欒小麗，萬海英，劉 飛

(江南大學(xué) 自動化研究所 輕工過程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實驗室，江蘇 無錫 214122)

工程領(lǐng)域中存在既隨時間演化又被事件驅(qū)動的混雜多模態(tài)系統(tǒng)，如生化反應(yīng)系統(tǒng)、流程制造系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)通信系統(tǒng)及經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)等[1-5].此類系統(tǒng)運(yùn)行過程中時常受到外部環(huán)境突變、內(nèi)部元件參數(shù)變化及人為干預(yù)等的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)呈現(xiàn)強(qiáng)時變、非線性的特征.鑒于此，多模態(tài)混雜系統(tǒng)能更好描述實際工業(yè)過程中的復(fù)雜對象.切換系統(tǒng)[6-8]和Markov跳變系統(tǒng)[9-11]是兩種典型的混雜系統(tǒng).這兩類系統(tǒng)的區(qū)別為：Markov跳變系統(tǒng)每一時刻所處的模態(tài)是隨機(jī)的，且子模態(tài)間的轉(zhuǎn)換規(guī)律符合Markov過程，而切換系統(tǒng)模態(tài)間的切換規(guī)則是確定的.雖然某種程度上，混雜系統(tǒng)可視為單模態(tài)系統(tǒng)的推廣，但對此類結(jié)構(gòu)異常復(fù)雜、含有多模態(tài)子系統(tǒng)的動態(tài)系統(tǒng)，經(jīng)典的線性系統(tǒng)理論已不能完整刻畫其動態(tài)行為，一般的線性系統(tǒng)研究成果也不能直接應(yīng)用于它.因此，多模態(tài)混雜系統(tǒng)不僅在理論研究中有重要作用，而且在工程領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用價值.

一般來說，系統(tǒng)的性能研究可從時域、頻域兩個角度出發(fā)，二者表征系統(tǒng)兩個不同維度上的信息.時域主要研究系統(tǒng)隨時間變化的動態(tài)及穩(wěn)態(tài)性能，通過設(shè)計控制器、濾波器等，使系統(tǒng)滿足實際工程所需的性能指標(biāo)要求，如系統(tǒng)穩(wěn)定性、魯棒性等；頻域則是通過使閉環(huán)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性(如幅頻特性、極點(diǎn)分布等)滿足一定要求，來保證被控系統(tǒng)具有相應(yīng)的性能指標(biāo)[12].在現(xiàn)有頻域研究成果中，多數(shù)成果基于全頻段，鮮有涉及有限頻段的控制問題.然而，實際工程中許多信號，除了白噪聲均勻分布于全頻段外，無論是系統(tǒng)擾動[13-14]還是參考輸入信號[15-16]，其能量往往只集中在某些頻段內(nèi)，如地震波信號的能量大部分集中在0.3～8Hz頻段[17]，高速列車引起的地基振動的頻率主要集中在0～100Hz[18]，人體對外力較為敏感的頻段為4～8Hz[19-20]等.因此，控制系統(tǒng)設(shè)計中，若能基于信號及系統(tǒng)的有限頻域特性設(shè)計控制器，系統(tǒng)將會獲得更好的性能.另一方面，由于不同頻段影響系統(tǒng)性能的主導(dǎo)因素不同，為優(yōu)化系統(tǒng)性能，則要求不同頻率范圍內(nèi)滿足不同性能指標(biāo)，如對數(shù)字濾波器而言，低頻段需要控制器具有高增益以確保系統(tǒng)有較強(qiáng)抗干擾能力，而高頻段則需低增益以減小模型不確定性對系統(tǒng)性能的影響[21].這就意味著對系統(tǒng)進(jìn)行分析及綜合時，應(yīng)充分考慮其頻率特性.綜上所述，對更加貼近實際工程的多模態(tài)混雜系統(tǒng)而言，研究其有限頻段性能不僅能完善理論體系，也能解決工程應(yīng)用問題.該文梳理有限頻段性能研究的進(jìn)程，分析多模態(tài)系統(tǒng)有限頻段性能研究的現(xiàn)狀，討論該領(lǐng)域有待深入研究的幾個問題.

