歐明青，倪宣明，韋 江

(1.清華大學經(jīng)濟管理學院，北京 100084；2.北京大學軟件與微電子學院，北京 100871)

1 引言

如果一個國家或地區(qū)60周歲及以上老年人口占人口總數(shù)的10%，或者65歲及以上老年人口占人口總數(shù)的7%，該國家或地區(qū)就被認為進入了老齡化社會。根據(jù)當前我國統(tǒng)計局對老年人口的統(tǒng)計，2001年我國65歲及以上老年人口占總?cè)丝诘谋壤秊?.1%，表明我國已正式進入老齡化社會。而且這個老年人口比例還在逐年上升，依據(jù)《2016年社會服務發(fā)展統(tǒng)計公報》，我國60周歲及以上老年人口占總?cè)丝诒壤秊?6.7%，65周歲及以上老年人口占總?cè)丝诒壤堰_10.8%，并預期未來老齡化程度會進一步加深。因此人口老齡化已成為影響我國經(jīng)濟發(fā)展的重要因素之一。

老年人占比的變化即人口結(jié)構(gòu)的變動形成了當前的人口老齡化問題。而我國老年人口基數(shù)大，增長速度較快，老年人的養(yǎng)老支出逐年上升，使得經(jīng)濟的總儲蓄率下降，資本積累速度下降，投資也下降，從而導致經(jīng)濟增長速度下滑。近年來我國GDP整體增速變緩，人口老齡化程度不斷加深顯然是重要因素之一。這種人口結(jié)構(gòu)的老齡化變動使得勞動生產(chǎn)力的供給整體下滑，勞動人口占總?cè)丝诘谋戎卦絹碓降?，并具有持續(xù)下降趨勢，也會使得政府的政策與人們的觀念均發(fā)生變化，因此人口結(jié)構(gòu)的變化會影響人們對未來的看法，即人口結(jié)構(gòu)的變化會影響時間偏好，即影響效用貼現(xiàn)因子。因此本文從人口結(jié)構(gòu)和時間偏好的角度來建立老齡化的經(jīng)濟增長模型。

對經(jīng)濟增長理論的分析始于Harrod[1]，基于“資本產(chǎn)出比不變”這一關(guān)鍵假設(shè)，將經(jīng)濟增長率分為實際增長率、均衡增長率與自然增長率，這三個增長率均由外生參數(shù)決定，很難同時相等，因此，增長路徑呈現(xiàn)“刀鋒式”形態(tài)，難以穩(wěn)定。Solow[2]用新古典生產(chǎn)函數(shù)代替了Harrod[1]的生產(chǎn)函數(shù)假設(shè)，構(gòu)建了新古典增長理論，即經(jīng)濟系統(tǒng)全局穩(wěn)定，在該平衡增長路徑上，人均產(chǎn)出唯一取決于技術(shù)進步率，從而改變了Harrod[1]的悲觀結(jié)論。隨后，Cass[3]和Koopman[4]在Ramsey[5]研究的基礎(chǔ)上，將Solow模型中外生的儲蓄率內(nèi)生化，引進代表性家庭假設(shè)，并在Samuelson[6]效用可加、時間可分、偏好一致及效用貼現(xiàn)因子不變的假設(shè)下，將Solow模型的一維微分系統(tǒng)拓展為二維微分系統(tǒng)，得出鞍型(Saddle)的平衡增長路徑，這種鞍型路徑正反映了代表性家庭的理性。Ramsey模型還可以對家庭的效用函數(shù)及企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)進行拓展，如Sidrauski[7]基于Tobin[8]模型將貨幣引入效用函數(shù)，Kurz[9]將財富引入效用函數(shù)，Arrow和Kurz[10]和Barro[11]將政府公共支出引入效用函數(shù)和生產(chǎn)函數(shù)，Cole等[12]將社會地位引入效用函數(shù)，Turnovsky[13]將勞動引入效用函數(shù)等。

