甘 柳，羅鵬飛，楊招軍

(1.湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410079;2.湖南商學(xué)院財(cái)政金融學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410205;3.南方科技大學(xué)金融系, 廣東 深圳 518055)

1 引言

實(shí)物期權(quán)的研究始于McDonald和Siegel[1]，而Dixit和Pindyck[2]對(duì)實(shí)物期權(quán)的全面研究形成了探究不可逆投資的標(biāo)準(zhǔn)方法。隨后廣大學(xué)者從資本市場(chǎng)摩擦、債務(wù)融資、外部融資成本以及管理者決策等角度來(lái)逐步改變或放松標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物期權(quán)模型的假設(shè)條件，以更真實(shí)刻畫(huà)不確定市場(chǎng)環(huán)境中的項(xiàng)目投資決策。例如Childs等[3]和Mauer等[4]在實(shí)物期權(quán)框架下引入債務(wù)融資，基于股東與債權(quán)人代理沖突，研究企業(yè)投資和融資的相互影響；Shibata和Nishihara[5-7]進(jìn)一步引入外部債務(wù)融資約束，分析債務(wù)融資約束對(duì)企業(yè)投資與融資行為的影響；Andrikopoulos[8]和Hori等[9]在實(shí)物期權(quán)框架下引入管理者，研究當(dāng)管理者與股東決策不一致時(shí)，企業(yè)投資與融資的相互影響；另外，國(guó)內(nèi)學(xué)者也對(duì)實(shí)物期權(quán)理論進(jìn)行了多方位的拓展[10-14]。然而，以上文獻(xiàn)都沒(méi)有考慮項(xiàng)目面臨運(yùn)營(yíng)滯后的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，即項(xiàng)目投資完成與正式運(yùn)營(yíng)之間存在時(shí)滯。例如土地建設(shè)項(xiàng)目可能因?yàn)閷徟舆t，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，發(fā)電廠項(xiàng)目或機(jī)場(chǎng)建設(shè)項(xiàng)目從進(jìn)入投資到運(yùn)營(yíng)可能會(huì)花費(fèi)6到10年時(shí)間，煤礦項(xiàng)目從投資到運(yùn)營(yíng)也需要5到6年時(shí)間來(lái)完成，等等。因此，作為一般理論擴(kuò)展，探討運(yùn)營(yíng)滯后下的項(xiàng)目投資問(wèn)題具有實(shí)際價(jià)值。

基于此，Alvarez和Keppo[15]構(gòu)建實(shí)物期權(quán)框架下交付滯后的投資模型，研究企業(yè)純股權(quán)融資情形的不確定性投資問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)投資的不確定性會(huì)導(dǎo)致延遲投資，Sarkar和Zhang Chuanqian[16]以及Agliardi和Koussis[17]進(jìn)一步擴(kuò)展這一模型，發(fā)現(xiàn)投資不確定性和滯后時(shí)間都會(huì)導(dǎo)致延遲投資。Sarkar和Zhang Chuanqian[18]首次在項(xiàng)目可以債務(wù)融資的假定下，研究運(yùn)營(yíng)滯后對(duì)企業(yè)投資和融資決策的影響，發(fā)現(xiàn)滯后時(shí)間對(duì)投資決策的影響取決于企業(yè)的杠桿率。這些理論文獻(xiàn)從不同角度探討了運(yùn)營(yíng)滯后對(duì)企業(yè)投資決策的影響，然而，這些模型或者沒(méi)有考慮債務(wù)融資，或者假設(shè)無(wú)摩擦的信用市場(chǎng)。事實(shí)上，由于宏觀政策與市場(chǎng)環(huán)境、金融服務(wù)結(jié)構(gòu)與企業(yè)信用質(zhì)量等因素的影響，企業(yè)家外部融資會(huì)面臨一定債務(wù)融資約束[19-20]，顯然債務(wù)融資約束會(huì)對(duì)企業(yè)投資決策會(huì)產(chǎn)生重大影響。

從債務(wù)融資約束的角度，楊兆廷和李吉棟[19]介紹了“擔(dān)保換期權(quán)”，并認(rèn)為這一信用工具緩解了中小企業(yè)融資約束。盛世杰等[20]認(rèn)為引入政策性擔(dān)保機(jī)構(gòu)是解決中小企業(yè)融資難問(wèn)題的有效方法，并從情景分析和盈虧平衡點(diǎn)測(cè)算等方面對(duì)政策性擔(dān)保機(jī)構(gòu)為中小企業(yè)貸款提供擔(dān)保進(jìn)行了可行性分析。另一方面，Yang Zhaojun和Zhang Hai[21]給出信用擔(dān)?；Q的定量分析，論證信用擔(dān)?；Q的使用不僅可以降低企業(yè)的破產(chǎn)邊界而且提高了企業(yè)的總價(jià)值。Zhang Chunhong和Yang Zhaojun[22]計(jì)算了動(dòng)態(tài)模型下信用擔(dān)保互換的公平價(jià)格，分析不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度下企業(yè)家會(huì)選擇何種擔(dān)保方式進(jìn)行債務(wù)融資。Wang Huamao等[23]基于非完備市場(chǎng)模型分析了信用擔(dān)?；Q。Xiang Hua和Yang Zhaojun[24]分析信用擔(dān)?；Q對(duì)企業(yè)投資的影響。Gan Liu等[25]構(gòu)建基于協(xié)商的博弈模型，分析企業(yè)家議價(jià)能力對(duì)信用擔(dān)?；Q的影響。