1 主要研究方法

1.1 經(jīng)典控制方法

基于經(jīng)典控制理論的頻域分析方法，通過控制器引入附加零極點(diǎn)，使被控系統(tǒng)具有期望的頻率響應(yīng)特性，而此方法只適用于單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)，對于多輸入多輸出、高階等復(fù)雜系統(tǒng)無法處理.另外，經(jīng)典控制理論中的頻域分析方法一般是利用頻率特性曲線來分析系統(tǒng)時域的瞬態(tài)及穩(wěn)態(tài)性能，此方法并沒有將有限頻段信息融入控制器設(shè)計，因此難以用于實際的有限頻段性能研究.

1.2 頻率加權(quán)法

頻率加權(quán)法是基于狀態(tài)空間方程的一種研究方法，它克服了經(jīng)典控制方法不適用于復(fù)雜系統(tǒng)的不足.其原理是通過設(shè)計合適的加權(quán)傳遞函數(shù)，將原系統(tǒng)的有限頻域問題轉(zhuǎn)為復(fù)合系統(tǒng)的全頻域問題，從而間接實現(xiàn)原系統(tǒng)的有限頻域控制.該方法不僅能將控制理論直接用于有限頻段控制，而且其加權(quán)函數(shù)能反映多維信號各分量在系統(tǒng)中的重要性.文獻(xiàn)[22]針對H2和H∞混合靈敏度問題，提出了適用于平衡模型降階的頻率加權(quán)方法.隨后，基于頻率加權(quán)法的有限頻段控制問題大量涌現(xiàn)，如控制器降階問題[23]、模型降階問題[24-26]等.然而，頻率加權(quán)法也存在許多弊端：首先，難以找到合適的加權(quán)函數(shù)，尋找只能根據(jù)工程經(jīng)驗，過程十分復(fù)雜且費(fèi)時；其次，頻率加權(quán)法并沒有直接給出系統(tǒng)有限頻段性能的定量信息；最后，加權(quán)函數(shù)越復(fù)雜控制器的維數(shù)越大，使得求解困難.因此，基于頻率加權(quán)法的有限頻段研究進(jìn)展緩慢.

1.3 GKYP引理法

General Kalman-Yakubovich-Popov(GKYP)引理法是對Kalman-Yakubovich-Popov(KYP)引理進(jìn)行推廣得到的一種解決有限頻段問題的新方法[27-28].該方法將系統(tǒng)的有限頻域特性直接刻畫成等價的線性矩陣不等式，為控制系統(tǒng)有限頻段性能研究提供了新思路.相比其他有限頻段性能研究方法，GKYP具有以下優(yōu)點(diǎn)：1)有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)過程；2)有限頻段性能的基礎(chǔ)理論完善；3)其性能具有明確的頻域意義.

2 GKYP引理及其推廣

2.1 GKYP引理

給出GKYP引理之前，定義有限頻段如下

由于頻域不等式可直接用來描述動態(tài)系統(tǒng)的頻段特性，則上述有限頻段的復(fù)頻域表示可為

其中：[·]*表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置；Φ,Ψ∈H2(Hn為n×n埃爾米特矩陣)，且det(Ψ)<0，矩陣Φ決定集合Λ所刻畫的系統(tǒng)類型，矩陣Ψ表征所對應(yīng)頻段.特別地，當(dāng)Ψ=0時，集合Λ(Φ,Ψ)所描述的是全頻段.

(1) 有限頻段不等式

(1)

(2) 存在對稱矩陣P，Q，Q>0，且

(2)

其中：Ξ=Φ?P+Ψ?Q，其表征系統(tǒng)的頻域信息.表 1 為頻域信息對照，其中ωc=(ω1+ω2)/2，?c=(?1+?2)/2，?d=(?2-?1)/2.

