吳彤 季小玲 羅燏娟

(四川師范大學物理與電子工程學院,成都 610068)

(2017年8月16日收到;2017年11月26日收到修改稿)

1 引 言

自適應光學(adaptive optics,AO)的概念和原理最早于1953年由海爾天文臺的Horace Babcock提出,直到20世紀70年代這一設想才得以實現(xiàn),其主要用于實時校正光束波前畸變,以提高光學系統(tǒng)成像性能.目前,AO技術(shù)已廣泛被應用于天文觀測、激光傳輸、人眼成像、生物醫(yī)學等領(lǐng)域[1?4].Strehl比、Greenwood時間常數(shù)和等暈角等是自適應光學成像系統(tǒng)特征參量[5].Strehl比表征由于非理想因素使得光強峰值下降的程度[6],Greenwood時間常數(shù)表征有效校正因湍流引起的波前畸變所需的系統(tǒng)波前探測器采樣的最短時間[7],等暈角表征湍流引起的波前畸變得到補償?shù)膬蓚€測量點間對同一觀察目標能保持相位相干的最大角度[8].迄今為止,國內(nèi)外學者已對大氣湍流中自適應光學成像系統(tǒng)這三個特征參量做了大量研究[9?15].例如:2004年,Fusco和Conan[9]研究了AO系統(tǒng)沿軸和離軸方向上短曝光斯特列爾比的統(tǒng)計行為,給出了沿軸方向上短曝光斯特列爾比統(tǒng)計量的表達式.1977年,Greenwood[10]提出了大氣湍流中Greenwood時間常數(shù)的相關(guān)理論;2015年,瞿青等[11]利用位相差值法實現(xiàn)了大氣湍流Greenwood時間常數(shù)的測量.1979年,Loos和 Hogge[12]提出了大氣湍流等暈角的相關(guān)理論,該理論已被廣泛應用[13?15],但傳統(tǒng)的自適應光學系統(tǒng)只能在很小的視場內(nèi)進行高精度成像.為了能在更大范圍獲得清晰的像,可采用多層共扼自適應光學擴大等暈角,提高成像質(zhì)量.2008年,Ding等[13]研究了大氣湍流中激光雷達中的雙層共扼系統(tǒng);2014年和2015年,Yu等[14,15]分別從理論和實驗上證明了可以利用球面波閃爍測量有限距離內(nèi)的等暈角.

隨著水下光通信、傳感和激光雷達等應用的興起,水下環(huán)境對光成像提出了新的挑戰(zhàn).已有實驗證明:自然環(huán)境中水下湍流是限制成像質(zhì)量的一個重要因素[16].2012年,美國海軍研究實驗室Hou等[17]通過測量自然水域中湍流耗散率,用調(diào)制傳遞函數(shù)定量地描述圖像質(zhì)量劣化程度.與大氣湍流不同,海洋湍流是由溫度和鹽度變化引起水折射率起伏而造成的,其折射率起伏空間功率譜具有復雜的雙峰值結(jié)構(gòu).Nikishov等[18]建立了海洋湍流折射率起伏空間功率譜的解析模型.最近,我們課題組推導出了海洋湍流中光波空間相干長度和可見參數(shù)的解析表達式,并修正了Hou等[19,20]提出的水下光學成像模型.然而,迄今為止海洋湍流中自適應光學成像系統(tǒng)特征參量Strehl比、Greenwood時間常數(shù)和等暈角的研究還未涉及.本文擬推導出海洋湍流中這三個特征參量的解析表達式,并研究海洋湍流對這三個特征參量的影響.