但利用Ramsey模型求解家庭效用最大化問題時，若不考慮人口增長、技術(shù)進步等因素，給定資本回報率為常數(shù)，那么微分系統(tǒng)中資本回報率與效用貼現(xiàn)因子這兩個外生參數(shù)如果不相等，將會產(chǎn)生動態(tài)無效，但相等又將出現(xiàn)無動態(tài)。因此，需要對Samuelson[6]的效用貼現(xiàn)因子假設(shè)進行拓展，主要有內(nèi)生和外生兩個方向。效用貼現(xiàn)因子反映家庭對未來的看法，內(nèi)生化方向上將效用貼現(xiàn)因子表示為系統(tǒng)內(nèi)生變量的函數(shù)，效用貼現(xiàn)因子隨著內(nèi)生變量的變化加以調(diào)整。Uzawa[14]指出，效用貼現(xiàn)因子受家庭效用的影響，而效用受消費影響。Obstfeld[15]將Uzawa[14]的研究方法直接推廣到開放經(jīng)濟系統(tǒng)。Becker和Barro[16]指出幸福程度影響貼現(xiàn)因子。Becker和Mulligan[17]指出健康、不確定性、死亡率等都會影響效用貼現(xiàn)因子，家庭可以通過投資來改變對未來的看法。Gootzeit等[18]指出儲蓄水平影響家庭對未來的耐心程度，并認為這是Marshall的觀點，因此將這種貼現(xiàn)因子稱為Marshall貼現(xiàn)因子。Kam[19]指出財富會影響貼現(xiàn)因子。但是，內(nèi)生化方向在技術(shù)上難以處理，對效用貼現(xiàn)因子函數(shù)的假設(shè)也更為嚴格，不如外生化方向便利。Laibson[20]提出了雙曲線貼現(xiàn)因子(Hyperbolic discounting)，認為家庭在今天和明天之間耐心程度較低，更為看重今天，但明天和將來之間耐心程度較高，甚至未來無差異。Barro[21]在Laibson[20]基礎(chǔ)上研究承諾能力(Commitment)。Takashi[22]提出非線性貼現(xiàn)因子(Nonlinear discounting)。Krusell和Smith[23]提出擬幾何級數(shù)貼現(xiàn)因子(Quasi-geometric discounting)。

Ramsey模型將經(jīng)濟增長歸結(jié)為外生的技術(shù)進步率，內(nèi)生增長率理論則將技術(shù)進步率內(nèi)生化，探究經(jīng)濟增長的微觀機制，將技術(shù)進步主要歸結(jié)為人口的增長。Arrow[24]提出了干中學(Learning by doing)模型，指出技術(shù)可以在生產(chǎn)產(chǎn)品的過程中附帶產(chǎn)生，這就改變了新古典生產(chǎn)函數(shù)的基本假設(shè)，如使用AK型生產(chǎn)函數(shù)。Uzawa[25]建立了產(chǎn)品生產(chǎn)和人力資本生產(chǎn)的兩部門經(jīng)濟模型，人力資本的生產(chǎn)過程與物質(zhì)產(chǎn)品的生產(chǎn)過程類似。這兩個基本模型均指出，技術(shù)進步唯一取決于人口增長。顯然，若發(fā)明技術(shù)的成本獨立于使用技術(shù)的人數(shù)，隨著人口規(guī)模的增加，技術(shù)發(fā)明的潛在人數(shù)將會增加，技術(shù)的總量將會上升。隨后，Romer[26-27]和Lucas[28-29]分別對這兩個基本模型加以拓展，前者指出除人口增長外，政府對研發(fā)的投入、制度建設(shè)及經(jīng)濟一體化等因素也會促進技術(shù)進步，后者指出人力資本存在溢出效應，分別形成了Arrow-Romer模型與Uzawa-Lucas模型。Aghion和Howitt[30]也給出類似的觀點。人口增長促進技術(shù)進步的同時，技術(shù)進步也會影響人口增長，Kremer[31]研究指出，在幾乎全部的人類歷史中，技術(shù)進步主要用于人口增加而非人均收入增加。