與以上文獻(xiàn)相區(qū)別，本文的貢獻(xiàn)體現(xiàn)在如下三個(gè)方面：第一，構(gòu)建基于運(yùn)營(yíng)滯后和信用擔(dān)?；Q的實(shí)物期權(quán)模型，采用兩階段投資方式來(lái)刻畫(huà)運(yùn)營(yíng)滯后，并考慮企業(yè)家在擔(dān)保公司介入下的投資決策行為，拓展了實(shí)物期權(quán)的研究；第二，探索企業(yè)家與擔(dān)保公司簽訂信用擔(dān)?；Q協(xié)議對(duì)企業(yè)家投資決策影響的內(nèi)在機(jī)制，進(jìn)而從緩減債務(wù)融資約束的視角為使用信用擔(dān)保互換提供新的理論解釋；第三，給出了企業(yè)家兩階段融資的股權(quán)轉(zhuǎn)讓數(shù)量的計(jì)算公式，得到了信用擔(dān)?；Q模式下的企業(yè)家最優(yōu)投資決策，為緩解中小企業(yè)融資約束提供理論指導(dǎo)。

2 模型框架與假設(shè)

2.1 項(xiàng)目收益流

參考經(jīng)典實(shí)物期權(quán)模型[2]，假定企業(yè)家擁有一個(gè)不可逆的項(xiàng)目投資機(jī)會(huì)，投資時(shí)需要支付總成本I。由于面臨運(yùn)營(yíng)滯后，投資成本的支付方式與傳統(tǒng)一次性支付不同，需分成兩個(gè)階段，每個(gè)階段支付一定比例的投資成本(具體見(jiàn)2.2節(jié))。

項(xiàng)目的稅前收益流{xt,t≥0}服從如下幾何布朗運(yùn)動(dòng)：

dxt=μxtdt+σxtdWt,x0給定

(1)

其中μ與σ為常數(shù)，分別表示項(xiàng)目現(xiàn)金流的期望增長(zhǎng)率和波動(dòng)率，且μ

根據(jù)Goldstein等[26]稅收結(jié)構(gòu)：設(shè)個(gè)人所得稅率為τi，有效分紅稅率為τd，企業(yè)所得稅為τc，于是有效稅率τf=1-(1-τc)(1-τd)。

2.2 運(yùn)營(yíng)滯后

參考Sarkar和Zhang Chuanqian[18]及Margsiri等[27]，利用外生參數(shù)來(lái)刻畫(huà)運(yùn)營(yíng)滯后的期望時(shí)間，采用兩階段投資方式來(lái)刻畫(huà)運(yùn)營(yíng)滯后。第一階段企業(yè)家會(huì)通過(guò)實(shí)物期權(quán)方法確定一個(gè)最優(yōu)投資時(shí)機(jī)，在這個(gè)時(shí)間點(diǎn)上企業(yè)家進(jìn)入項(xiàng)目并支付投資成本θI(0≤θ≤1)，由于運(yùn)營(yíng)滯后效應(yīng)，企業(yè)家在第一階段投入之后并不產(chǎn)生營(yíng)業(yè)收入，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后企業(yè)家進(jìn)入第二階段的投資，第二個(gè)階段企業(yè)家支付投資成本為(1-θ)I，第二次投資之后項(xiàng)目進(jìn)入正常經(jīng)營(yíng)階段并產(chǎn)生營(yíng)業(yè)收入。

為了刻畫(huà)運(yùn)營(yíng)的滯后時(shí)間，需要明確項(xiàng)目的投資時(shí)機(jī)，第一階段投資時(shí)機(jī)(停時(shí))記為T1，第二階段投資時(shí)機(jī)記為T2，由模型的Markov性質(zhì)可知，存在投資觸發(fā)水平xi，使得T1=inf{t|xt≥xi}，并且進(jìn)一步利用參數(shù)β來(lái)刻畫(huà)T2，將第二階段投資觸發(fā)水平記為βxi，β>1以保證第二階段投資時(shí)機(jī)在第一段之后，于是T2=inf{t|xt≥βxi}。第一階段投資時(shí)刻與第二階段投資時(shí)刻的差就是運(yùn)營(yíng)時(shí)滯，將這個(gè)時(shí)間差記為L(zhǎng)，顯然L是一個(gè)隨機(jī)變量。利用Margsiri等[27]的方法，容易計(jì)算出L的期望值如下：