2 Strehl比

在各向同性的均勻海水介質(zhì)中,Nikishov等[18]建立了海洋湍流折射率起伏空間功率譜的解析模型,即:

其中κ是空間波數(shù),η是Kolmogorov內(nèi)尺度,AT=1.863×10?2,AS=1.9×10?4,ATS=9.41×10?3,δ=8.284(κη)4/3+12.978(κη)2,ε表示海水單位質(zhì)量湍流動能耗散率,其取值范圍為10?1—10?10m2/s3,χT表示海水溫度方差耗散率,其取值范圍為10?4—10?10K2/s,ω表示海洋湍流功率譜中溫度與鹽度起伏引起折射率變化貢獻的比率,其范圍取值為[?5,0],?5和0分別對應于溫度和鹽度變化引起的光學湍流.值得指出的是,Nikishov等建立的海洋湍流折射率起伏空間功率譜模型在弱、中、強海洋湍流中均可適用[18,21].該模型是基于Hill提出的溫度起伏以及鹽度起伏的標量譜模型建立的,而Hill[22,23]模型有大量實驗數(shù)據(jù)驗證其正確性.目前,Nikishov等建立的海洋湍流折射率起伏空間功率譜模型已被廣泛利用[24?28].

基于Nikishov等提出的海洋湍流功率譜,2016年我們課題組推導出了海洋湍流中球面波可見參數(shù)r0的解析表達式[20]:

其中L為傳輸距離,波數(shù)k=2π/λ,λ為波長.

Strehl比(SR)是評價光學系統(tǒng)成像質(zhì)量好壞的重要物理量,它表示焦平面上的實際光波光強峰值與理想光波光強峰值之比[5].長曝光Strehl比SRLE的精確解析解很難求得,但采用內(nèi)插值方法可給出代數(shù)形式的近似解[5]:

其中LE表示長曝光,DG為光學系統(tǒng)的光瞳直徑.

短曝光Strehl比SRSE的精確解析解也很難求得,本文采用內(nèi)插值方法求其代數(shù)形式的近似解.由調(diào)制傳遞函數(shù)MTF表示的SRSE的積分形式如下[5]:

其中q為表征MTFSE遠場與近場參數(shù).近場條件下,q=1;遠場條件下,q=0.5.相比于長曝光成像,短曝光成像應除去因大尺度傾斜效應所引起的像斑隨機位移部分,則短曝光Strehl比的代數(shù)近似解應從長曝光Strehl比(3)式中合理地去除含有因子(DG/r0)5/3的到達角起伏項.因此,SRSE的代數(shù)近似式可寫為:

其中y(q)為與參數(shù)q有關(guān)的調(diào)節(jié)系數(shù),其表達式為[29]

為驗證本文所得(6)式的正確性,將分別討論DG/r0?1和DG/r0?1兩種極限情況下(6)式與(5)式的一致性.當滿足DG/r0?1時,只考慮短曝光時湍流MTFSE的影響,忽略透鏡MTF0的影響[30],(5)式可簡化為

其中H=3.44(λ/r0)5/3.比較(8)式與DG/r0?1時的(6)式可知,兩者是一致的.

當滿足DG/r0?1時,只考慮透鏡MTF0的影響,忽略短曝光時湍流MTFSE的影響[20],并利用貝塔函數(shù)B(P,Q),對(5)式做積分變換,(5)式可簡化為

比較(9)式與(6)式(當DG/r0?1時)可知,兩者也是一致的.

另一方面,本文還利用數(shù)值計算結(jié)果驗證了(6)式的正確性(見圖1和圖2).由圖1和圖2可知:僅在DG/r0=1附近,SRSE的代數(shù)近似式(6)與(5)式存在差異,其他區(qū)域兩者均符合得很好.SRSE的代數(shù)近似式(6)式在近場的誤差大于遠場的誤差,例如:近場最大相對誤差接近16%,而遠場最大相對誤差小于5%.因此,除了在近場DG/r0=1附近外,本文所得SRSE的代數(shù)近似式(6)式在弱湍流情況下均可保證足夠的精度.

圖1 短曝光Strhel比SRSE隨DG/r0的變化 (a)近場;(b)遠場Fig.1.Curves of SRSEversus DG/r0:(a)Near field;(b)far field.

圖2 近似(6)式與積分(5)式的相對誤差Δ隨DG/r0的變化 (a)近場;(b)遠場Fig.2.Curves of the relative error Δ between Eq.(6)and Eq.(5)versus DG/r0:(a)Near field;(b)far field.