Ramsey模型假定了代表性消費者的同質(zhì)性，并認為消費者永續(xù)存在(Infinite horizon)，要想在經(jīng)濟系統(tǒng)中分析老年人，需要對這種假設(shè)加以改變。Ramsey模型中與人口相關(guān)的基本假設(shè)，有代表性家庭假設(shè)與總?cè)丝谠鲩L率與勞動人口增長率相等假設(shè)。Samuelson[32]和Diamond[33]改變代表性消費者永續(xù)存在假設(shè)，直接引入老年人，指出代表性消費者只存在兩期，分別表示為年輕人和老年人，年輕時進行儲蓄以便老年時消費，在兩類人口結(jié)構(gòu)平穩(wěn)的前提下建立OLG模型進行分析。這是當前國內(nèi)外研究老齡經(jīng)濟的主流范式，例如在OLG模型基礎(chǔ)上，F(xiàn)utagami和Nakajima[34]結(jié)合生命周期假說分析老齡化問題，劉窮志和何奇[35]、Nishiyama[36]研究老齡化與財政政策的關(guān)系，胡翠和許召元[37]研究老齡化與儲蓄率之間的關(guān)系，Mao Rui和Xu Jianwei[38]研究老齡化與消費率之間的關(guān)系，F(xiàn)ougere等[39]、Choi和Shin[40]直接進行實證分析。此外，Blanchard[41]在Yarri[42]的基礎(chǔ)上，在經(jīng)濟模型中引入死亡率假設(shè)，這改變了代表性家庭永續(xù)存在這一假設(shè)，以間接的方式變相引入了老年人。另一種間接方式由武康平等[43-44]給出，通過放寬Ramsey模型中“總?cè)丝谠鲩L率與勞動人口增長率相等”這一假設(shè)，引入人口結(jié)構(gòu)變動，指出人口老齡化的形成總與人口某一階段快速增長相關(guān)，并將總?cè)丝谠鲩L率與勞動人口增長率之差定義為老齡化率，在此基礎(chǔ)上分析老齡經(jīng)濟，此時將經(jīng)濟系統(tǒng)中未被勞動吸收的新增加的人口視為老年人，而且人口結(jié)構(gòu)持續(xù)變動，這樣不必引入年齡結(jié)構(gòu)參數(shù)。本文正是在這一假設(shè)基礎(chǔ)之上研究人口結(jié)構(gòu)變化對效用貼現(xiàn)因子及經(jīng)濟增長與社會福利的影響，并從以下方面區(qū)別于既有文獻的研究工作。

第一，我們從人口結(jié)構(gòu)的持續(xù)變動出發(fā)，在經(jīng)濟學上而非統(tǒng)計學意義上定義老齡化率，并在此基礎(chǔ)上定義人口結(jié)構(gòu)變動參數(shù)。第二，人口結(jié)構(gòu)變動會影響人們對未來的看法，即影響效用貼現(xiàn)因子，我們引入人口結(jié)構(gòu)的變動對既有的增長理論模型進行了拓展。因為增長理論一般都假設(shè)一個代表性家庭和一個代表性企業(yè)，即經(jīng)濟系統(tǒng)中的家庭或企業(yè)是同質(zhì)的。但由于代表性家庭又被假定永續(xù)存在，那么人口結(jié)構(gòu)變動對代表性的家庭或者個體沒有意義，因此在這種假定下人口增長率的變化、人口結(jié)構(gòu)的變動等都無法影響效用貼現(xiàn)因子，而這與現(xiàn)實的經(jīng)濟運行不符合。我們引入人口結(jié)構(gòu)變動后，可以刻畫人口結(jié)構(gòu)對效用貼現(xiàn)因子的影響，從而拓展現(xiàn)有的增長理論模型使之更符合實際情況。第三，根據(jù)我們的模型可以直觀的從理論上探討人口結(jié)構(gòu)變動對社會福利及經(jīng)濟增長的影響。更進一步的證明如果用代表性家庭的終身效用來度量社會福利，由于人口結(jié)構(gòu)也影響效用貼現(xiàn)因子，社會福利最大化與經(jīng)濟增長速度最大化將會呈現(xiàn)不一致。第四，從社會福利最大化和經(jīng)濟增長速度最大化兩個角度出發(fā)，我們給出了對人口政策及老齡化問題相應的政策建議，并在一定的假設(shè)下，給出了最優(yōu)的人口結(jié)構(gòu)參數(shù)。

本文的內(nèi)容安排如下：給出理論分析所需要的基本假設(shè)，包括老齡化率、人口結(jié)構(gòu)變動、效用貼現(xiàn)因子等；建立分散經(jīng)濟框架下的理論模型，探討人口結(jié)構(gòu)變動對經(jīng)濟增長及社會福利的影響，并給出相應的數(shù)值模擬。另一方面，理論分析和數(shù)值模擬的結(jié)果也可以為政府制定相應的政策提供依據(jù)。

2 模型假設(shè)

通過放寬Ramsey模型中“總?cè)丝谠鲩L率與勞動人口增長率相等”這一假設(shè)，引入人口結(jié)構(gòu)變動，將總?cè)丝谠鲩L率與勞動人口增長率之差定義為老齡化率，將經(jīng)濟系統(tǒng)中未被勞動吸收的新增加的人口視為老年人，而且人口結(jié)構(gòu)持續(xù)變動，這樣不必引入年齡結(jié)構(gòu)參數(shù)，在此基礎(chǔ)之上研究人口結(jié)構(gòu)變化對效用貼現(xiàn)因子及經(jīng)濟增長與社會福利的影響。