(2)

下文稱E(L)為運(yùn)營(yíng)時(shí)滯，β越大則L的期望值越大。另外假定L與投資時(shí)機(jī)獨(dú)立。

2.3 信用擔(dān)保互換

進(jìn)行項(xiàng)目投資時(shí)，假定企業(yè)家可以通過(guò)擔(dān)保公司的信用擔(dān)保來(lái)實(shí)現(xiàn)債務(wù)融資，而擔(dān)保公司為了獲取回報(bào)，需要與企業(yè)家簽訂信用擔(dān)保換互換契約。在該協(xié)議中，貸方把錢借給企業(yè)家后，得到固定券息c(表示投資的兩個(gè)階段的券息，下文會(huì)分開(kāi)表述)，而一旦企業(yè)家違約，擔(dān)保公司家為企業(yè)家代償全部剩余本金和利息，將這個(gè)代償價(jià)值記為Dguar(x)，支付代償部分的稅率與利息稅率一致，均為τi。假定貸方利益可以得到充分保護(hù)，于是Dguar(x)滿足以下等式：

(1-τi)Dguar(x)=(1-τi)c/r-D(x)

(3)

其中D(x)為風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)價(jià)值，(1-τi)c/r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)稅后價(jià)值。式(3)的含義：在擔(dān)保公司承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)后，對(duì)于貸方而言，債務(wù)是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，于是擔(dān)保公司承代償?shù)膬r(jià)值是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)價(jià)值和風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)價(jià)值的差。

據(jù)互換協(xié)議，擔(dān)保公司代償值Dguar(x)需要通過(guò)企業(yè)家股權(quán)份額來(lái)彌補(bǔ)(企業(yè)家獲得擔(dān)保需要付出的成本)，即擔(dān)保公司收入與承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)需相等，將股權(quán)份額比重記為φ(下文稱之為擔(dān)保成本)，擔(dān)保公司實(shí)際代償價(jià)值為(1-τf)Dguar(x)，于是：

φE(x)=(1-τf)Dguar(x)

(4)

其中，E(x)為項(xiàng)目總股權(quán)價(jià)值。

式(3)和式(4)刻畫(huà)了在債務(wù)融資約束下，企業(yè)家為獲取信用擔(dān)保所付出的成本。

3 模型構(gòu)建與分析

由于項(xiàng)目?jī)呻A段投資的特點(diǎn)，需利用倒向遞推的方法來(lái)計(jì)算各未定權(quán)益價(jià)值。首先計(jì)算項(xiàng)目第二階段投資后的股權(quán)價(jià)值與債務(wù)價(jià)值，然后計(jì)算第二階段投資前第一階段投資后的股權(quán)價(jià)值與債務(wù)價(jià)值，最后計(jì)算第一階段投資前的期權(quán)價(jià)值。為敘述方便，本文將第二階段投資后的證券價(jià)值用下標(biāo)2標(biāo)示，第二階段投資前第一階段投資后用下標(biāo)1標(biāo)示，第一階段投資前用下標(biāo)0標(biāo)示。

3.1 擔(dān)保成本的計(jì)算

在第二階段投資后且企業(yè)家沒(méi)有簽訂信用擔(dān)保協(xié)議，項(xiàng)目的稅后收益流為(1-τf)(xt-c1-c2)，其中c1為支付給第一階段債權(quán)人的券息，c2為支付給第二階段債權(quán)人的券息。根據(jù)資產(chǎn)定價(jià)理論，第二階段投資后企業(yè)家股權(quán)價(jià)值E2(x)為：

(5)

其中，Tb2為企業(yè)家決定的最優(yōu)破產(chǎn)時(shí)機(jī)，定義為Tb2=inf{t|xb2≥xt}，xb2為對(duì)應(yīng)的最優(yōu)破產(chǎn)觸發(fā)水平，即企業(yè)家通過(guò)決定最優(yōu)的破產(chǎn)時(shí)機(jī)來(lái)最大化其股權(quán)價(jià)值。

同理，無(wú)信用擔(dān)保協(xié)議下，第二階段融資的債務(wù)價(jià)值D2(x)為：

(6)

對(duì)式(5)和式(6)利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，可求得股權(quán)和債務(wù)價(jià)值，并總結(jié)為如下引理。

