-2，由于f（0）=-2＜0，加上圖象開口向上即可判斷，加強數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用。對于方程2x+x2-2=0的根的判斷卻遇到了困難，因為函數(shù)f（x）=2x+x2-2的圖象不容易畫，這時啟發(fā)學(xué)生能否像例3的法二那樣化為函數(shù)y=2x與y=2-x2的圖象交點去研究。要讓學(xué)生明白：求F（x）=f（x）-g（x）的零點與求函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象交點的橫坐標(biāo)，其本質(zhì)是一致的。師生最后再共同歸納出判斷函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)是否有零點的方法，即代數(shù)方法：若方程f（x）＝0的解可求或能判斷解的個數(shù)，可通過方程的解來判斷函數(shù)零點的個數(shù)；幾何方法：先研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合零點存在定理判斷或者把函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象交點橫坐標(biāo)，這樣可以提升學(xué)生對核心知識的整體理解水平。

2.聚焦關(guān)鍵能力，感悟數(shù)學(xué)思想

本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容具有豐富的數(shù)學(xué)思想與方法，因此要從學(xué)生發(fā)展的角度去設(shè)計問題，讓學(xué)生入寶山而不“空返”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)，促進學(xué)生“有邏輯地思考”。

問題是數(shù)學(xué)思考的起點，因此要創(chuàng)設(shè)合理情境，在學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)和新概念間尋找“最近發(fā)展區(qū)”，引起學(xué)生的認知沖突，激發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生學(xué)會提出問題，學(xué)會數(shù)學(xué)思考。引入環(huán)節(jié)是這樣的：在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，許多問題最終是轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，并讓學(xué)生思考：如何解方程lnx＋2x－6＝0？這個方程不能用求根公式求解，怎么辦？必須尋找新的更一般的方法，途徑在哪里？需要教師啟發(fā)學(xué)生從方程lnx＋2x－6＝0聯(lián)想函數(shù)，以此引導(dǎo)學(xué)生探究方程的根與函數(shù)的本質(zhì)聯(lián)系，讓學(xué)生思考這種利用函數(shù)去研究方程的方法是否具可行性?是否具有一般性？因為每個方程都對應(yīng)著一個函數(shù)，這種思路當(dāng)然具有一般性。面對新問題，應(yīng)該怎么辦？教師引導(dǎo)學(xué)生化生為熟，先從簡單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)開始研究再推廣，這其間可以提問學(xué)生如何歸納所看到的事實并加以推廣，培養(yǎng)其思考問題的習(xí)慣，學(xué)會如何提出問題，如何解決問題。

用函數(shù)的觀點看待方程，把解方程f（x）=0的問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=f（x）圖像與x軸的交點問題，再引入函數(shù)的零點概念，這其間經(jīng)歷由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化，可引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)符號表達函數(shù)圖象“穿過”x軸，讓學(xué)生學(xué)會直觀想象學(xué)會數(shù)學(xué)表達。經(jīng)歷由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，可以從數(shù)和形的角度賦予方程更多的內(nèi)涵，直至得到定理的嚴謹表述，可以讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)直觀，學(xué)會數(shù)學(xué)表達、交流，體會蘊含其中的化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。

本節(jié)從特殊的一元二次方程入手，引進函數(shù)的零點概念并探究一般方程的根與函數(shù)零點的聯(lián)系；再從特殊的二次函數(shù)入手，探究生成函數(shù)零點的存在性定理，結(jié)合生活并通過正反例子不斷加深對定理的理解與辨析，可以讓學(xué)生學(xué)會抽象概括，學(xué)會邏輯推理。注重抽象能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生經(jīng)歷零點的概念和定理的形成過程，最后通過總結(jié)，再次引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)怎樣進行歸納與結(jié)構(gòu)化，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象與邏輯分析過程，體會從特殊到一般研究問題的基本策略，有利于學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣。