2.1 老齡化率

假設(shè)勞動人口是總?cè)丝诘囊欢ū壤碙(t)=φ(t)P(t)，L(t)與P(t)表示t時刻的勞動人口與總?cè)丝?。比例?t)并非常數(shù)，總?cè)丝谠鲩L率與勞動人口增長率不相等，將經(jīng)濟系統(tǒng)中持續(xù)增加的非勞動人口定義為老年人，則老齡化率θ的定義如下：

(1)

2.2 人口結(jié)構(gòu)參數(shù)

因為我國已經(jīng)進入老齡化社會，也即θ>0，但是經(jīng)濟系統(tǒng)中老年人口總量以增速θ持續(xù)上升，也意味著我國的人口結(jié)構(gòu)也在持續(xù)發(fā)生變動，這種結(jié)構(gòu)變化可以用老年人口與勞動人口的增速之比來度量。又因為二者增速之間滿足關(guān)系式θ+l=n，因此我們將人口結(jié)構(gòu)參數(shù)λ定義為老年人口與總?cè)丝诘脑鲩L速度之比：

(2)

2.3 技術(shù)

內(nèi)生增長理論將技術(shù)進步主要歸結(jié)為人口的增長。Arrow-Romer的干中學模型表明知識可以在生產(chǎn)物質(zhì)產(chǎn)品過程中伴隨產(chǎn)生，而Uzawa-Lucas的兩部門經(jīng)濟模型表明技術(shù)的生產(chǎn)過程與物質(zhì)產(chǎn)品的生產(chǎn)過程類似，兩部門之間的資源配置對經(jīng)濟系統(tǒng)有影響。由于知識普遍具有非競爭性和非排他性的公共品屬性，既有的知識存量也會對技術(shù)進步產(chǎn)生影響。

如果忽略財富、研發(fā)投入、基礎(chǔ)教育投入、制度等因素對技術(shù)進步的影響，僅考慮人口因素，則技術(shù)進步率可以表示為：

(3)

其中，A表示技術(shù)或知識，初始的技術(shù)存量為A0。n-θ是勞動人口的增長速度，可以視為干中學效應。老年人往往擁有較高的人力資本，尤其體現(xiàn)在智慧上，如大學教授、中醫(yī)等，因此θ某種程度上也可視為兩部門模型中生產(chǎn)技術(shù)的資源投入。這里，技術(shù)進步率使用人口結(jié)構(gòu)參數(shù)來度量，因此(3)式可改為：

(4)

參數(shù)θ與n已外生給定，則g(λ)>0也為外生給定。

2.4 效用貼現(xiàn)因子

時間偏好，即效用貼現(xiàn)因子，反映代表性家庭對未來的看法。假設(shè)效用貼現(xiàn)因子ρ受人口結(jié)構(gòu)的影響，即：

ρ=ρ(λ)

(5)

假設(shè)ρ(λ)在[0,1]上可導，并在(0,1)上該導數(shù)連續(xù)。假設(shè)人口增長率小幅上升，形成的額外的老齡化率的上升超過人口增長率，當λ小幅上升，人們預期額外增加的人口所形成的技術(shù)進步成果更高，會對未來極為有耐心，更看重未來，此時ρ′(λ)<0；但是如果經(jīng)濟系統(tǒng)中老齡化率占人口增長率的比例過高，人們預期未來的技術(shù)進步率不足以支撐老年人口，從而會擔心未來，此時更看重當前，即ρ′(λ)>0。假設(shè)這種不安會隨著老齡化率占比上升而加深，因此不妨假設(shè)ρ″(λ)>0。例如，放開二胎政策，一對夫婦可生兩胎時，相比較一胎而言，對未來的擔心程度會降低，比如至少“失獨”家庭的可能性會降低。但若夫婦生五六胎甚至更多時，如類似建國后初期人口的快速增長，則會使社會形成對未來養(yǎng)老問題的擔憂，甚至會擔心進入馬爾薩斯陷阱，從而更會看重當前。

當人口結(jié)構(gòu)參數(shù)λ給出時，ρ(λ)也為外生常數(shù)。

2.5 其它相關(guān)假設(shè)