引理1 企業(yè)家沒(méi)有簽訂信用擔(dān)保協(xié)議，在項(xiàng)目第二階段投資后，企業(yè)家的股權(quán)價(jià)值為：

(7)

第二階段融資的債務(wù)價(jià)值為：

(8)

第一階段融資的債務(wù)的價(jià)值為：

(9)

證明：見(jiàn)附錄A。

引理1的結(jié)果類似于Leland[28]的相關(guān)結(jié)論，債務(wù)融資會(huì)帶來(lái)稅收上獲利同時(shí)也會(huì)帶來(lái)破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)。股權(quán)價(jià)值E2(x)的含義：第一項(xiàng)為不考慮破產(chǎn)的稅后股權(quán)凈價(jià)值，其中(1-τf)x/(r-μ)為稅后純股權(quán)價(jià)值(見(jiàn)附錄(A9))，(1-τf)(c1+c2)/r為支付債務(wù)價(jià)值，第二項(xiàng)為破產(chǎn)的時(shí)刻股權(quán)值折算到當(dāng)前的價(jià)值，(1-τf)[xb2/(r-μ)-(c1+c2)/r]為破產(chǎn)時(shí)刻的股權(quán)價(jià)值，而(x/xb2)γ2為折現(xiàn)因子。于是企業(yè)家當(dāng)前的股權(quán)價(jià)值為項(xiàng)目總價(jià)值減去債務(wù)價(jià)值，再減去項(xiàng)目破產(chǎn)損失價(jià)值。D2(x)與D12(x)的解釋與之類似，但需要注意，債權(quán)人是兩部分，故破產(chǎn)時(shí)刻的項(xiàng)目?jī)r(jià)值(1-α)(1-τf)xb2/(r-μ)需根據(jù)債權(quán)人所占比例來(lái)分，c2/(c1+c2)為第二階段債權(quán)人所占比重。

接下來(lái)考慮項(xiàng)目第一階段投資后第二階段投資前的情形，在這個(gè)階段，企業(yè)家沒(méi)有營(yíng)業(yè)收入，但是要支付券息，于是其收益流為-(1-τf)c1。擔(dān)保公司會(huì)考慮到第二階段信用擔(dān)保協(xié)議的簽訂，股權(quán)價(jià)值為：

(10)

其中Tb1為最優(yōu)破產(chǎn)時(shí)機(jī)，根據(jù)前文分析便有Tb1=inf{t|xb1≥xt}，xb1為對(duì)應(yīng)的最優(yōu)破產(chǎn)觸發(fā)水平，1T2

同理，無(wú)信用擔(dān)保協(xié)議下，第一階段投資后第二階段投資前的債券價(jià)值D1(x)為：

e-r(Tb1∧T2-t)[1T2Tb1

(1-α)V1(xb1)]}

(11)

其中，D12(x)為第一階段發(fā)行的債務(wù)在第二階

段的價(jià)值(式(9)給出)，V1(xb1)為第一階段投資后第二階段投資前，破產(chǎn)時(shí)的項(xiàng)目?jī)r(jià)值(附錄(B6)給出)。式(11)的含義：在第一階段投資后，債權(quán)人得到券息支付，直到項(xiàng)目破產(chǎn)或進(jìn)入第二階段，若破產(chǎn)則債權(quán)人接管項(xiàng)目得到價(jià)值為(1-α)V1(xb1)，若進(jìn)入第二階段投資，則債務(wù)價(jià)值為D12(βxi)。

引理2 第一階段融資無(wú)信用擔(dān)保，但第二階段融資采用信用擔(dān)保。則在第一階段投資后第二階段投資前企業(yè)家的股權(quán)價(jià)值為：

E1(x)=Axγ1-Bxγ2-(1-τf)c1/r

(12)

債務(wù)價(jià)值D1(x)為：

D1(x)=Cxγ1-Dxγ2+(1-τi)c1/r

(13)

最優(yōu)破產(chǎn)觸發(fā)水平xb1滿足代數(shù)方程：

(14)

證明：見(jiàn)附錄B。

為解釋引理2，先給出如下折現(xiàn)因子：

(15)

(16)

顯然，當(dāng)前時(shí)刻為破產(chǎn)時(shí)刻x=xb1時(shí)，有Δd(xb1;xb1,βxi)=1及Δi(xb1;xb1,βxi)=0，當(dāng)前時(shí)刻為第二階段投資時(shí)刻x=βxi時(shí)，有Δd(βxi;xb1,βxi)=0及Δi(βxi;xb1,βxi)=1。于是，式(12)可以重新寫(xiě)為，

(17)