根據(jù)本文所得SRSE的近似公式(6),可以研究海洋湍流各參數(shù)(ω,ε,χT)對短曝光時的SRSE的影響(見圖3).圖3中同時還給出了長曝光時SRLE曲線,若圖中沒有特別標注,計算參數(shù)為:光波波長λ=0.532μm,光瞳直徑DG=0.3 m,傳輸距離L=9 m,q=1,ω=?3,ε=10?6m2/s3,χT=10?8K2/s.根據(jù)計算參數(shù)可知:圖3考慮的是近場情況,但不在DG/r0=1附近,因此計算結(jié)果是可信的.圖3(a)表明:隨著ω的增大(即鹽度變化引起的海洋湍流逐漸占主導地位),長、短曝光的Strehl比均減小,即系統(tǒng)的成像質(zhì)量變差.并且,隨著海水湍流動能耗散率ε的減小(見圖3(b))或海水溫度方差耗散率χT的增大(見圖3(c)),長、短曝光的Strehl比均減小,即成像質(zhì)量變差.從圖3還可看出SRSE＞SRLE,這是因為短曝光成像SRSE中除去了因大尺度傾斜效應而引起的到達角起伏項.此外,遠場情況下也可得到與近場情況類似的結(jié)果,本文不再贅述.

海洋湍流中,短曝光成像的Strehl比SRSE隨傳輸距離L變化曲線示于圖4,若圖中沒有特別標注,計算參數(shù)為:q=1,ω=?3,ε=10?6m2/s3,χT=10?8K2/s,λ=0.532 μm,DG=0.3 m.可以看出:隨著L和DG的增大(圖4(a))及λ的減小(圖4(b)),SRSE減小,即系統(tǒng)成像質(zhì)量變差.

圖3 Strehl比SR隨海洋湍流各參數(shù)的變化 (a)ω;(b)ε;(c)χTFig.3.Curves of Strehl ratio versus the oceanic turbulence parameters:(a)ω;(b)ε;(c)χT.

圖4 海洋湍流中,短曝光Strehl比SRSE隨L的變化Fig.4.Curves of short-exposure Strehl ratio versus L in oceanic turbulence.

3 Greenwood時間常數(shù)

Greenwood時間常數(shù)τ0是指湍流基本保持不變的時間間隔[5].τ0越大,表征湍流擾動越弱,反之湍流擾動越強[7].大氣湍流中Greenwood時間常數(shù)可表示為[31]

最近,Baykal推導出了弱海洋湍流情況下球面波等效折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)[32],

其中Φn(κ)為Nikishov提出的海洋湍流功率譜.

圖5 Greenwood時間常數(shù)τ0隨海洋湍流參數(shù)的變化(a)ω;(b)ε;(c)χTFig.5.Curves of Greenwood time constant τ0versus oceanic turbulence parameters:(a)ω;(b)ε;(c)χT.

將(11)式代入(10)式中,且考慮橫向海水流速為常數(shù)v,即可化簡得到弱海洋湍流情況下海洋湍流Greenwood時間常數(shù)為

(12)式僅對于海洋湍流參數(shù)不隨傳輸路徑變化情況有效.

海洋湍流中,Greenwood時間常數(shù)τ0隨海洋湍流各參數(shù)(ω,ε,χT)變化曲線示于圖5,若圖中沒有特別標注,計算參數(shù)為:Kolmogorov內(nèi)尺度η=1 mm,波長λ=0.532μm,海水橫向流速v=0.04 m/s,ω=?3,ε=10?6m2/s3,χT=10?8K2/s. 圖5表明,Greenwood時間常數(shù)τ0隨ω,χT的增大及ε的減小而減小,即湍流保持不變的時間τ0減小.此外,傳輸距離L越遠,對應的τ0也越小.為了有效校正因湍流引起的波前畸變,系統(tǒng)波前探測器的采樣時間應小于τ0,否則會導致測量值有較大誤差.因此可根據(jù)實際海洋湍流參數(shù)得到對應的τ0值來調(diào)節(jié)自適應光學系統(tǒng)的采樣時間,提高系統(tǒng)的校正精度.