假設(shè)代表性消費者具有CRRA型效用函數(shù)為u(C)=C1-δ/(1-δ)，δ∈(0,1)為常數(shù)表示不變的相對風險規(guī)避傾向。經(jīng)濟系統(tǒng)中代表性家庭永續(xù)存在且家庭數(shù)量Z不發(fā)生變化，人口在家庭內(nèi)增長，則代表性家庭的終身效用可以表示為：

(6)

家庭的收入來源包括勞動(L)收入與資產(chǎn)(B)收入，有效勞動(AL)的工資率w，資產(chǎn)的收益率為常數(shù)r，初始資產(chǎn)為B0。

假設(shè)代表性企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)Y=F(K,AL)滿足新古典函數(shù)假設(shè)，即生產(chǎn)函數(shù)對資本和勞動一次齊次、K與L的邊際生產(chǎn)率為正并遞減、Inada條件等。

經(jīng)濟系統(tǒng)不考慮政府、折舊等因素。

3 理論模型與福利分析

3.1 理論模型

首先定義有效勞動人均下的集約形式：k=K/(AL)，c=PC/(AL)，b=B/(AL)，f(k)=Y/(AL)=F(k,1)，在代表性家庭與代表性企業(yè)優(yōu)化行為的基礎(chǔ)上，分析平衡增長路徑。

代表性家庭考慮終身效用最大化，優(yōu)化問題如下：

(7)

其中，D=(A0φ0)1-δP0/Z，β=ρ(λ)-n-(1-δ)(g(λ)-θ)為有效勞動人均化后的效用貼現(xiàn)因子，假設(shè)β>0，用以保證廣義積分收斂，b0=φ(c0)表示代表性家庭收支平衡下，初始有效勞動資產(chǎn)與初始有效勞動人均消費所滿足的函數(shù)關(guān)系。

定義Hamilton函數(shù)為H=Dc1-δe-βt/(1-δ)+μ(rb+w-c-(n+g(λ)-θ)b)，其中μ為Hamilton乘子，表示有效勞動人均資產(chǎn)b的邊際值。

(8)

這里未給出生產(chǎn)函數(shù)的具體形式，微分系統(tǒng)難以求出顯式解，僅考慮穩(wěn)態(tài)點及平衡增長路徑，并忽略對橫截性條件的討論。

代表性企業(yè)追求利潤最大化，優(yōu)化問題如下：

(9)

一階必要條件在集約化下的形式為：

r=f′(k)，w=f(k)-kf′(k)

(10)

市場出清要求企業(yè)資本需求與家庭資產(chǎn)供給相等，即：

b=k

(11)

結(jié)合式(8)與式(10)，經(jīng)濟系統(tǒng)由下述微分方程組決定：

(12)

3.2 平衡增長路徑

(13)

由生產(chǎn)函數(shù)的單調(diào)性假設(shè)f′(k)>0，均衡點的存在需要滿足以下前提條件：

ρ(λ)+δ(g(λ)-θ)>0

(14)

基于式(14)，均衡點滿足存在性和唯一性，進一步分析考慮經(jīng)濟系統(tǒng)的穩(wěn)定性。將式(12)中的微分方程組在均衡點(k*,c*)附近一階泰勒展開，對應系數(shù)矩陣的特征方程為：

η2-βη+c*f″(k*)/σ=0

(15)

其中，η表示系數(shù)矩陣的特征根，由η1η2=c*f″(k*)/σ<0和η1+η2=β>0，可知特征根一正一負，表明經(jīng)濟系統(tǒng)在均衡點附近鞍點穩(wěn)定，與標準的Ramsey模型類似，且這種鞍型路徑正反映了代表性家庭的理性選擇行為。不妨假設(shè)η1<0，則-η1可以表示經(jīng)濟系統(tǒng)從初始狀態(tài)到均衡點的近似收斂速度。

(16)

此時，總產(chǎn)出與總資本均以n+g(λ)-θ的速度增長，但勞動人均產(chǎn)出的增長率與人均產(chǎn)出的增長率并不相同。勞動人均產(chǎn)出的增長率為：

(17)

而人均產(chǎn)出(yP)的增長率為：

(18)

即人均產(chǎn)出增長率取決于技術(shù)進步率和老齡化率之差，顯然，人均產(chǎn)出持續(xù)上升，前提條件必須滿足：

g(λ)>θ

(19)

