李二偉　趙鐵石　王　唱　邊　輝　胡強強　冀文杰

(1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室， 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué)先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室， 秦皇島 066004)

0　引言

受海風(fēng)、浪、涌等的影響，在系泊或動態(tài)定位系統(tǒng)作用下的補給船仍會產(chǎn)生橫搖、縱搖和垂蕩三自由度的復(fù)合運動，在高海況下，這些運動會嚴重影響海上平臺(如風(fēng)電塔、鉆井平臺)的貨物補給和轉(zhuǎn)運，如不采取措施甚至?xí)斐杉装鍝p壞、人員誤傷和財產(chǎn)損失。荷蘭Barge Master公司設(shè)計了一種用于海上接貨的穩(wěn)定平臺[1]并已商用，其機構(gòu)形式為3SS-3SPS兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)機構(gòu)，可以補償船舶的橫搖、縱搖和垂蕩運動。

并聯(lián)機構(gòu)具有剛度大、承載能力大、累積誤差小的優(yōu)點，在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用。具有兩轉(zhuǎn)一移的少自由度并聯(lián)機構(gòu)3-RPS得到眾多學(xué)者的研究[2-10]。并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)的建模方法常用的有牛頓-歐拉法[11]、拉格朗日法[12]、凱恩法[13]和影響系數(shù)法[14]。落海偉等[15]運用子結(jié)構(gòu)綜合和模態(tài)縮聚技術(shù)，提出了全3-RPS全柔性并聯(lián)機構(gòu)的彈性動力學(xué)建模方法；LEE等[16]采用拉格朗日方法分析了3-RPS機構(gòu)的動力學(xué)特性；ZHANG等[17]運用螺旋理論分析了3-RPS機構(gòu)的動力學(xué)；LI等[18]在考慮基于3-RPS機構(gòu)的A3主軸頭重力的情況下，建立了從操作空間外力到關(guān)節(jié)空間關(guān)節(jié)反力的全雅可比矩陣。

本文設(shè)計一個可以補償船舶橫搖、縱搖和垂蕩的具有3個變形剪叉分支的兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)穩(wěn)定接貨平臺?；谑噶糠ǚ治錾掀脚_的伴隨位移、速度和加速度，相應(yīng)求得其位置解，然后基于螺旋理論建立該機構(gòu)的運動學(xué)、動力學(xué)解析模型，最后通過數(shù)值算例進行仿真驗證。

1　并聯(lián)穩(wěn)定接貨平臺構(gòu)型分析

圖1　并聯(lián)穩(wěn)定接貨平臺Fig.1　Parallel stabilizing cargo-receiving platform

圖2　變形剪叉分支的造型圖和機構(gòu)等效圖Fig.2　Profile diagram and equivalent mechanism of MSM limb

1.1　分支的機構(gòu)描述和等效

建立隨體坐標(biāo)系{Ai}，Ai位于對稱中心點，X軸與U1副的第2個軸線平行，Y軸沿U1副和U1′副中心的連線，Z軸根據(jù)右手法則確定。分支中桿1和1′、桿2和2′、兩個驅(qū)動單元采用相同結(jié)構(gòu)，且都關(guān)于XAY面對稱布置。設(shè)U1、U1′、R12、R1′2′和R22′各運動副中心點的坐標(biāo)分別為(0，-b1，0)，(0，b1′，0)，(0，b2，c2)，(0，-b2′，-c2′)和(0，b3，c3)。根據(jù)運動的約束螺旋法，當(dāng)2個SPS驅(qū)動單元同步運動時，即b1=b1′，b2=b2′，c2=c2′，b3=0，變形剪叉分支的運動螺旋系為(由于SPS驅(qū)動單元為6自由度分支，不影響分支的運動等效分析，這里忽略其運動螺旋)

(1)

經(jīng)過線性組合，可得式(1)運動等效螺旋系為

(2)

所以當(dāng)兩驅(qū)動單元同步時，變形剪叉分支和RPS分支運動等效。

1.2　穩(wěn)定接貨平臺的機構(gòu)描述

為便于分析，首先把變形剪叉分支等效為RPS分支，則整個機構(gòu)可以等效為3-RPS并聯(lián)機構(gòu)，如圖3所示，建立下述右手坐標(biāo)系：地球坐標(biāo)系{e}、船舶(慣性測量模塊)坐標(biāo)系{s}、下平臺坐標(biāo)系{o}、上平臺坐標(biāo)系{p}。初始時{s}系與{e}系重合，{p}系、{o}系和{s}系的x、y坐標(biāo)軸相互平行，z軸相互重合。{p}系坐標(biāo)原點p位于上平臺鉸鏈點Bi(i=1，2，3)圍成圓的圓心，且圓的半徑為rb，xp軸過B1鉸鏈點，yp軸平行于B2、B3鉸鏈點的連線。{o}系坐標(biāo)原點o位于下平臺等效鉸鏈點Ai(i=1，2，3)圍成圓的圓心，且圓的半徑為ra，xo軸過A1等效鉸鏈點，yo軸平行于A2、A3等效鉸鏈點的連線。另外oA2、oA3與xo軸的夾角分別為θ1和θ2。