表1 頻域信息對照

需要指出的是，GKYP引理中兩個等價條件的轉(zhuǎn)化是無損的，這就意味著，條件(1)的無限維驗證問題可簡化為求解條件(2)中線性矩陣不等式的有限維問題.該引理架起了有限頻段性能與線性矩陣不等式可行解存在性間的橋梁，為解決控制系統(tǒng)中許多難以解決的復(fù)雜問題提供了新工具.

2.2 引理的推廣

GKYP引理只適用于一般的線性系統(tǒng)，而實際工程中許多復(fù)雜系統(tǒng)并不一定能用線性模型描述，此時若要研究復(fù)雜系統(tǒng)的有限頻段性能，則需將GKYP引理進(jìn)行推廣.將原始的GKYP引理推廣到基于FM[29]和Roesser[30]模型的2維系統(tǒng)，奠定了2維系統(tǒng)有限頻段研究的基礎(chǔ).隨后，研究人員基于2維GKYP引理研究了2維系統(tǒng)有限頻段的正實性[28]、H∞濾波[31]及模型降階[32]等.對含多個子模態(tài)的混雜系統(tǒng)，文獻(xiàn)[33]中將GKYP引理推廣到Markov跳變系統(tǒng)，得到各子模態(tài)系統(tǒng)均滿足有限頻段性能指標(biāo)的H∞控制器.

3 多模態(tài)系統(tǒng)有限頻段性能研究進(jìn)程

3.1 系統(tǒng)描述

多模態(tài)系統(tǒng)中，Markov跳變系統(tǒng)每一時刻所處的模態(tài)是隨機(jī)的，其子模態(tài)之間的轉(zhuǎn)換符合Markov過程.而切換系統(tǒng)模態(tài)間切換規(guī)則是確定的，因此切換系統(tǒng)可視為一類特殊的Markov跳變系統(tǒng).下面將以連續(xù)時間Markov跳變系統(tǒng)為例介紹系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.

在給定完備概率空間(Ω，F(xiàn),P)下，考慮如下系統(tǒng)

(3)

其中：x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量；u(t)∈Rm為系統(tǒng)輸入向量；z(t)∈Rq為被控輸出向量；w(t)為有限頻段干擾輸入；r(t)為系統(tǒng)模態(tài)，取值于有限集S={1,2,…,i,…,s}，在t時刻，r(t)=i,i∈S；A(r(t))，B(r(t))，Bw(r(t))，C(r(t))，Dw(r(t))為依賴于模態(tài)r(t)的適維矩陣.

連續(xù)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率定義為

其中：λij為系統(tǒng)從t時刻模態(tài)i跳變到t+Δt時刻模態(tài)j的轉(zhuǎn)移速率，λij≥0，且滿足

特別地，對于離散Markov跳變系統(tǒng)，其轉(zhuǎn)移概率定義為

πij=Pr{r(k+1)=j|r(k)=i}，

3.2 有限頻段H∞控制

隨著基于GKYP引理的有限頻段理論的完善，H∞控制問題逐漸成為有限頻段性能指標(biāo)研究中的熱點(diǎn).

定義1在特定頻段內(nèi)，從干擾輸入到被控輸出的傳遞函數(shù)Gzw(jω)若滿足

則認(rèn)為系統(tǒng)滿足有限頻段H∞性能指標(biāo).