技術(shù)增長率必須超過老齡化率。一旦g(λ)=θ，人均產(chǎn)出陷入停滯，技術(shù)進步帶來的成果由老齡化率完全吸收，而若g(λ)<θ，人均產(chǎn)出將持續(xù)下降，最終將會陷入馬爾薩斯陷阱。

平衡增長路徑的基本分析由定理1總結(jié)：

定理1：給定ρ(λ)+δ(g(λ)-θ)>0，總產(chǎn)出和總資本以n+g(λ)-θ的速度增長，若g(λ)>θ，人均產(chǎn)出以g(λ)-θ的速度增長，取決于技術(shù)進步率與老齡化率之差；若g(λ)=θ，技術(shù)進步帶來的成果完全由老齡化率吸收；若g(λ)<θ，經(jīng)濟會陷入馬爾薩斯陷阱。

3.3 社會福利與經(jīng)濟增長

基于代表性家庭存在，社會福利可以由家庭的終身效用表示，在平衡增長路徑上，社會福利表示為：

U*=Du(c*)/β

(20)

由式(18)，經(jīng)濟增長速度可由人均收入(產(chǎn)出)的增長速度表示：

γ=g(λ)-θ

(21)

經(jīng)典的Ramsey模型中一般假設(shè)β為常數(shù)，社會福利僅取決于效用，基于效用函數(shù)的單調(diào)性，效用u(c*)最大化意味著c*的最大化，而后者與y*的最大化一致，此時社會福利最大化與經(jīng)濟增長速度一致。當效用函數(shù)或生產(chǎn)函數(shù)發(fā)生變化時，如Sidrauski或Barro，二者會呈現(xiàn)不一致。但在本模型中，由于人口結(jié)構(gòu)影響了效用貼現(xiàn)因子ρ進而影響β，此時，福利最大化與增長速度最大化將會呈現(xiàn)不一致。

依式(2)中人口結(jié)構(gòu)參數(shù)的定義，人口結(jié)構(gòu)受總?cè)丝谠鲩L率及老齡化率的影響。依式(1)老齡化率的定義，總?cè)丝谠鲩L率分解為老齡化率與勞動人口增長率，因此，可以假設(shè)θ與l均為n的函數(shù)，分別表示為θ(n)與l(n)，進而人口結(jié)構(gòu)參數(shù)λ也為總?cè)丝谠鲩L率n的函數(shù)。假設(shè)λ(n)、θ(n)和l(n)在[0,∞)上可導，并在(0,∞)上導數(shù)連續(xù)，θ′(n)∈[0,1]。當θ′(n)=0時，表明總?cè)丝谠鲩L率上升全部為勞動人口增長率所吸收；當θ′(n)=1時，表明總?cè)丝谠鲩L率上升全部為老齡化率所吸收；當θ′(n)∈(0,1)時，總?cè)丝谠鲩L率上升使得老齡化率與勞動人口增長率同時上升。下面考慮人口增長率變化對經(jīng)濟系統(tǒng)的影響。

定理2：若(ρ′(λ)+δg′(λ))λ′(n)-δθ′(n)>0，則勞動人均資本隨總?cè)丝谠鲩L率上升而下降，?k*/?n<0；若(ρ′(λ)+δg′(λ))λ′(n)-δθ′(n)<0，則?k*/?n>0。若β?k*/?n-k*(1+g′(λ)λ′(n)-θ′(n))<0，則勞動人均消費隨總?cè)丝谠鲩L率上升而下降，?c*/?n<0；若β?k*/?n-k*(1+g′(λ)λ′(n)-θ′(n))>0，則?c*/?n>0。其中，?k*/?n=(ρ′(λ)+δg′(λ))λ′(n)/f″(k*)-δθ′(n)/f″(k*)。

證明：式(13)兩邊同時對n求導，可得：

(22)

整理可得定理2。證畢。

下面考慮社會福利最大化。式(20)對總?cè)丝谠鲩L率求導可得：

(23)

其中，εnc、εcu與εnβ分別表示總?cè)丝谠鲩L率n對有效勞動人均消費c、有效勞動人均消費c對代表性消費者效用u和總?cè)丝谠鲩L率n對調(diào)整后效用貼現(xiàn)因子β的彈性。式(23)表明，人口增長率對社會福利的影響，取決于其對效用和對效用貼現(xiàn)因子的影響之差。在代表性家庭假設(shè)中使用了CRRA型效用函數(shù)，易得：

εcu=1-δ

(24)