圖3　并聯(lián)穩(wěn)定平臺的等效機構(gòu)Fig.3　Equivalent mechanism of PSCRP

2　并聯(lián)穩(wěn)定接貨平臺的運動學(xué)分析

2.1　等效3-RPS并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)分析

erep=eres+Ressrso+ReooroBi-RepprpBi

(3)

由于轉(zhuǎn)動副的限制，各等效RPS分支的球鉸中心Bi(i=1,2,3)的軌跡被分別限制在與轉(zhuǎn)動副軸線垂直且過轉(zhuǎn)動副鉸鏈點Ai(i=1,2,3)的平面內(nèi)，則

(4)

式(3)和(4)共有12個線性方程，含有12個未知數(shù)(x、y、γ、oxBi、oyBi、ozBi，i=1,2,3)，則聯(lián)立可解得

(5)

其中

u1=sθ1tθ2-sθ2tθ1u2=tθ1tθ2(sθ1-sθ2)

u3=tθ1(1-cθ2)-tθ2(1-cθ1)
δ=γ+θ2

式中c表示cos，s表示sin，t表示tan。

(6)

(7)

其中

則可求得上平臺{p}相對地球{e}的旋量速度eVep和旋量加速度eAep為

(8)

(9)

其中

同樣可求得下平臺{o}相對地球{e}的旋量速度eVeo和旋量加速度eAeo為

(10)

(11)

{e}、{o}、{p}三者之間的旋量速度和旋量加速度有以下關(guān)系

eVep=eVeo+eVop=eVeo+AdgeooVop

(12)

(13)

由式(12)和(13)可分別求得{p}相對于{o}表示在{o}系的旋量速度oVop和旋量加速度oAop。

在{o}系中，根據(jù)矢量的疊加原理可得

orop=oroAi+orAiBi-RopprpBi(i=1,2,3)

(14)

聯(lián)立式(3)和(14)，可求得等效鉸鏈點Ai到Bi表示在{o}系的矢徑orAiBi和距離li=|orAiBi|。

在{o}系中，運用虛設(shè)機構(gòu)法[19]和旋量加速度理論[20]對3-RPS機構(gòu)進行速度和加速度分析。首先對各等效RPS分支分別虛設(shè)與R副垂直且不平行P副的轉(zhuǎn)動副，并設(shè)為驅(qū)動副，虛設(shè)后的機構(gòu)如圖4所示，則第i分支的運動螺旋系為

(15)

式中O——3×1零矩陣

對于第1分支os11=oe1，os12=oe2；對于第2分支os21=Rot(ozo,θ1)oe1，os22=Rot(ozo,θ1)oe2；對于第3分支os31=Rot(ozo,θ2)oe1，os32=Rot(ozo,θ2)oe2。則

(16)

圖4　等效3-RPS機構(gòu)的虛設(shè)機構(gòu)Fig.4　Virtual mechanism of equivalent 3-RPS

2.2　變形剪叉分支的運動學(xué)分析

(17)

圖5　變形剪叉分支建模Fig.5　Model of morph scissors mechanism

對偏置搖桿滑塊平面機構(gòu)AiBiBi2Ai2和搖桿搖塊平面機構(gòu)Ai1Bi1Ai2可以分別建立如下封閉的位置矢量方程

lAi2Ai+lAiBi=lAi2Bi2+lBi2Bi

(18)

lAi2Ai1+lAi1Bi1=lAi2Bi1

(19)

根據(jù)文獻[21]中的復(fù)數(shù)矢量法可解得

(20)

其中

A=liB=L5

λi2=λi1+θ3

注意λi1有2個解，需要根據(jù)機構(gòu)的初始安裝情況和機構(gòu)運動的連續(xù)性進行取舍。

對各分支中桿1、2、1′和2′建立坐標(biāo)系，則可分別求出它們相對下平臺且表示在{Ai}系旋量速度和旋量加速度，并可通過伴隨變換矩陣的作用表示在{o}系中。

3　動力學(xué)分析

(21)

圖6　上平臺受力分析Fig.6　Force analysis of upper platform

上平臺的慣性力旋量和重力旋量分別為

(22)

