高媛

傳統(tǒng)的單元教學(xué)設(shè)計，知識的傳授非常清晰，單元與單元之間的邊界看上去也非常清晰，但教師的注意力往往集中在知識上，忽略思維方法和情感態(tài)度價值觀的培養(yǎng)。因此，在一個知識單元中，很難甚至不可能完成對學(xué)生的某種思維方法或某種態(tài)度的培養(yǎng)。本文所講的單元，是實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的相對完整的過程，是教學(xué)過程的質(zhì)的基本單位，也是衡量教師教學(xué)和教材駕馭能力的基本單位，是課程螺旋式上升的基本單位，也是課程設(shè)計的基本單位。

在近兩年的研究中，我們所設(shè)計的單元存在著不斷擴(kuò)大的三個層次：一節(jié)課內(nèi)的調(diào)整；章節(jié)內(nèi)的重組；跨越章的整合。針對每一個層次，我們都進(jìn)行了教學(xué)實踐，并摸索出了一些在該層次內(nèi)進(jìn)行目標(biāo)單元教學(xué)設(shè)計的方法。

一、課內(nèi)的調(diào)整

以“不等式的基本性質(zhì)”一課為例。這節(jié)課原本的設(shè)計思路是：先復(fù)習(xí)等式性質(zhì)，然后請學(xué)生類比及猜想不等式的性質(zhì)，進(jìn)而借助數(shù)驗證關(guān)于不等式性質(zhì)的猜想，得出性質(zhì)，再利用不等式的性質(zhì)解一些簡單的不等式。經(jīng)思考與重新設(shè)計，我們讓學(xué)生先自己嘗試去解不等式，然后說出自己為什么會認(rèn)為用這樣的步驟可以解不等式。這其實是引導(dǎo)學(xué)生覺察到自己是在類比解方程的步驟、等式的性質(zhì)。其間，不要關(guān)注學(xué)生解的結(jié)果對錯，而要關(guān)注解的過程。

在教學(xué)實踐中，學(xué)生果然能夠直接解簡單的不等式，而通過對解集對錯的分析，最終自然地將問題集中到算理上，即對不等式性質(zhì)的探討。其中，和等式性質(zhì)類似的幾條自然不會有異議，矛盾最集中的就是“不等式兩邊同時乘或除以一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向是否改變”這一問題。學(xué)生在解釋自己的做法正確時用了多種思路，如枚舉、利用數(shù)軸數(shù)形結(jié)合地去看、分類討論甚至用字母證明。這種充分的論證過程，讓學(xué)生印象更加深刻，難點(diǎn)的突破顯得很自然，證明中思想方法的使用更是超出教師預(yù)料。

這種設(shè)計最大的調(diào)整，是把教學(xué)過程“倒過來”，也就是將傳統(tǒng)的先講不等式的性質(zhì)、再解不等式的教學(xué)順序，調(diào)整為先解不等式，再從中梳理出不等式的性質(zhì)。而這種調(diào)整的本質(zhì)，是以學(xué)生研究問題、解決問題以及對解決問題過程的反思作為教學(xué)的基本線索。期間，教師對學(xué)生進(jìn)行研究，根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)組織教學(xué)，這種教學(xué)模型叫做“基于學(xué)生研究的數(shù)學(xué)教學(xué)”模型（見圖1）。

在“基于學(xué)生研究的數(shù)學(xué)教學(xué)”模型中，知識產(chǎn)生過程的教學(xué)部分包括兩個階段。

第一階段為解決具體問題階段，即“做數(shù)學(xué)”?！白鰯?shù)學(xué)”就是學(xué)生憑借自己已有的基礎(chǔ)解決數(shù)學(xué)問題，如解簡單不等式、解決一個實際問題等。這一階段需要放手讓學(xué)生去做，不規(guī)定方法，而是讓學(xué)生充分展示自己面對問題時的各種想法，包括困難。