式(17)的第一項(xiàng)-(1-τf)c1/r為不考慮破產(chǎn)及第二次投資，企業(yè)家支付券息在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值，第二項(xiàng)為破產(chǎn)時(shí)刻企業(yè)家的凈價(jià)值-(1-τf)c1/r乘以折現(xiàn)因子Δd(x;xb1,βxi)，第三項(xiàng)為進(jìn)行第二次投資時(shí)企業(yè)家的凈價(jià)值(1-φ2)E2(βxi)-(1-θ)I+(1-τi)c2/r乘以折現(xiàn)因子Δi(x;xb1,βxi)。于是，E1(x)為在這個(gè)階段支付出去的債務(wù)價(jià)值，減去破產(chǎn)時(shí)刻支付的價(jià)值，再加上在第二次投資時(shí)刻得到的總價(jià)值。同理可以解釋式(13)。

最后，考慮企業(yè)家的擔(dān)保成本。擔(dān)保成本的計(jì)算方式在2.3節(jié)已經(jīng)給出，其聯(lián)立方程總結(jié)為如下定理。

定理1 第一階段融資的擔(dān)保成本φ1與第二階段融資的擔(dān)保成本φ2滿足如下聯(lián)立方程：

(18)

其中，E1(x)、E2(x)、D1(x)以及D2(x)分別由式(7)、式(8)、式(12)和式(13)給出。

證明：由公平擔(dān)保原則式(3)和式(4)可得。

至此，給出了兩個(gè)階段簽訂信用擔(dān)?；Q協(xié)議下的擔(dān)保成本滿足的代數(shù)方程。

3.2 信用擔(dān)保下的投資決策模型

信用擔(dān)保協(xié)議的簽訂會(huì)影響到企業(yè)家決策行為，故需要重新評(píng)估證券價(jià)值。簽訂擔(dān)保協(xié)議的情形下，項(xiàng)目第二階段投資后，由于兩次分出去了股權(quán)，企業(yè)家得到稅后收益流(1-τf)(1-φ1)(1-φ2)(xt-c1-c2)，其中φ1與φ2由定理1給出。為與上節(jié)相區(qū)別，本節(jié)采用上標(biāo)c表示簽訂信用擔(dān)保協(xié)議的情形，于是有如下引理：

(19)

其中，此階段的最優(yōu)破產(chǎn)觸發(fā)水平為

(20)

第一階段投資后，且第二階段投資前企業(yè)家的股權(quán)價(jià)值為：

(21)

(22)

證明：見(jiàn)附錄C。

引理3的經(jīng)濟(jì)含義類似于引理2。

最后計(jì)算第一階段投資前企業(yè)家的期權(quán)價(jià)值F0(x)，在第一段投資前企業(yè)家也沒(méi)有收益流，于是有如下定理：

定理2第一階段投資前企業(yè)家期權(quán)價(jià)值為：

(23)

其中M和N由引理3給出。

證明：見(jiàn)附錄D。

有了定理2做準(zhǔn)備，企業(yè)家投資決策的優(yōu)化問(wèn)題可以寫(xiě)成如下形式：

(24)

式(24)的經(jīng)濟(jì)含義：首先，企業(yè)家通過(guò)最大化0時(shí)刻期權(quán)價(jià)值做出最佳投資決策，由此目標(biāo)函數(shù)。其次，約束條件的第一個(gè)等式表示企業(yè)家在第一階段面臨債務(wù)融資約束，簽訂信用擔(dān)?；Q支付成本所滿足的代數(shù)方程。第二階段簽訂擔(dān)保協(xié)議時(shí)會(huì)考慮到第一階段企業(yè)家所支付的擔(dān)保成本，而運(yùn)營(yíng)時(shí)滯通過(guò)參數(shù)β對(duì)企業(yè)家的投資決策形成約束。約束條件的第二個(gè)等式表示企業(yè)家在第二階段面臨債務(wù)融資約束，簽訂信用擔(dān)?；Q支付成本所滿足的代數(shù)方程。約束條件的第三個(gè)等式表示企業(yè)家在第一階段和第二階段支付的信用擔(dān)保成本通過(guò)破產(chǎn)觸發(fā)水平聯(lián)系起來(lái)。于是式(24)的約束條件一方面刻畫(huà)了企業(yè)家在面臨融資時(shí)所需要付出的成本，另一面刻畫(huà)了企業(yè)家項(xiàng)目投資過(guò)程中的運(yùn)營(yíng)滯后現(xiàn)象。

4 數(shù)值分析

優(yōu)化問(wèn)題式(24)需要借助數(shù)值方法來(lái)求解。參考文獻(xiàn)[18]和[25]在數(shù)值計(jì)算部分選取的參數(shù)，本節(jié)的基本模型參數(shù)設(shè)定為：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.06，收益流的期望增長(zhǎng)率μ=0.04，收益流波動(dòng)率σ=0.2，第一階段的投資比重θ=0.3，破產(chǎn)損失率α=0.35，有效稅率τf=0.35，所得稅為τi=0.05，初始現(xiàn)金流x0=1，總投資成本I=20，運(yùn)營(yíng)時(shí)滯為E(L)=5(β=1.1052)。另外，對(duì)于項(xiàng)目融資，融資缺口多大就融資多少，故債務(wù)券息外生給定c1=c2=1。

