謝加良，朱榮坤，賓紅華

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建廈門 361021)

1 研究背景

“新工科”(Emerging Engineering Education，3E)是我國(guó)工程教育改革的方向。自2016年這一概念提出至今，在教育部組織下，多所綜合類高校及工科優(yōu)勢(shì)高校進(jìn)行了深入研討，凝練成“復(fù)旦共識(shí)”[1]、“天大行動(dòng)”[2]和“北京指南”[3]，提出人才培養(yǎng)的新方案，探索工程教育改革的新路徑。新工科的內(nèi)涵是：以立德樹人為引領(lǐng)，以應(yīng)對(duì)變化、塑造未來(lái)為建設(shè)理念，以繼承與創(chuàng)新、交叉與融合、協(xié)調(diào)與共享為主要途徑，培養(yǎng)多元化、創(chuàng)新型的卓越工程人才[4]。這種新工科人才既具備運(yùn)用既定知識(shí)解決現(xiàn)有問(wèn)題的實(shí)操能力，又能夠持續(xù)學(xué)習(xí)、自我更新，跟進(jìn)知識(shí)和技術(shù)的迭代，成為引領(lǐng)科技革新和產(chǎn)業(yè)發(fā)展的中堅(jiān)?；谛鹿た迫瞬诺呐囵B(yǎng)目標(biāo)，“天大行動(dòng)”對(duì)課堂教學(xué)提出新要求：一是問(wèn)技術(shù)發(fā)展改內(nèi)容，更新工程人才知識(shí)體系。將產(chǎn)業(yè)和技術(shù)的最新發(fā)展、行業(yè)對(duì)人才培養(yǎng)的最新要求引入教學(xué)過(guò)程，更新教學(xué)內(nèi)容和課程體系，建成滿足行業(yè)發(fā)展需要的課程和教材資源；二是問(wèn)學(xué)生志趣變方法，創(chuàng)新工程教育方式與手段。推進(jìn)信息技術(shù)和教育教學(xué)深度融合，建設(shè)和推廣應(yīng)用在線開放課程，充分利用虛擬仿真等技術(shù)創(chuàng)新工程實(shí)踐教學(xué)方式[2]。

作為高等院校理、工、經(jīng)、管等各專業(yè)的一門重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，線性代數(shù)是學(xué)習(xí)后續(xù)課程的前提和工具，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理、空間想象和計(jì)算等能力具有不可替代的作用。同時(shí)，隨著科學(xué)技術(shù)的跨越式發(fā)展，線性代數(shù)已滲透到經(jīng)濟(jì)、金融、信息、社會(huì)等各個(gè)領(lǐng)域。線性代數(shù)高度的抽象性和嚴(yán)密的符號(hào)體系都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了學(xué)生的既有經(jīng)驗(yàn)，因此有很多本科生覺(jué)得這門課難理解。在此背景下，就課時(shí)少、內(nèi)容多、較抽象的線性代數(shù)課程而言，如何通過(guò)改進(jìn)和完善課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，在引領(lǐng)學(xué)生夯實(shí)線性代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)其運(yùn)用線性代數(shù)思維分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，切實(shí)提升線性代數(shù)課程教學(xué)效果，以適應(yīng)新工科建設(shè)和發(fā)展的要求就顯得尤為重要。

2 設(shè)計(jì)原則

“新工科”對(duì)課堂教學(xué)要求的實(shí)質(zhì)與落腳點(diǎn)是變革傳統(tǒng)的教學(xué)模式即從僅以教師為中心的教學(xué)模式，向既能發(fā)揮教師主導(dǎo)作用又能充分體現(xiàn)學(xué)生主體地位的新型教學(xué)模式轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)課堂的“去中心化”?；诖耍诰€性代數(shù)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)把握兩個(gè)原則：一是讓學(xué)生的思維動(dòng)起來(lái)，考慮如何通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)“破冰”，使“高大上”的學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為“接地氣”的教育形態(tài)的數(shù)學(xué)，更好地使學(xué)生在人格、思維、智慧層次獲得全面提升；二是深入挖掘信息技術(shù)在課程推進(jìn)中的最優(yōu)效用，不僅將信息技術(shù)作為教與學(xué)的簡(jiǎn)單輔助工具，還須注重優(yōu)化運(yùn)用教育技術(shù)的智能形態(tài)，將相關(guān)知識(shí)、方法和技能巧妙融入線性代數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)中。

3 新工科理念下的線性代數(shù)課程教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 建立基礎(chǔ)課程與專業(yè)知識(shí)有機(jī)統(tǒng)一的教學(xué)模式