第二階段為反思階段，也就是讓學(xué)生對“做數(shù)學(xué)”的過程進(jìn)行分析。例如，解不等式的過程運(yùn)用了哪些步驟，是怎么想到這些步驟的，覺得每個步驟可靠嗎，為什么，是否有其他的方法等。反思階段就是讓學(xué)生對解決問題過程中的智慧或者困難進(jìn)行展示，師生共同將“做數(shù)學(xué)”活動中獲得的經(jīng)驗和教訓(xùn)作為素材進(jìn)行分析，找到通性通法，概括為知識。

基于學(xué)生研究的教學(xué)模型重視“問題解決”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，力求為學(xué)生設(shè)計具有吸引力、挑戰(zhàn)性的問題，為學(xué)生提供通過自主解決問題從而帶來更多思想方法的可能。由于解決問題的過程會涉及更多的知識，特別是有可能會用到傳統(tǒng)的教學(xué)計劃中日后才要求掌握的知識，這就要求教師調(diào)整自己的教學(xué)設(shè)計單位，除了課時內(nèi)的調(diào)整，還需要將章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行重組，或者實施跨章節(jié)的整合。

二、章節(jié)內(nèi)容的重組

在“二次函數(shù)”單元的起始課，我們選擇的是非常常見的一道實際問題：如圖2，用24米的籬笆靠墻（限寬10米）圍矩形菜地，中間用籬笆截成左、右兩部分，問所圍菜地的最大面積為多少平方米？

不同的是，以往這一問題是單元知識學(xué)習(xí)完后，在二次函數(shù)的應(yīng)用一節(jié)中出示，因為這個問題的解決幾乎用到二次函數(shù)的全部重要知識：配方法求最值，且最大值在頂點(diǎn)處不能取到的情況，學(xué)生容易不考慮x的取值范圍而出錯，直接回答最值為48m2。但是我們在出示這個問題后，放手讓學(xué)生去解決。

學(xué)生果然有行動、有想法，他們的方法很樸素，也出現(xiàn)了意料之中的錯誤。方法1：選擇枚舉求解二元不定方程，發(fā)現(xiàn)取值具有對稱性，得到48m2。方法2：通過列代數(shù)式，利用配方法也求得48m2。在驗證答案時，有人想到了10m限寬，如果x=4m，則不能圍出菜地。

那么，到底菜地最大的面積是多少？用什么方法去求呢？通過對寫在黑板上的x與S間的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生逐漸意識到，自己正面對一個新的函數(shù)問題。而函數(shù)問題關(guān)注的是S隨著x在符合要求內(nèi)的變化而變化的關(guān)系，因此，首先要確定x的變化范圍，然后可以借助表格、圖像等方式刻畫變化關(guān)系，通過分析，得到了x最小取值為14/3，最大為140/3。通過分析數(shù)表、圖像和配方后的解析式，看到在x的取值范圍內(nèi)，S隨著x取值變大，于是，確定當(dāng)x=14/3時，面積達(dá)到最大140/3m2。

在對這個問題的解決過程的反思中，拋去具體情境，聚焦到這里出現(xiàn)的新函數(shù)的特征，根據(jù)解析式特征命名為二次函數(shù)，分析二次函數(shù)的定義以及定義帶來的定義域的特點(diǎn)，從列表中，發(fā)現(xiàn)表格數(shù)據(jù)的對稱性，畫出圖像后，同樣驗證了其對稱性的特點(diǎn)，并發(fā)現(xiàn)圖像有最高點(diǎn)，函數(shù)存在最值，進(jìn)而提出：是不是所有的二次函數(shù)的數(shù)值和圖像都有這種特征？為后面系統(tǒng)、細(xì)致的研究播下了問題的種子。

從解決體現(xiàn)知識價值的實際問題入手，由于問題的解決可能需要較多的知識，甚至可能需要用到按照原有教學(xué)計劃還未曾學(xué)習(xí)的知識，這就需要擴(kuò)大教學(xué)設(shè)計單位。“二次函數(shù)”單元就是一個典型。這一單元的起始課中的實際問題的解決，實際上用到了這章的許多重點(diǎn)、難點(diǎn)知識，然而，考慮到學(xué)生一次函數(shù)、一元二次方程的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)生是可以面對這樣的問題的。