4.1 運(yùn)營(yíng)時(shí)滯的影響

本小節(jié)考慮運(yùn)營(yíng)時(shí)滯對(duì)企業(yè)家的投資決策、杠桿率以及擔(dān)保成本的影響。圖1a顯示，最優(yōu)投資觸發(fā)水平隨著運(yùn)營(yíng)時(shí)滯的增加而遞減，即運(yùn)營(yíng)滯后的期望時(shí)間越長(zhǎng)，企業(yè)家越會(huì)提前投資。由于處于第一階段投資后及第二階段投資之間時(shí)，企業(yè)家沒(méi)有營(yíng)業(yè)收入，卻需要支付第一階段融資的券息，于是當(dāng)其它條件不變，隨著運(yùn)營(yíng)時(shí)滯增加，企業(yè)家股權(quán)價(jià)值是降低的。此時(shí)由于項(xiàng)目的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)價(jià)值不變，于是項(xiàng)目融資的杠桿率會(huì)升高，從圖1b所示杠桿率的變化可以證實(shí)這一點(diǎn)。實(shí)物期權(quán)的一般結(jié)論表明，隨杠桿率增加，企業(yè)家投資會(huì)提前。因此，從圖1看出，運(yùn)營(yíng)時(shí)滯通過(guò)提高項(xiàng)目融資的杠桿率，而使得企業(yè)家決定的投資時(shí)機(jī)提前。另一方面，隨著項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)(波動(dòng)率)的增加，項(xiàng)目的融資杠桿率降低，而投資時(shí)機(jī)是延后，這與已有結(jié)論一致。

圖2給出兩個(gè)投資階段融資的擔(dān)保成本隨運(yùn)營(yíng)時(shí)滯的變化。從圖2a可以看出，隨運(yùn)營(yíng)時(shí)滯增加，第一階段擔(dān)保成本φ1單調(diào)遞增，但注意到圖2a中的兩條線出現(xiàn)了交叉，即運(yùn)營(yíng)時(shí)滯為在E(L)=8.1之前，φ1隨項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)的增加而增加，但在8.1之后，隨項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)的增加而減少。這由兩個(gè)因素引起的，首先，運(yùn)營(yíng)時(shí)滯增大會(huì)降低第一階段的股權(quán)價(jià)值，其次，項(xiàng)目波動(dòng)率增加會(huì)增加項(xiàng)目的股權(quán)價(jià)值，在運(yùn)營(yíng)時(shí)滯較低時(shí)，第一因素占主導(dǎo)地位，而運(yùn)營(yíng)時(shí)滯較高時(shí)，第二個(gè)因素占主導(dǎo)地位。圖2b顯示，第二階段的擔(dān)保成本φ2的隨著運(yùn)營(yíng)時(shí)滯的增加而遞減，且波動(dòng)率提高會(huì)增加第二階段的擔(dān)保成本，因?yàn)檫\(yùn)營(yíng)時(shí)滯會(huì)使得第二階段的股權(quán)和風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)價(jià)值增加，而波動(dòng)率使得股權(quán)價(jià)值增加但導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)價(jià)值降低。

圖1a 投資觸發(fā)點(diǎn)隨運(yùn)營(yíng)時(shí)滯變化關(guān)系

圖1b 杠桿率隨運(yùn)營(yíng)時(shí)滯變化關(guān)系

圖2a 擔(dān)保成本φ1隨運(yùn)營(yíng)時(shí)滯變化關(guān)系

圖2b 擔(dān)保成本φ2隨運(yùn)營(yíng)時(shí)滯變化關(guān)系

4.2 投資比重的影響

本小節(jié)考慮投資比重對(duì)投資決策、杠桿率以及擔(dān)保成本的影響。圖3a表明最優(yōu)投資觸發(fā)水平隨著第一階段投資比重θ的增加呈U型。一方面，隨著θ增加，企業(yè)家股權(quán)價(jià)值會(huì)增加，從圖3b可以看出，桿桿率會(huì)隨著θ增加而遞減，于是這一因素會(huì)導(dǎo)致企業(yè)家提前投資，另一方面，在同等滯后水平下(E(L)=5)，隨著第一階段投資成本數(shù)量的增加，企業(yè)家的投資時(shí)機(jī)會(huì)延遲。在θ較小時(shí)，第一個(gè)方面的因素占主導(dǎo)地位，在θ較大時(shí)，第二個(gè)方面的因素占主導(dǎo)地位，于是最優(yōu)投資觸發(fā)水平隨著第一階段投資比重θ的增加呈U型關(guān)系。