定理3：若(1-δ)εnc>εnβ，則社會福利隨人口增長率上升而上升，?U*/?n>0；若(1-δ)εnc<εnβ，?U*/?n<0；社會福利最大化的必要條件為：(1-δ)εnc=εnβ。

其中：

(25)

基于定理2及β的定義，對n求偏導并整理，即可完成定理3的證明。

從式(25)可以看出，n對調(diào)整后的效用貼現(xiàn)因子β的影響分為三部分：首先是對效用貼現(xiàn)因子ρ(λ)的影響；其次是人口增長的直接影響，因為人口在代表性家庭中增長；最后是對技術(shù)進步率的影響，因為分析中使用了勞動人均的集約形式。

由于ρ(λ)的存在，社會福利最大化與經(jīng)濟增長最大化呈現(xiàn)不一致。人口增長率對經(jīng)濟增長的影響由定理4給出：

定理4：若g′(λ)λ′(n)>θ′(n)，人均收入增速隨人口增長率上升而上升，?γ/?n>0；若g′(λ)λ′(n)<θ′(n)，則?γ/?n<0；人均收入增速最大化必要條件為g′(λ)λ′(n)=θ′(n)。

式(21)中對n求導并整理，即可完成定理4的證明。

定理3與定理4比較易得，社會福利最大化和人均產(chǎn)出增速最大化所要求的總?cè)丝谠鲩L率很難一致，不一致的條件由定理5給出。

定理5(不一致定理)：總?cè)丝谠鲩L率不能同時滿足社會福利最大化和人均收入增長速度最大化的充分條件為：(1-δ)(βρ′(λ)λ′(n)/f″(k*)-k*)/c*-(ρ′(λ)λ′(n)-1)/β≠0。

定理5的證明中，將人均收入增速最大化必要條件代入社會福利最大化的必要條件，即可證得。

3.4 最優(yōu)人口結(jié)構(gòu)

前面分析中，人口結(jié)構(gòu)λ取決于人口增長率n，社會福利或人均收入增速最大化決定了最優(yōu)的人口增長率n，進而也決定了最優(yōu)的人口結(jié)構(gòu)λ。

這里考慮一種特殊情形以分析人口結(jié)構(gòu)的影響：人口增長率的變動不影響人口結(jié)構(gòu)，λ′(n)=0，即εnθ=1，這表明老齡化率始終為人口增長率的不變比例λ∈(0,1)，θ=λn。

此時，考慮人口結(jié)構(gòu)變動，定理2相應調(diào)整為：

定理2’：若ρ′(λ)+δ(g′(λ)-n)>0，則?k*/?λ=(ρ′(λ)+δ(g′(λ)-n))/f″(k*)<0；若ρ′(λ)+δ(g′(λ)-n)>0，則?k*/?λ<0。若β?k*/?λ-k*(g′(λ)-n)<0，則?c*/?λ<0；若β?k*/?λ-k*(g′(λ)-n)>0，則?c*/?λ>0。

人口結(jié)構(gòu)對社會福利的影響相應調(diào)整為：

定理3’：若(1-δ)ελc>ελβ，則社會福利隨人口結(jié)構(gòu)參數(shù)上升而上升，?U*/?λ>0；若(1-δ)ελc<ελβ，?U*/?λ<0；社會福利最大化的必要條件為：(1-δ)ελc=ελβ。

其中：

(26)

人口結(jié)構(gòu)對經(jīng)濟增長的影響相應調(diào)整為：

定理4’：若g′(λ)>n，人均收入增速隨人口結(jié)構(gòu)參數(shù)上升而上升，?γ/?n>0；若g′(λ)

為給出人均收入增速最大化下的最優(yōu)人口結(jié)構(gòu)參數(shù)顯式解，不妨假設(shè)最優(yōu)技術(shù)進步率的函數(shù)為：

g(λ)=(1-dλ)λ，d>0

(27)

易得人均收入增速最大化下的最優(yōu)人口結(jié)構(gòu)參數(shù)為：

(28)

式(28)要求n<1，實際經(jīng)濟中，這一條件很容易滿足。

為簡化分析社會福利，將式(27)給出的技術(shù)進步率函數(shù)調(diào)整為：

g(λ)=λn=θ

(29)

式(29)表明，技術(shù)進步率是總?cè)丝谠鲩L率的固定比例，但低于人口增長率，而且此時技術(shù)進步帶來的成果完全為老齡化率所吸收，人均產(chǎn)出維持不變。