其中

式中oNp——上平臺的慣性張量矩陣

聯(lián)立式(21)和(22)可求得各分支提供給上平臺的約束力fj(j=1,2,…，6)。

以分支與上平臺鉸接的萬向副鉸軸為研究對象，忽略其重力和慣性力，其受力線矢fioSi和fi+3oSi+3以及桿1、1′分別對其提供的5個約束力螺旋如圖7所示。

以桿2為研究對象，其受到慣性力、重力、萬向鉸軸對其施加5個支反力螺旋和桿1對其施加的5個支反力螺旋，如圖8所示。

圖7　萬向副鉸軸受力分析Fig.7　Force analysis of universal pair

圖8　變形剪叉分支的受力分析Fig.8　Force analysis of morph scissors mechanism

忽略驅(qū)動單元的質(zhì)量和慣性力，以桿1為研究對象，其受到慣性力、重力、桿2對其提供的5個支反力螺旋、下平臺對其提供的4個支反力螺旋和驅(qū)動單元提供的驅(qū)動力螺旋，如圖9所示。

圖9　桿1的受力分析Fig.9　Force analysis of link 1

4　數(shù)值算例

為了驗證上述模型正確性，對圖1所示并聯(lián)穩(wěn)定接貨平臺進行數(shù)值算例驗證，在三維造型中測得各桿件結(jié)構(gòu)參數(shù)：ra=7.5 m，rb=7.38 m，z0=3.5 m，θ1=θ2=120°，θ3=10.2°，L1=4.8 m，L2=4.79 m，L3=2.25 m，L4=0.785 m，L5=2.5 m，orso=(0，0，0.225)Tm，mp=50 000 kg，Ip=diag(4.76×105，8.36×105，4.3×105)kg·m2，m1=1 705 kg，I1=diag(4.3×104，1.9×103，4.28×104)kg·m2，m1′=1 776 kg，I1′=diag(4.53×104，2.6×103，4.57×104)kg·m2，m2=754 kg，I2=diag(397，86，460)kg·m2，m2′=735 kg，I2′=diag(391，72，441)kg·m2。

忽略摩擦力、驅(qū)動單元的重力和慣性力，給定重力加速度g=9.8 m/s2。假設(shè)慣性測量模塊測得船舶橫搖、縱搖和垂蕩規(guī)律分別為α(t)=6sin(2πt/6)，β(t)=3sin(2πt/4)，h(t)=1.5sin(2πt/6)。

圖10　剪叉分支的放大倍數(shù)曲線Fig.10　Amplification factor curves of MSM

圖11　Matlab得到的驅(qū)動力曲線Fig.11　Force curves obtained by Matlab

圖12　穩(wěn)定接貨平臺的線條模型Fig.12　Polyline model of PSCRP

在ADAMS軟件中建立含變形剪叉分支的并聯(lián)穩(wěn)定接貨機構(gòu)的線條模型，如圖12所示，添加相應(yīng)約束，進行相應(yīng)的運動學(xué)、動力學(xué)仿真和曲線后處理，可得各分支SPS驅(qū)動單元的驅(qū)動力曲線，如圖13所示，通過對比可看出ADAMS仿真結(jié)果與Matlab所得相應(yīng)結(jié)果在驅(qū)動力數(shù)值的求解精度達0.1 kN，這是由于ADAMS做動力學(xué)仿真時需要考慮每個運動部件的質(zhì)量，而Matlab程序只考慮了上平臺和負載的質(zhì)量。仿真結(jié)果驗證了運動學(xué)和動力學(xué)建模的正確性。據(jù)此可以初選驅(qū)動元件并進行進一步的優(yōu)化設(shè)計和控制研究。

圖13　ADAMS仿真測得的驅(qū)動力曲線Fig.13　Force curves obtained by ADAMS

5　結(jié)束語

針對海上貨物安全轉(zhuǎn)運的需要，設(shè)計了一種具有3個變形剪叉分支的大型重載并聯(lián)穩(wěn)定接貨平臺，其變形剪叉分支具有行程放大的特性，使整個接貨平臺結(jié)構(gòu)更加緊湊并且可以補償船舶較大的垂蕩運動。建立了運動學(xué)和動力學(xué)模型并用數(shù)值算例驗證了其正確性。

1KOPPERT P M. Motion compensation device for compensating a carrier frame on a vessel for water motion: WO2010114359 A1[P]. 2010-10-07.

2李秦川, 柴馨雪, 陳巧紅. 兩轉(zhuǎn)一移三自由度并聯(lián)機構(gòu)研究進展[J]. 科學(xué)通報, 2017, 62(14): 1507-1519.

LI Qinchuan, CHAI Xinxue, CHEN Qiaohong. Review on 2R1T 3-DOF parallel mechanisms[J]. Chinese Science Bulletin, 2017, 62(14): 1507-1519.(in Chinese)

3HUNT K H. Structural kinematics of in-parallel-actuated robot-arms[J]. Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design, 1983, 105(4): 705-712.