從圖4a可以看出，隨θ的增加，第一階段擔(dān)保成本φ1單調(diào)遞減，且波動(dòng)率對(duì)其的影響，在不同階段也不一樣。雖然θ增加以及波動(dòng)率增加都會(huì)導(dǎo)致股權(quán)價(jià)值增加，但是θ增加以及波動(dòng)率對(duì)風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)價(jià)值影響是不同的，θ增加會(huì)導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)價(jià)值增加，而波動(dòng)率增加會(huì)導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)價(jià)值減少，這兩方面的影響導(dǎo)致了圖4a所示結(jié)論。圖4b顯示，第二階段的擔(dān)保成本φ2隨著θ增加而先增后減，且波動(dòng)率提高會(huì)增加擔(dān)保成本，這是由于θ的增加導(dǎo)致第二階段投資后的股權(quán)價(jià)值和風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)價(jià)值呈U型變化。

圖3a 投資觸發(fā)點(diǎn)運(yùn)投資比重變化關(guān)系

圖3b 杠桿率隨運(yùn)投資比重變化關(guān)系

圖4a 擔(dān)保成本φ1隨投資比重變化關(guān)系

圖4b 擔(dān)保成本φ2隨投資比重化關(guān)系

4.3 券息的影響

本小節(jié)考慮兩個(gè)階段的券息對(duì)投資決策、破產(chǎn)水平以及擔(dān)保成本的影響。圖5a表明券息的增加都會(huì)導(dǎo)致企業(yè)家提前投資，其原因是明顯的，券息增加提高了杠桿率，高杠桿會(huì)導(dǎo)致企業(yè)家提前投資。另一方面，圖5b可以看出，更多的債務(wù)水平會(huì)導(dǎo)致企業(yè)家提高第一階段的破產(chǎn)水平。

圖5a 投資觸發(fā)點(diǎn)隨券息變化關(guān)系

圖5b 破產(chǎn)觸發(fā)點(diǎn)隨券息變化關(guān)系

圖6表明券息增加導(dǎo)致債務(wù)價(jià)值增加，此時(shí)擔(dān)保公司面臨的風(fēng)險(xiǎn)也增加，因此兩個(gè)階段的擔(dān)保成本都隨券息增加而增加，由于兩個(gè)階段擔(dān)保協(xié)議的相互影響，兩個(gè)階段的券息會(huì)對(duì)擔(dān)保成本造成相互影響。

圖6a 擔(dān)保成本φ1隨券息變化關(guān)系

圖6b 擔(dān)保成本φ2隨券息化關(guān)系

5 結(jié)語(yǔ)

很多學(xué)者認(rèn)為解決中小企業(yè)融資難的問(wèn)題，關(guān)鍵在于解決擔(dān)保問(wèn)題，但占企業(yè)總數(shù)99%以上的中小企業(yè)難以通過(guò)通常的方式獲得債務(wù)融資。在現(xiàn)實(shí)中有許多創(chuàng)業(yè)企業(yè)家尤其是高新科技類企業(yè)家擁有不錯(cuò)的項(xiàng)目投資機(jī)會(huì)，但由于信息不對(duì)稱，在籌集啟動(dòng)資金時(shí)往往面臨融資約束。而擔(dān)保公司憑其雄厚的經(jīng)濟(jì)實(shí)力提供擔(dān)保，可以實(shí)現(xiàn)創(chuàng)業(yè)企業(yè)、擔(dān)保公司和銀行的多贏局面。本文基于經(jīng)典的實(shí)物期權(quán)模型框架，結(jié)合運(yùn)營(yíng)滯后理論和信用擔(dān)保，構(gòu)建了企業(yè)家項(xiàng)目投資決策模型，考慮企業(yè)家的最優(yōu)投資水平、項(xiàng)目杠桿率、破產(chǎn)選擇以及擔(dān)保成本問(wèn)題。通過(guò)數(shù)值計(jì)算和比較靜態(tài)分析，揭示外部環(huán)境和企業(yè)自身因素的變化所帶來(lái)的投資決策和擔(dān)保成本的變化。外部運(yùn)營(yíng)時(shí)滯導(dǎo)致企業(yè)家提前投資，同時(shí)通過(guò)影響股權(quán)價(jià)值和風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)價(jià)值使第一階段的擔(dān)保成本升高而第二階段的擔(dān)保成本降低。而且，投資比重以及企業(yè)家的融資缺口會(huì)對(duì)投資水平、破產(chǎn)水平以及擔(dān)保成本會(huì)產(chǎn)生顯著影響。