承擔(dān)線性代數(shù)等公共數(shù)學(xué)課程的教師在進(jìn)行課程教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)不同專業(yè)學(xué)生需要何種相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)缺乏關(guān)注和思考，教學(xué)案例選取多為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題求解，偏重普遍性，缺乏針對(duì)性。此類教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的專業(yè)背景關(guān)聯(lián)度低，甚至脫節(jié)，導(dǎo)致學(xué)生很難學(xué)以致用，無(wú)法將課堂所學(xué)用以解決專業(yè)問(wèn)題，進(jìn)而造成學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)不明確、學(xué)習(xí)動(dòng)力不足等困境。

基于這些問(wèn)題，筆者針對(duì)不同專業(yè)的學(xué)生，設(shè)計(jì)不同的教學(xué)案例，以解決相應(yīng)專業(yè)性問(wèn)題的訴求為導(dǎo)向來(lái)引入概念、推導(dǎo)定理，并將此類關(guān)鍵問(wèn)題作為每節(jié)課的核心和線索，引導(dǎo)學(xué)生在探索專業(yè)性問(wèn)題解決方案過(guò)程中逐步建構(gòu)線性代數(shù)知識(shí)體系，加深學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容本質(zhì)的理解，在潛移默化間培養(yǎng)他們的問(wèn)題意識(shí)，使其接受從事科研工作的基礎(chǔ)訓(xùn)練。以計(jì)算機(jī)工程類、信息類的新工科專業(yè)為例，通過(guò)挖掘計(jì)算機(jī)中的線性代數(shù)知識(shí)以及線性代數(shù)在信息科技中的應(yīng)用等內(nèi)容，針對(duì)不同的章節(jié)設(shè)計(jì)與此相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，如利用圖像變換問(wèn)題設(shè)計(jì)矩陣運(yùn)算教學(xué)，利用人臉識(shí)別問(wèn)題設(shè)計(jì)向量組的線性組合與矩陣特征值、特征向量教學(xué)，利用機(jī)器學(xué)習(xí)問(wèn)題設(shè)計(jì)二次型和正定矩陣的課程教學(xué)等。

例1 基于人臉識(shí)別問(wèn)題的“向量組的線性組合”教學(xué)設(shè)計(jì)。

圍繞問(wèn)題引入、探究新知、深入挖掘和總結(jié)拓展共四個(gè)要點(diǎn)展開教學(xué)，將問(wèn)題教學(xué)法和探究教學(xué)法相結(jié)合，注重?cái)?shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)、信息類專業(yè)的學(xué)習(xí)背景的廣泛聯(lián)系，在抽象思維的講述中引入形象思維，講清動(dòng)機(jī)和背景，使每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是自然引入。

(1)問(wèn)題引入。通過(guò)電影《碟中碟IV》中同學(xué)們所熟悉的關(guān)于特工采用人臉識(shí)別眼鏡追捕目標(biāo)的場(chǎng)景，提出問(wèn)題：如何利用線性代數(shù)知識(shí)來(lái)解釋這個(gè)場(chǎng)景？

(2)探究新知。通過(guò)講解圖像處理的基礎(chǔ)知識(shí)，分析如何用矩陣來(lái)表示圖片，進(jìn)而延伸至為了存儲(chǔ)和計(jì)算如何用向量來(lái)表示圖片，總結(jié)得出人臉識(shí)別問(wèn)題其實(shí)就是一個(gè)向量組和另一個(gè)向量之間的關(guān)系。以此引出本節(jié)課學(xué)習(xí)的新內(nèi)容，重點(diǎn)講清基本定義和線性的含義，舉例加深對(duì)定義的理解，由此可以初步理解人臉識(shí)別問(wèn)題。由定義和例子，解釋說(shuō)明如何利用向量組的線性表示來(lái)說(shuō)明人臉識(shí)別問(wèn)題。

(3)深入挖掘。在人臉識(shí)別實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，由于拍攝角度和人的情緒不同，每次拍攝的圖片都不一定相同。可以以此導(dǎo)出需要進(jìn)一步深入挖掘考慮向量方程解的問(wèn)題。

(4)總結(jié)拓展。以人臉識(shí)別的實(shí)際問(wèn)題為主線，總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，拓展在實(shí)際問(wèn)題中需要進(jìn)一步考慮的問(wèn)題，引出下一節(jié)所學(xué)的內(nèi)容：向量組之間的線性表示。

3.2 推進(jìn)信息技術(shù)與線性代數(shù)教學(xué)深度融合的教學(xué)設(shè)計(jì)