促進學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考不僅停留在口頭上，而應(yīng)有具體的方式措施，比如引導(dǎo)學(xué)生能用數(shù)學(xué)的方式閱讀、表達和交流，能讓學(xué)生學(xué)會遷移創(chuàng)新、學(xué)會數(shù)學(xué)應(yīng)用。課后要求閱讀課本（二分法），學(xué)生自己嘗試考慮如何求方程lnx＋2x－6＝0的近似解。課后思考（2）：如何求解不等式x2-2x-3＞0？目的是讓學(xué)生類比本節(jié)的思想，尋找求解不等式的一般方法，讓學(xué)生在更大范圍內(nèi)聯(lián)系學(xué)習(xí)，學(xué)會遷移創(chuàng)新，完善認知結(jié)構(gòu)，形成函數(shù)、方程、不等式的有機整體。

3.發(fā)展必備品格，體現(xiàn)素養(yǎng)立意

數(shù)學(xué)教育不能忽視對學(xué)生的人文教育。那么，本節(jié)課的數(shù)學(xué)品格發(fā)展應(yīng)體現(xiàn)在那些方面？首先應(yīng)該體現(xiàn)在函數(shù)與方程的辯證認識上，方程f（x）=0就是函數(shù)y=f（x）的值為0狀態(tài)，方程的根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題。本節(jié)中的“數(shù)”與“形”、“靜態(tài)”與“動態(tài)”“特殊”與“一般”等都是具有辨證意味的。其次，發(fā)展必備品格要用“數(shù)學(xué)的方式”。即抽象化、運用符號、建立模型、邏輯分析、推理、計算，不斷地改進、推廣，更深入地洞察內(nèi)在的聯(lián)系，在更大范圍內(nèi)進行概括，建立更為一般的統(tǒng)一理論等。教師教學(xué)中對具有數(shù)學(xué)思維方式、觀念的建構(gòu)，進行數(shù)學(xué)文化的滲透，就是發(fā)展學(xué)生必備品格的具體措施。教師把這種思考方式傳遞給學(xué)生，就是素養(yǎng)立意的重要體現(xiàn)。

4.素養(yǎng)立意的課堂教學(xué)實施建議

在具體的課堂教學(xué)中落實核心素養(yǎng)，應(yīng)該注意從以下幾個方面著手：（1）增強核心知識的把握能力。教師應(yīng)該站在學(xué)科知識系統(tǒng)整體的角度，加強課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)習(xí)和教材的研究，把握住數(shù)學(xué)知識發(fā)展的脈絡(luò)，深刻理解數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，挖掘最有育人價值的知識作為核心知識，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想。（2）提升關(guān)鍵能力的聚焦水平。教師首先要通過把握教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)來設(shè)計教學(xué)框架，然后根據(jù)教學(xué)框架來考慮需要突出的思想方法和關(guān)鍵能力。學(xué)生能力的培養(yǎng)需要因教學(xué)內(nèi)容的不同而有所選擇、有所聚焦。每一節(jié)課可以培養(yǎng)的學(xué)生能力不盡相同，教師應(yīng)該根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同，將關(guān)鍵能力的培養(yǎng)聚焦于某些能力，并在具體的核心知識的教學(xué)中，滲透關(guān)鍵能力的培養(yǎng)。（3）促進必備品格的逐步養(yǎng)成。必備品格的培養(yǎng)對于學(xué)科育人來講尤為重要，但是需要注意的是必備品格的培養(yǎng)不可一蹴而就，不能脫離具體的教學(xué)內(nèi)容而牽強附會地設(shè)計并實施，應(yīng)該做到因需設(shè)計。（4）構(gòu)建靈動智慧的“生本”課堂。教學(xué)中應(yīng)突顯數(shù)學(xué)靈動的特質(zhì)，即注重本質(zhì)思想、注重情境創(chuàng)設(shè)、注重探究生成、注重邏輯思維、注重創(chuàng)新應(yīng)用、注重激活課堂，在如何更有效地促進學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考的問題上著力，以“慢教學(xué)”引出更多的想法。

［1］章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.

［2］文衛(wèi)星.讓生態(tài)課堂成為常態(tài)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（9）.

［3］陳平.落實核心素養(yǎng)應(yīng)立意于內(nèi)化［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2017（5）.