最后指出，本文進(jìn)一步研究包括兩個(gè)方面：首先，企業(yè)發(fā)展需要不斷地?cái)U(kuò)展投資規(guī)模，因此，建立動(dòng)態(tài)投資模型來(lái)研究企業(yè)的成長(zhǎng)規(guī)律是有意義的；其次，企業(yè)家同時(shí)還面臨不可分散的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，結(jié)合這一因素的研究也是重要的拓展。

附錄A

引理1的證明。

值函數(shù)式(5)與變量x有關(guān)，而x的微分方程由式(1)給出。根據(jù)貝爾曼原理有

(A1)

(A2)

令Δt→0，并將(A2)帶入(A1)則有

(A3)

將(A3)整理化簡(jiǎn)得E2(x)滿足：

(1-τf)(x-c1-c2)=0

(A4)

并滿足如下邊界條件

(A5)

其中，(A5)第一個(gè)式子表明收益流很大，股權(quán)價(jià)值為無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)下相應(yīng)價(jià)值，第二個(gè)式子是價(jià)值匹配，在企業(yè)破產(chǎn)時(shí)股權(quán)無(wú)價(jià)值。于是(A4)解為

E2(x)=A1xγ1+A2xγ2+

(A6)

其中A1和A2為常數(shù)，對(duì)(A6)利用邊界條件(A5)可以得到式(7)。破產(chǎn)水平由光滑粘貼條件?E2(x)/?x|x=xb2=0給出：

xb2=γ2(r-μ)(c1+c2)/[(γ2-1)r]

(A7)

(A8)

其中，(A8)中第一個(gè)式子表明收益流很大，債券價(jià)值為無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)下相應(yīng)的價(jià)值，第二個(gè)式子是價(jià)值匹配，破產(chǎn)時(shí)債權(quán)人接手項(xiàng)目獲得剩余價(jià)值c2(1-α)V2(xb2)/(c1+c2)，V2(x)為第二階段投資后的純股權(quán)價(jià)值：

(A9)

最后，不難得到D2(x)的通解為

D2(x)=C1xγ1+C2xγ2+(1-τ)c2/r

(A10)

其中C1和C2為常數(shù)，(A10)用邊界條件(A8)可得式(8)，同理可得式(9)。證畢

附錄B

引理2的證明。

利用引理1的證明方法，式(10)滿足：

(1-τf)c1=0

(B1)

及邊界條件：

E1(βxi)=(1-φ2)E2(βxi)-(1-θ)I+(1-

τi)c2/r,E1(xb1)=0,和?E1(x)/?x|x=xb1=0

(B2)

其中，(B2)中第一個(gè)式子為股權(quán)價(jià)值在第二階段投資時(shí)的價(jià)值匹配條件，E2(x)由式(7)給出，第二個(gè)式子表明，當(dāng)企業(yè)家宣布破產(chǎn)時(shí)，股權(quán)價(jià)值為0。于是(B2)的通解為：

E1(x)=Axγ1-Bxγ2-(1-τf)c1/r

(B3)

其中A和B為常數(shù)，通過(guò)邊界條件(B2)可以得到A和B。對(duì)式(12)運(yùn)用(B2)的第三個(gè)邊界條件可以計(jì)算得到式(14)。

(B4)

及邊界條件：

D1(βxi)=D12(βxi),D1(xb1)=(1-α)V1(xb1)

(B5)

(B6)

最后，(B4)的解為：

D1(x)=Cxγ1-Dxγ2+(1-τi)c1/r

(B7)

其中C和D為常數(shù)，對(duì)(B7)利用邊界條件(B5)可以得到式(13)。證畢

附錄C

引理3的證明。

(1-τf)(1-φ1)(1-φ2)(x-c1-c2)=0

(C1)

及邊界條件

(C2)

根據(jù)(C1)的通解和邊界條件(C2)，可以得到式(19)和式(20)。

(1-τf)(1-φ1)c1=0

(C3)

及邊界條件：

(C4)

根據(jù)(C3)的通解和邊界條件(C4)，可以得到式(21)，對(duì)式(21)運(yùn)用(C4)的第三個(gè)邊界條件可以計(jì)算得到式(22)。證畢

附錄D

定理2的證明。

在第一階段投資前企業(yè)家沒(méi)收益流，于是期權(quán)價(jià)值F0(x)滿足如下微分方程：

(D1)

及邊界條件

F0(0)=0

(D2)

其中，(D2)中第一個(gè)式子為期權(quán)價(jià)值在第一階段投資時(shí)的價(jià)值匹配條件，第二個(gè)式子表明，當(dāng)收益流為0時(shí)，期權(quán)沒(méi)有價(jià)值。于是，利用(D1)的通解以及邊界條件(D2)可以得到式(23)。證畢

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