信息技術(shù)的發(fā)展帶來(lái)了許多新的教育技術(shù)工具，包括精品課程、微課、慕課(Mooc)、翻轉(zhuǎn)課堂等課程體系，以及學(xué)習(xí)通、課堂派、圖+微課等課堂輔助工具。研究表明，在教學(xué)中融入圖像、影視、聲音、動(dòng)畫等多種媒體，大大刺激了學(xué)生的感官，使學(xué)生做到手、腦、眼、耳并用，充分喚起學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的興趣，從而達(dá)到優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)、提高課堂效率、激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維的教學(xué)效果[5-6]。

3.2.1 發(fā)揮多媒體教學(xué)的最優(yōu)效用,提高課堂效率

線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容主要有矩陣、行列式、向量組的線性相關(guān)、線性方程組解的結(jié)構(gòu)及求法、矩陣的特征值與特征向量、二次型等[7]。多媒體教學(xué)可運(yùn)用于以下幾個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)以提升課堂效率：利用多媒體演示線性代數(shù)與幾何之間的關(guān)系；利用多媒體進(jìn)行大型線性方程組運(yùn)算；利用多媒體進(jìn)行矩陣的運(yùn)算和應(yīng)用實(shí)例講解、例題分析、播放視頻和創(chuàng)新性習(xí)題等。

3.2.2 基于慕課、微課等平臺(tái)開展線上、線下交互式教學(xué)

隨著慕課等在線教育模式的興起，教師在課堂上可用的教學(xué)資源越來(lái)越豐富。由教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)等單位組織的全國(guó)高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競(jìng)賽至今已成功舉辦三屆，積累了來(lái)自全國(guó)各地的公共數(shù)學(xué)課教師們珍貴的微課視頻，這些微課視頻均是將信息技術(shù)與教育教學(xué)內(nèi)容緊密融合、創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)秀成果。因此，在線性代數(shù)課程設(shè)計(jì)中，可以設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)恼鹿?jié)，引導(dǎo)學(xué)生先在線上觀看相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)微課視頻，做好隨堂筆記，完成在線作業(yè)，記錄問(wèn)題疑惑；再在線下課堂梳理知識(shí)脈絡(luò)，講解重點(diǎn)、難點(diǎn)，詳解線上例題、作業(yè)，并進(jìn)行適當(dāng)拓展和延伸。

3.2.3 利用學(xué)習(xí)通、課堂派等最新的課堂教學(xué)管理工具優(yōu)化課堂質(zhì)量

這些工具大都具有教學(xué)備課、分組學(xué)習(xí)、課堂互動(dòng)、考勤表現(xiàn)、班級(jí)公告、教學(xué)分析、課程管理、成績(jī)統(tǒng)計(jì)、隨堂測(cè)試、教學(xué)資料備份、分析處理教材、精品課程制作、優(yōu)秀作品發(fā)布等功能，可以根據(jù)實(shí)際情況與需求，在課堂適時(shí)利用其中的一些功能，如進(jìn)行課堂小測(cè)等，及時(shí)了解學(xué)生的聽課情況，實(shí)現(xiàn)課堂質(zhì)量的同步把控和優(yōu)化。

當(dāng)然，在知識(shí)傳授與反饋方面，傳統(tǒng)的板書教學(xué)也有其不可替代的優(yōu)勢(shì)。教師通過(guò)板書動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)推導(dǎo)全過(guò)程，把數(shù)學(xué)思維的形成、發(fā)展“抽絲剝繭”、條分縷析地傳授給學(xué)生，可實(shí)現(xiàn)與學(xué)生的直接交流和同步互動(dòng)，隨時(shí)根據(jù)學(xué)生反饋信息調(diào)整課程進(jìn)度和講授方式，更有利于學(xué)生理解、掌握課程內(nèi)容，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。因此，在線性代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，既要考慮信息技術(shù)和線性代數(shù)教學(xué)的深度融合，還應(yīng)注重現(xiàn)代教學(xué)手段(電子課件、計(jì)算機(jī)軟件、多媒體、網(wǎng)絡(luò))與傳統(tǒng)教學(xué)(黑板、粉筆)的優(yōu)化組合，全面提升課堂教學(xué)效果。

3.3 探索數(shù)學(xué)軟件與線性代數(shù)常規(guī)課程內(nèi)容緊密配合的教學(xué)設(shè)計(jì)