有限頻段H∞控制問題可描述為：對于系統(tǒng)(3)，設(shè)計狀態(tài)反饋控制器使系統(tǒng)在指定頻段內(nèi)滿足H∞抗干擾性能指標(biāo).近年來，研究人員在多模態(tài)系統(tǒng)有限頻段H∞控制上取得了如下成果：文獻(xiàn)[34]對防震系統(tǒng)設(shè)計了狀態(tài)反饋H∞容錯控制器，用迭代算法得到了有限頻段最優(yōu)H∞性能指標(biāo).文獻(xiàn)[35]將頻段信息引入一致性協(xié)議設(shè)計，得到了模態(tài)依賴的有限頻段一致性條件，能保證系統(tǒng)收斂于零時還具有有限頻段H∞抗干擾性能.針對特定頻段的噪聲干擾，文獻(xiàn)[32]將GKYP引理推廣到Markov跳變系統(tǒng)，設(shè)計有限頻段H∞控制器，使每個子模態(tài)系統(tǒng)均滿足給定的H∞性能指標(biāo)，得到原跳變系統(tǒng)也滿足H∞性能指標(biāo)的結(jié)論.考慮到轉(zhuǎn)移概率部分未知的情況，文獻(xiàn)[36]使用與GKYP引理等價的時域不等式，對Markov跳變系統(tǒng)進(jìn)行了研究，以線性矩陣不等式的形式，給出了使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定且滿足抗干擾性能指標(biāo)的有限頻段H∞控制器存在的充分條件.

3.3 有限頻段H∞濾波

濾波在信號處理、目標(biāo)跟蹤及圖像處理中扮演者不可或缺的角色，同時在控制理論中有非常重要的作用.

考慮系統(tǒng)

(4)

其中：x(t)為系統(tǒng)狀態(tài)；y(t)和z(t)分別為測量輸出和被控輸出；w(t)為有限頻段干擾輸入；i為系統(tǒng)模態(tài)，取值于有限集S={1,2,…,s}；Ai，Bi，Ci，Di，Li均為依賴于模態(tài)i的適維矩陣.

針對系統(tǒng)(4)構(gòu)造全維濾波器

(5)

其中：Afi，Bfi，Cfi為濾波器參數(shù).

(6)

有限頻段H∞濾波問題可描述為：對于給定的系統(tǒng)(4)，設(shè)計一組濾波器(5)，使誤差系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定且滿足有限頻段H∞抗干擾性能指標(biāo).文獻(xiàn)[37]研究了多胞不確定離散切換系統(tǒng)的有限頻段H∞濾波問題，結(jié)果表明在干擾噪聲頻段信息已知的情況下，有限頻段的濾波效果優(yōu)于全頻段.文獻(xiàn)[38]為非線性系統(tǒng)設(shè)計了有限頻段模糊濾波器，使誤差系統(tǒng)分別在低、中、高頻段滿足相應(yīng)的有限頻段性能指標(biāo).文獻(xiàn)[39]將不完全觀測的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為Markov跳變系統(tǒng)，并給出了保證系統(tǒng)滿足有限頻段性能指標(biāo)的H∞濾波器存在的條件.文獻(xiàn)[40]結(jié)合有限短時間理論，設(shè)計了基于Markov跳變系統(tǒng)有限頻段濾波器，保證誤差系統(tǒng)具有H∞干擾抑制水平的同時也滿足有限時間有界，實現(xiàn)了時域、頻域兩個角度對系統(tǒng)的約束.文獻(xiàn)[41]基于GKYP引理，給出了離散系統(tǒng)有限頻段H∞濾波器存在的充分條件.文獻(xiàn)[42]從信號角度研究了未知隸屬度函數(shù)T-S模糊系統(tǒng)有限頻段L2-L∞濾波問題，通過計算矩陣的跡給出了有限頻段L2-L∞性能指標(biāo)的新結(jié)果.文獻(xiàn)[43]針對傳感器非線性且轉(zhuǎn)移概率部分未知的Markov跳變系統(tǒng)，設(shè)計了模態(tài)依賴的有限頻段濾波器，以保證系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定且滿足性能指標(biāo)要求.

3.4 有限頻段故障檢測

故障信號和外界擾動信號往往具有明顯的頻率特性，且其頻譜特點(diǎn)各不相同，因此在故障檢測中綜合考慮其有限頻段特性，不僅可快速準(zhǔn)確識別故障發(fā)生，還能提高系統(tǒng)的魯棒性.