4 等暈角

等暈角是描述光波在湍流中傳播時兩點間角度相干性的物理量,是自適應光學系統(tǒng)的重要參數(shù)之一.等暈角值為兩個測量點間對同一觀察目標能保持相位相干的最大角度,若大于這個最大角度,則湍流引起的波前畸變將無法得到補償[8].依據(jù)文獻[12]中等暈角的定義,在各向同性且均勻的海水介質(zhì)中的等暈角可表示為

將海洋湍流中可見參數(shù)r0表達式(2)代入(13)式中,即可得海洋湍流中球面波等暈角的解析表達式,

等暈角(14)式在弱、中、強海洋湍流條件下均成立.

海洋湍流中,等暈角θ0隨海洋湍流各參數(shù)(ω,ε,χT)變化曲線示于圖6,若圖中沒有特別標注,計算參數(shù)為:λ=0.532μm,ω=?3,ε=10?6m2/s3,χT=10?7K2/s.圖6表明,隨著ω,χT的增大以及ε的減小,等暈角θ0減小,即系統(tǒng)可校正湍流的角度范圍減小,光波的波前畸變便無法得到適當補償.此外,傳輸距離增加,θ0也明顯減小.值得指出的是,海洋湍流對系統(tǒng)的視場角度影響很大,例如:海洋湍流中光短距離傳輸(如100 m)后,等暈角可下降至微弧度量級,這與大氣湍流中光從地面到太空近垂直路徑長距離傳輸時等暈角的數(shù)量級相同.

圖6 等暈角θ0隨海洋湍流參數(shù)的變化 (a)ω;(b)ε;(c)χTFig.6. Curves of isoplanatic angle θ0versus the oceanic turbulence parameters:(a)ω;(b)ε;(c)χT.

5 結(jié) 論

本文研究了海洋湍流對自適應光學成像系統(tǒng)三個特征參量(即Strhel比SR,Greenwood時間常數(shù)τ0和等暈角θ0)的影響.推導出了海洋湍流中短曝光成像Strhel比SRSE的代數(shù)近似解析表達式,并證明:除了在近場DG/r0=1附近外,本文所得SRSE的近似公式均可保證足夠的精度.此外,還得到了海洋湍流中Greenwood時間常數(shù)τ0和等暈角θ0的解析表達式.研究表明:隨著鹽度變化引起的海洋湍流逐漸占主導地位(即海洋湍流功率譜中溫度與鹽度的比率ω的增大),SR,τ0和θ0值均減小;隨著海水湍流動能耗散率ε的減小或海水溫度方差耗散率χT的增大,SR,τ0和θ0值亦均減小.SR,τ0和θ0值減小意味著成像質(zhì)量變差、波前探測器的采樣時間減小、系統(tǒng)可校正湍流的角度范圍變小.下面從描述海洋湍流的三個主要參數(shù)的物理含義來解釋本文結(jié)果.第一,海水單位質(zhì)量湍流動能耗散率ε,它由黏滯力引起,將湍流動能轉(zhuǎn)換成分子熱運動的動能.第二,海水溫度方差耗散率χT,較大的χT表示湍流具有較強能量.第三,溫度與鹽度起伏引起折射率變化貢獻的比率ω,而鹽度起伏占主導地位時比溫度起伏占主導地位引起的光學湍流更嚴重[18,22].因此,χT和ω值越大、ε值越小,表明海洋湍流越強,則SR,τ0和θ0值越小.

值得指出的是,大氣湍流中,光從地面到太空近垂直路徑長距離傳輸時,典型等暈角度值達微弧度量級[5].然而,本文研究表明,海洋湍流中光在短距離傳輸(如100 m)等暈角可下降至微弧度量級.可見,海洋湍流對等暈角影響很大.本文研究結(jié)果對工作于水下湍流環(huán)境中自適應光學成像系統(tǒng)應用具有理論參考作用.