4KOK M L, SHAH D K. Kinematic analysis of a three degrees of freedom in-parallel actuated manipulator[J]. IEEE Journal of Robotics and Automation, 1988, 4(3): 354-360.

5FANG Y, HUANG Z. Kinematics of a three degree of freedom in-parallel actuated manipulator mechanism[J]. Mechanism and Machine Theory, 1997, 32(7): 789-796.

6SCHADLBAUER J, WALTER D R, HUSTY M L. The 3-RPS parallel manipulator from an algebraic viewpoint[J]. Mechanism and Machine Theory, 2014, 75(5): 161-176.

7毛冰滟,謝志江,吳小勇,等.基于引導(dǎo)人工蜂群算法的3-RPS并聯(lián)機構(gòu)正解優(yōu)化[J/OL].農(nóng)業(yè)機械學(xué)報,2017,48(1):339-345.http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?flag=1&file_no=20170145&journal_id=jcsam. DOI=10.6041/j.issn.1000-1298.2017.01.045.

MAO Bingyan, XIE Zhijiang, WU Xiaoyong, et al. Forward kinematics optimization of 3-RPS parallel manipulator based on global-best artificial bee colony algorithm[J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,2017,48(1):339-345.(in Chinese)

8韓方元,趙丁選,李天宇.3-RPS并聯(lián)機構(gòu)正解快速數(shù)值算法[J].農(nóng)業(yè)機械學(xué)報,2011,42(4):229-233.

HAN Fangyuan, ZHAO Dingxuan, LI Tianyu. A fast forward algorithm for 3-RPS parallel mechanism[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2011, 42(4):229-233.(in Chinese)

9GALLARDO J, OROZCO H, RICO J M. Kinematics of 3-RPS parallel manipulators by means of screw theory[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2010, 45(7): 1013-1023.

10GALLARDO-ALVARADO J, POSADAS-GARCA J D D. Mobility analysis and kinematics of the semi-general 2(3-RPS) series-parallel manipulator[J]. Robotics and Computer Integrated Manufacturing, 2013, 29(6): 463-472.

11LI J, CHEN W, LIU D, et al. Inverse kinematic and dynamic analysis of a 3-dof parallel mechanism[C]∥ International Conference on Control, Automation, Robotics and Vision. Singapore, 2003: 956-961.

12白志富, 韓先國, 陳五一. 基于Lagrange方程三自由度并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)研究[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報, 2004, 30(1): 51-54.

BAI Zhifu, HAN Xianguo, CHEN Wuyi.Study of a 3-DOF parallel manipulator dynamics based on Lagrange’s equation[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2004, 30(1): 51-54.(in Chinese)

13LIU M J, LI C X, LI C N. Dynamics analysis of the gough-stewart platform manipulator[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 2000, 16(1): 94-98.

14陳修龍, 馮偉明, 趙永生. 五自由度并聯(lián)機器人機構(gòu)動力學(xué)模型[J/OL]. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報, 2013, 44(1): 236-243.http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?flag=1&file_no=20130144&journal_id=jcsam. DOI=10.6041/j.issn.1000-1298.2013.01.044.

CHEN Xiulong, FENG Weiming, ZHAO Yongsheng. Dynamics model of 5-DOF parallel robot mechanism[J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2013, 44(1): 236-243.(in Chinese)

15落海偉, 張俊, 王輝, 等. 3-RPS并聯(lián)機構(gòu)彈性動力學(xué)建模方法[J]. 機器人, 2014, 36(6): 737-743,750.

LUO Haiwei, ZHANG Jun, WANG Hui, et al. An elastodynamic modeling method for a 3-RPS parallel kinematic machine[J]. Robot, 2014, 36(6): 737-743,750.(in Chinese)

16LEE K M, SHAH D K. Dynamic analysis of a three degrees of freedom in-parallel actuated manipulator[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1992, 7(5): 634-641.

17ZHANG J, DAI J S, HUANG T. Characteristic equation-based dynamic analysis of a three-revolute prismatic spherical parallel kinematic machine[J]. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2015, 10(2): 021017-021017-13.

18LI Q, WANG M, HUANG T, et al. Compliance analysis of a 3-DOF spindle head by considering gravitational effects[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2015, 28(1): 1-10.

19HUANG Z, LI Q, DING H. Theory of parallel mechanisms[M]. Dordrecht Heidelberg New York London: Springer, 2012.

20ZHAO T, GENG M, CHEN Y, et al. Kinematics and dynamics hessian matrices of manipulators based on screw theory[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2015, 28(2): 226-235.

21孫桓，陳作模，葛文杰. 機械原理[M].7版. 北京: 高等教育出版社, 2006.