計(jì)算機(jī)技術(shù)的迭代式發(fā)展將人類社會(huì)帶入信息化時(shí)代，在這一背景下，各類性能優(yōu)越的應(yīng)用性數(shù)學(xué)軟件也層出不窮，如Matlab、Mathematica、Maple等。這些軟件作為人的輔助和延伸運(yùn)用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，一方面在運(yùn)算速度上突破了筆算的限制，另一方面在操作難度上使原本繁瑣復(fù)雜的矩陣、行列式等的運(yùn)算簡(jiǎn)單易行。在線性代數(shù)課程教學(xué)中引入此類軟件，既可以將學(xué)生從這些計(jì)算中“解放”出來(lái)，又可通過(guò)對(duì)軟件運(yùn)行本質(zhì)算法的展示和剖析，幫助學(xué)生理解信息技術(shù)應(yīng)用過(guò)程中看似“不可知”的艱深原理。因此，可以結(jié)合課程內(nèi)容，介紹Matlab等數(shù)學(xué)軟件在代數(shù)計(jì)算中的用法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在應(yīng)用線性代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)如何應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件，同時(shí)通過(guò)對(duì)一些具體問(wèn)題的計(jì)算幫助學(xué)生對(duì)一些抽象的代數(shù)概念進(jìn)行理解，加深對(duì)代數(shù)理論知識(shí)的認(rèn)識(shí)。

具體落實(shí)在教學(xué)實(shí)踐中，可以考慮利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的章節(jié)有行列式的計(jì)算、矩陣的運(yùn)算、求逆矩陣、求矩陣的特征值和特征向量、解線性方程組等。

例2 求方陣逆矩陣的教學(xué)設(shè)計(jì)。

(1)從簡(jiǎn)單的三階方陣入手，先通過(guò)兩種筆算方法進(jìn)行求解：一是按照定義，先求伴隨矩陣，再求逆矩陣；二是利用初等變換法求逆矩陣。

(2)求四階以上方陣的逆矩陣。此時(shí)，學(xué)生可能會(huì)感覺(jué)繁瑣，可進(jìn)一步介紹逆矩陣的Matlab數(shù)學(xué)軟件求法。

例3 求解線性方程組的教學(xué)設(shè)計(jì)。

(1)從簡(jiǎn)單的三元線性方程組入手，先通過(guò)兩種筆算方法進(jìn)行求解：一是用中學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)的加減消元法求解；二是用初等變換求解線性方程組的方法。

(2)求解四元以上的線性方程組。此時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到困難，可進(jìn)一步介紹求解線性方程組的Matlab數(shù)學(xué)軟件求法。

4 分析與思考

隨著人工智能時(shí)代的到來(lái)和新工科建設(shè)的逐步推進(jìn)，線性代數(shù)等數(shù)學(xué)類的基礎(chǔ)課程迎來(lái)廣闊的前景和重要的發(fā)展機(jī)遇，為其他學(xué)科深入學(xué)習(xí)提供必要的知識(shí)和應(yīng)用能力儲(chǔ)備。在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)，線性代數(shù)知識(shí)與專業(yè)課知識(shí)有機(jī)統(tǒng)一、與信息技術(shù)深度融合、與數(shù)學(xué)計(jì)算軟件緊密配合的教學(xué)模式，既可以提高教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性、科學(xué)性、前瞻性和趣味性,又可加強(qiáng)即時(shí)互動(dòng)，根據(jù)反饋同步進(jìn)行課程調(diào)整,為學(xué)生提供最優(yōu)質(zhì)的學(xué)習(xí)資源，便于其隨時(shí)隨地根據(jù)自身知識(shí)結(jié)構(gòu)和訴求“定制”個(gè)性化學(xué)習(xí)方案，進(jìn)行自主化學(xué)習(xí)，真正“形成以學(xué)習(xí)者為中心的工程教育模式”[1]。當(dāng)然，在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中仍然有幾個(gè)問(wèn)題需要我們著重考慮：一是要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)選擇相應(yīng)的信息技術(shù)工具；二是根據(jù)不同專業(yè)、不同學(xué)生層次設(shè)計(jì)不同的應(yīng)用實(shí)例和方案；三是在與專業(yè)知識(shí)和信息技術(shù)融合時(shí)，要以線性代數(shù)課程本身作為立足點(diǎn)，考慮適度性原則。

新工科建設(shè)是一項(xiàng)浩繁的系統(tǒng)化工程。在這一理念指導(dǎo)下，線性代數(shù)課堂教學(xué)改革尚有諸多問(wèn)題亟待解決。改革的推進(jìn)不可避免地會(huì)受到一系列條件的制約，如學(xué)校的硬件設(shè)施、教師的教學(xué)能力、師生對(duì)相關(guān)技術(shù)的掌握和應(yīng)用水平等。在此背景下，新工科的教學(xué)策略如何實(shí)施、教學(xué)范式如何改革等問(wèn)題，都需要教育工作者根據(jù)新工科的具體推進(jìn)情況，進(jìn)行持續(xù)性的深入思考與實(shí)踐。

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