[1]Guo Y M,Rao C H,Bao H,Zhang A,Wei K 2014Acta Phys.Sin.63 149501(in Chinese)[郭友明,饒長輝,鮑華,張昂,魏凱2014物理學報63 149501]

[2]Booth M J 2014Light-Sci.Appl.3 e165

[3]Miller D T,Kocaoglu O P,Wang Q,Lee S 2011Eye25 321

[4]Jiang W H 2006Chin.J.Nature28 7(in Chinese)[姜文漢2006自然雜志28 7]

[5]Andrews L C,Phillips R L 2005Laser Beam Propagation through Random Media(2nd Ed.)(Bellingham,WA:SPIE Optical Engineering Press)pp606–623

[6]Mahajan V N 2005J.Opt.Soc.Am.A22 1824

[7]Chen T J,Zhou W C,Wang F,Huang D Q,Lu Y H,Zhang J Z 2015Acta Phys.Sin.64 134207(in Chinese)[陳天江,周文超,王峰,黃德權(quán),魯燕華,張建柱 2015物理學報64 134207]

[8]Zong F,Qiang X W,Wu M,Chang J Y,Feng S L 2014Acta Opt.Sin.34 16(in Chinese)[宗飛,強希文,吳敏,常金勇,封雙連2014光學學報34 16]

[9]Fusco T,Conan J M 2004J.Opt.Soc.Am.A21 1277

[10]Greenwood D P 1977J.Opt.Soc.Am.67 390

[11]Qu Q,Cao Z L,Hu L F,Zhang H S,Zhao J L,Xuan L 2015Chin.Opt.8 121(in Chinese)[瞿青,曹召良,胡立發(fā),張紅勝,趙晶麗,宣麗2015中國光學8 121]

[12]Loos G C,Hogge C B 1979Appl.Opt.18 2654

[13]Ding X K,Rong J,Bai H,Wang X,Shen J E,Li F 2008Chin.Opt.Lett.6 1

[14]Yu L K,Xu J,Hong S,Hou Z H,Yi W 2014Opt.Lett.39 789

[15]Yu L K,Hou Z H,Zhang S C,Xu J,Yi W 2015Opt.Eng.54 024105

[16]Bogucki D J,Domaradzki J A,Ecke R E,Truman C R 2004Appl.Opt.43 5662

[17]Hou W L,Woods S,Jarosz E,Goode W,Weidemann A 2012Appl.Opt.51 2678

[18]Nikishov V V,Nikishov V I 2000Int.J.Fluid Mech.Res.27 82

[19]Lu L,Ji X L,Baykal Y 2014Opt.Express22 027112

[20]Pu H,Ji X L 2016J.Opt.18 105704

[21]Lu W,Liu L,Sun J 2006J.Opt.A:Pure Appl.Opt.8 1052

[22]Hill R J 1978J.Fluid Mech.Res.88 541

[23]Hill R J 1978J.Opt.Soc.Amer.68 1067

[24]Korotkova O,Farwell N,Shchepakina E 2012Wave Random Complex22 260

[25]Tang M M,Zhao D M 2013Appl.Phys.B111 665

[26]Baykal Y 2016Opt.Commun.375 15

[27]Yang T,Ji X L,Li X Q 2015Acta Phys.Sin.64 204206(in Chinese)[楊婷,季小玲,李曉慶 2015物理學報 64 204206]

[28]Liu Y X,Chen Z Y,Pu J X 2017Acta Phys.Sin.66 124205(in Chinese)[劉永欣,陳子陽,蒲繼雄2017物理學報66 124205]

[29]Ma X L 2015Acta Photon.Sin.44 0601003(in Chinese)[馬雪蓮 2015光子學報44 0601003]

[30]Fried D L 1966J.Opt.Soc.Am.56 1372

[31]Fried D L 1990J.Opt.Soc.Am.A7 1224

[32]Baykal Y 2016Appl.Opt.55 1228