在章節(jié)內(nèi)以問題解決為線索開展教學(xué)，帶來的是教學(xué)內(nèi)容的整合，教給學(xué)生的是知識結(jié)構(gòu)而不是一個個的知識點(diǎn)。這樣，知識的學(xué)習(xí)過程就會具有遷移性，而一些深層次問題的思考、提出與解決，則進(jìn)一步要求跨越章、跨越年級的知識整合。

三、跨越章的整合

以“包裝盒的設(shè)計”一課為例，從具體知識的角度看，主要是“正方體的展開圖”，而一般的教學(xué)也都是以“正方體的展開圖”作為課題名稱，教學(xué)的過程則是為學(xué)生提供正方體盒子，請學(xué)生剪開、展平，得到各種形狀的展開圖，再通過幾何畫板進(jìn)行演示、補(bǔ)充，得到所有的展開圖，教給學(xué)生記憶的方法，然后進(jìn)行辨析練習(xí)。其中，用于教學(xué)的正方體盒子，經(jīng)常是教師提前根據(jù)圖紙糊出來的。

我們則采用了一種新的設(shè)計思路：請學(xué)生設(shè)計圖紙，使之能夠折成一個正方體。這樣的設(shè)計思路，背后是我們?nèi)缦聨c(diǎn)考慮。

第一，揭示知識的實用價值。知識的價值在于解決問題，特別是解決現(xiàn)實問題。在現(xiàn)實中，正方體的展開圖并非用于剪開正方體盒子并將其展平，而是為了得到正方體的包裝盒的設(shè)計圖紙，因此，本節(jié)課先向?qū)W生展示一個精美包裝盒，提出“這個包裝盒是怎樣得到的”這一問題，經(jīng)分析學(xué)生認(rèn)識到其中的關(guān)鍵是圖紙，接下來明確學(xué)生需要解決的問題：還原設(shè)計師的設(shè)計過程，設(shè)計一個可以折成正方體的圖紙。

第二，展開初中幾何核心問題與概念的全景圖。一個班40名學(xué)生至少能設(shè)計出40張圖紙，但這些設(shè)計圖有很多是相同的，那么，在什么情況下是相同的？這就涉及幾何中的全等、相似概念，而判斷全等、相似的方法，則涉及旋轉(zhuǎn)、軸對稱、平移等概念，所以，通過“我們到底設(shè)計出了多少個方案”的問題的探討，學(xué)生思維深處的這些概念被激活，關(guān)于幾何研究的主要問題的全景圖也在教師的引導(dǎo)下被打開。

第三，體會研究幾何問題的基本方法。40名學(xué)生未必能夠產(chǎn)生全部的正方體的展開圖，而在將重復(fù)的方案拿出后，對余下的方案進(jìn)行認(rèn)識的最基本的步驟就是分類。通過分類，這些方案變得有了一定的關(guān)系、秩序和規(guī)律，新的問題也自然涌現(xiàn)：是否我們找全了所有的設(shè)計方案？為了解決這個問題，需要借助分類后的方案系統(tǒng)思考每種類型是否還有其他可能。從簡到繁，逐步走向完善。期間，又必須借助分析推理、空間想象、實驗操作等方法。

這樣，“正方體的展開圖”這一并非很重要的具體知識就成為了讓學(xué)生整體認(rèn)識幾何研究的對象、問題、方法的載體，在初中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的其他諸如三角形、四邊形、圓等對象的學(xué)習(xí)中，這些問題與方法將被反復(fù)應(yīng)用。學(xué)生在積累越來越多的幾何具體知識的同時，也會不斷深化對“幾何到底研究什么問題、應(yīng)用什么研究方法”的認(rèn)識與理解。

（作者單位：北京市第十三中學(xué)分校；指導(dǎo)教師：北京教育學(xué)院頓繼安）

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