考慮系統(tǒng)

(7)

其中：x(t)為系統(tǒng)狀態(tài)；y(t)為系統(tǒng)輸出；w(t)和f(t)分別為有限頻段干擾信號及故障信號；i是系統(tǒng)模態(tài)，取值于有限集S={1,2,…,s}；Ai，B1i，B2i，Ci，D1i，D2i均為依賴于模態(tài)i的適維矩陣.

針對系統(tǒng)(7)構(gòu)造濾波器

(8)

(9)

其中

為實現(xiàn)故障檢測，定義殘差評估函數(shù)J(t)及閾值Jth分別為

當(dāng)J(t)>Jth?故障，當(dāng)J(t)

有限頻段故障檢測問題，即設(shè)計濾波器(8)使增廣誤差系統(tǒng)(9)在有限頻段內(nèi)滿足下列條件：

(1) 增廣誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

(2)f(t)=0時，干擾輸入w(t)到殘差r(t)的傳遞函數(shù)Grw(jω)滿足

其中：σmax(·)表示(·)的最大奇異值；γw為給定的干擾抑制性能指標(biāo)；Ω為噪聲的有限頻段范圍.

(3)w(t)=0時，故障信號f(t)到殘差r(t)的傳遞函數(shù)Grf(jω)滿足

其中：σmin(·)表示(·)的最小奇異值；γf為殘差信號的故障敏感度性能指標(biāo)；Ω為故障的有限頻段范圍.

文獻(xiàn)[44]基于極點(diǎn)配置方法，為不確定離散系統(tǒng)設(shè)計了有限頻段故障檢測濾波器.文獻(xiàn)[45]考慮傳感器故障的多樣性，建立了多模態(tài)T-S模糊系統(tǒng)，所設(shè)計的有限頻段故障檢測濾波器對傳感器故障及輸入?yún)⒖夹盘柟收暇磻?yīng)靈敏.文獻(xiàn)[46]提出了時滯依賴有界實引理，通過構(gòu)建超平面切線給出了多時滯不確定系統(tǒng)有限頻段故障檢測濾波器的設(shè)計條件.文獻(xiàn)[47]基于平均駐留時間方法，研究了離散切換系統(tǒng)的有限頻段故障診斷與隔離問題，對每個子系統(tǒng)均設(shè)計對應(yīng)的濾波器，使殘差信號只對該子系統(tǒng)有效.

數(shù)據(jù)丟包等非線性現(xiàn)象經(jīng)常出現(xiàn)，故網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)是一類常見的多模態(tài)系統(tǒng).文獻(xiàn)[48]針對量子化誤差及Markov數(shù)據(jù)丟包，研究了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)隨機(jī)故障檢測問題，設(shè)計了相應(yīng)的故障檢測濾波器以保證系統(tǒng)的有限頻段性能.針對信息進(jìn)入信道的過程符合Markov鏈的情況，文獻(xiàn)[49]提出了一種兼顧靈敏度及衰減性的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的故障檢測方法.文獻(xiàn)[50]基于幾何方法，給出了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)故障診斷及隔離濾波器的設(shè)計方法，使每個子濾波器與其他故障解耦.文獻(xiàn)[51]結(jié)合帕塞伐爾定理與嚴(yán)格的S-procedure，設(shè)計了參數(shù)時變Markov跳變系統(tǒng)故障檢測濾波器，使系統(tǒng)不僅具有較好的有限頻段性能，還擴(kuò)寬了可檢測故障的范圍.