定理6：若g(λ)=λn，則社會福利最大化的充分條件為：ρ′(λ)=0。

證明：給定g(λ)=λn，依據(jù)式(20)及定理3’，整理可得：

(30)

由f″(k*)<0、1-δ>0及效用貼現(xiàn)因子ρ(λ)的相關(guān)假設(shè)可知，ρ′(λ)=0為社會福利最大化的充分條件。證畢。

這里給出一個簡單的函數(shù)模擬，假設(shè)效用貼現(xiàn)因子的函數(shù)為：

ρ(λ)=ρ0+λ(qλ-p)

(31)

其中，ρ0>0，0

當λ

0，最優(yōu)的人口結(jié)構(gòu)參數(shù)為λ=p/2q。

3.5 參數(shù)模擬

為了更直觀地觀察人口增長率對社會福利和經(jīng)濟增長速度的影響，我們采用數(shù)值計算來說明。選取參數(shù)ρ0=0.02，δ=0.75，λ=0.3，d=2，p=1，q=4，則g(λ)=(1-2λ)λ，ρ(λ)=0.02+λ(4λ-1)。如圖1所示，社會福利最大化和經(jīng)濟增長速度最大化所要求的人口增長率是不同的。在選取的參數(shù)下，人口結(jié)構(gòu)參數(shù)超過p/2q，代表性消費者對未來較為悲觀，轉(zhuǎn)而越來越看重當前。

圖1 人口增長率對社會福利和人均產(chǎn)出增長率的影響

類似的，用數(shù)值模擬的方法觀察人口結(jié)構(gòu)對社會福利和人均產(chǎn)出增長率的影響，選取參數(shù)ρ0=0.02，δ=0.75，n=0.002，d=2，p=1，q=30，則g(λ)=(1-2λ)λ，ρ(λ)=0.02+λ(30λ-1)。如圖2所示，社會福利最大化和經(jīng)濟增長速度最大化所要求的人口結(jié)構(gòu)是不同的。

圖2 人口結(jié)構(gòu)對社會福利和人均產(chǎn)出增長率的影響

4 結(jié)語

本文根據(jù)老齡化這一實際社會現(xiàn)象，從人口結(jié)構(gòu)持續(xù)變動出發(fā)，放寬“總?cè)丝谠鲩L率與勞動人口增長率相等”這一基本假設(shè)，從經(jīng)濟學角度定義老齡化率，并將人口結(jié)構(gòu)參數(shù)定義為老齡化率與人口增長率的比例。人口結(jié)構(gòu)變動不僅影響人們對未來的看法，即效用貼現(xiàn)因子，還影響技術(shù)進步率。在一定假設(shè)下，我們將人口結(jié)構(gòu)參數(shù)引進Ramsey模型，得出鞍型的平衡增長路徑。并發(fā)現(xiàn)在該路徑上，人均產(chǎn)出增長率取決于技術(shù)進步率與老齡化率之差。在既定的人口結(jié)構(gòu)下，技術(shù)進步除用于提高收入水平外，還用于贍養(yǎng)經(jīng)濟中的老年人口。由于人口結(jié)構(gòu)參數(shù)受總?cè)丝谠鲩L率影響，又影響效用貼現(xiàn)因子，因此經(jīng)濟增長速度最大化與福利最大化所要求的總?cè)丝谠鲩L率不一致，本文也給出了相應的邊界條件。

為分析人口結(jié)構(gòu)參數(shù)對經(jīng)濟系統(tǒng)的影響，本文隨后考慮一種特殊情形，老齡化率是總?cè)丝谠鲩L率的固定比例，此時總?cè)丝谠鲩L率不影響人口結(jié)構(gòu)參數(shù)。在給出經(jīng)濟增長速度最大化和社會福利最大化所需人口結(jié)構(gòu)參數(shù)的一階條件基礎(chǔ)上，本文進行了相應的函數(shù)模擬。經(jīng)濟增長速度最大化要求人口結(jié)構(gòu)參數(shù)對技術(shù)進步率的邊際影響等于總?cè)丝谠鲩L率。為簡化為社會福利的分析，本文給出技術(shù)進步率與老齡化率相等的假設(shè)，得出對應社會福利最大化的最優(yōu)人口結(jié)構(gòu)參數(shù)的一階條件，此時人口結(jié)構(gòu)參數(shù)對效用貼現(xiàn)因子的邊際影響應該等于零。

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