3.5 有限頻段性能研究的應(yīng)用

目前，在有限頻段性能研究的應(yīng)用中，較為成熟的應(yīng)用是汽車懸架系統(tǒng)的設(shè)計.文獻(xiàn)[19]依據(jù)人體對外力較為敏感的頻段為4～8 Hz的事實，基于狀態(tài)反饋提出了汽車懸架系統(tǒng)的有限頻段H∞控制器的設(shè)計方法，提高了該頻段擾動的隔離效果，使行車體驗更加舒適.考慮到系統(tǒng)狀態(tài)難以完全可測及執(zhí)行器的隨機(jī)故障，文獻(xiàn)[52]提出了汽車主動懸架系統(tǒng)有限頻段動態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計方法.對于驅(qū)動系統(tǒng)安裝在輪轂處的電動汽車，其懸架系統(tǒng)簧下質(zhì)量比其他類型汽車的要大，導(dǎo)致行車舒適性差且電機(jī)軸承磨損嚴(yán)重，針對此類情況，文獻(xiàn)[53]綜合考慮輸入時滯及參數(shù)攝動等，研究了懸架系統(tǒng)的有限頻段控制策略.針對參數(shù)不確性，文獻(xiàn)[54]研究了汽車主動懸架系統(tǒng)的傳感器容錯控制問題，所設(shè)計的H∞控制器不僅能夠減少4～8 Hz頻段路面不平整對乘客的影響，還能保證車輪的動靜載與懸架行程之比在允許的范圍內(nèi).

有限頻段性能研究也常用于振動抑制.文獻(xiàn)[16]基于地震波大部分的能量集中在0.3～8 Hz頻段，設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器，使建筑物在該頻段的干擾抑制能力大大增強(qiáng).文獻(xiàn)[33]為建筑防震系統(tǒng)設(shè)計了有限頻段狀態(tài)反饋H∞容錯控制器，用迭代算法得到了有限頻段最優(yōu)H∞性能指標(biāo)，其設(shè)計方案比現(xiàn)有設(shè)計方案具有更好的振動抑制效果.有限頻段分析與設(shè)計方法也應(yīng)用于航天器的隨機(jī)振動系統(tǒng)[55]及機(jī)械臂系統(tǒng)的設(shè)計.

4 總結(jié)與展望

雖然自GKYP引理提出以來，有限頻段性能的相關(guān)研究得到了不少有意義的結(jié)果，但還存在需進(jìn)一步探索的問題如下：

(1) 上述將GKYP引理推廣并應(yīng)用到多模態(tài)系統(tǒng)中的做法，雖然得到了較好的有限頻段控制性能，但僅僅是根據(jù)對象特性將引理進(jìn)行推廣，或通過其他手段將多模態(tài)混雜系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成單模態(tài)線性系統(tǒng)，并沒有從定理變形的角度給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明，使GKYP引理適用于其他復(fù)雜動態(tài)系統(tǒng).因此，從數(shù)學(xué)角度將GKYP引理推廣到更一般的復(fù)雜系統(tǒng)，是最重要也是最具挑戰(zhàn)性的課題.

(2) 目前多數(shù)研究均基于線性矩陣不等式理論，所得結(jié)果也僅僅實現(xiàn)了充分性，并沒有實現(xiàn)必要性，仍具有很大的保守性.因此，如何得到有限頻段性能問題的充要條件及尋求其他求解工具以降低結(jié)果的保守性，是今后重要的研究方向之一.

(3) 現(xiàn)有研究成果大多針對基礎(chǔ)理論問題，對于先進(jìn)控制策略的有限頻段性能的研究還沒有文獻(xiàn)涉及.另一方面，隨著工業(yè)化水平的提高，對工業(yè)生產(chǎn)會提出更苛刻的要求，不僅要求控制系統(tǒng)在某一頻段具有給定的性能指標(biāo)，更希望系統(tǒng)在不同頻段滿足不同的性能指標(biāo).因此，自適應(yīng)有限頻段問題、多頻段性能綜合問題等均是值得進(jìn)一步研究的課題.

(4) 有限頻段性能研究的現(xiàn)有成果中，雖然有小部分能解決實際應(yīng)用問題，但此應(yīng)用僅限于單模態(tài)線性系統(tǒng).對于多模態(tài)混雜系統(tǒng)大多只是理論研究，如何跨越理論研究與工程應(yīng)用間的鴻溝，將所得結(jié)果應(yīng)用于復(fù)雜工程系統(tǒng)，是一個有重大應(yīng)用價值的課題.

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