董 琳 倪 敏 韓唯偉 趙彩安 顧 峰

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

惠斯通電橋是一種較精確地測(cè)量中值電阻的方法，是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中一種常見的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn).由于影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的因素眾多，本文將主要從消除檢流計(jì)的零點(diǎn)誤差、比例臂比值的選取、消除系統(tǒng)誤差的測(cè)量方法等方面進(jìn)行研究.

1 實(shí)驗(yàn)器材

本次實(shí)驗(yàn)用到的器材有直流穩(wěn)壓電源、旋轉(zhuǎn)式電阻箱(ZX21)4個(gè)、待測(cè)電阻、指針式檢流計(jì)、滑動(dòng)變阻器(1.5 A,100 Ω)、開關(guān)、導(dǎo)線若干.

2 實(shí)驗(yàn)原理

2.1 惠斯通電橋原理

惠斯通電橋原理圖如圖1所示.

圖1 惠斯通電橋原理圖

圖中R1和R2是比例臂，Rs是比較臂，Rx為待測(cè)電阻，G為檢流計(jì).當(dāng)B，D兩點(diǎn)的電勢(shì)相等時(shí)，橋路B,D之間無電流即Ig= 0，這時(shí)電橋達(dá)到平衡狀態(tài).當(dāng)電橋平衡時(shí)，有

即

(1)

2.2 電橋靈敏度

實(shí)驗(yàn)中通過人眼觀察檢流計(jì)的指針是否偏轉(zhuǎn)來判斷電橋的平衡是存在誤差的，影響測(cè)量的結(jié)果，而電橋的靈敏度決定這種影響的大小.

在電橋處于平衡狀態(tài)時(shí)，將某一橋臂電阻R改變?chǔ)，電橋偏離平衡狀態(tài)，檢流計(jì)的指針隨之偏轉(zhuǎn)n格，若定義電橋靈敏度為S，則有

(2)

2.3 不確定度的計(jì)算

不確定度的更準(zhǔn)確定義是測(cè)量不確定度， 是指對(duì)測(cè)量值因測(cè)量誤差的存在而不能肯定的程度，表征測(cè)量結(jié)果是一個(gè)具有分散性的參數(shù).若用標(biāo)準(zhǔn)偏差來表示測(cè)量不確定度，則稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度.

在測(cè)量過程中，由于電橋不可能完全達(dá)到平衡狀態(tài)，會(huì)有微弱的電流通過檢流計(jì)，此時(shí)要考慮電橋靈敏度引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，為

(3)

式(3)中ΔRx為電橋靈敏度引入的儀器誤差，其計(jì)算公式為

由橋臂電阻精度引入儀器誤差時(shí)忽略定值電阻精度，其可由變阻箱的精度(a%為電阻箱擋位精度[2])得到

根據(jù)待測(cè)電阻各測(cè)量公式和誤差傳遞公式得橋臂電阻總的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

待測(cè)電阻值的總不確定度

(4)

相對(duì)不確定度為

(5)

3 誤差分析

3.1 檢流計(jì)靈敏度的影響

可以證明，當(dāng)橋路達(dá)到平衡后，改變?nèi)我粯虮圩柚邓玫降碾姌蜢`敏度是相同的.由于在實(shí)驗(yàn)過程中Rx是無法改變的，我們可以改變橋臂Rs，使檢流計(jì)偏轉(zhuǎn)5格左右，由式(2)求出橋路的靈敏度.

根據(jù)電橋靈敏度定義，忽略電源內(nèi)阻，解基爾霍夫方程組，可得下面公式

(6)

式(6)[3]中，Si為檢流計(jì)的電流靈敏度，Rg為檢流計(jì)內(nèi)阻，E為電源電動(dòng)勢(shì).由式(6)可以看出，電橋靈敏度S與檢流計(jì)的電流靈敏度Si,檢流計(jì)的內(nèi)阻Rg,電源電動(dòng)勢(shì)E的大小以及橋臂電阻的大小均有關(guān)系.

3.2 檢流計(jì)零點(diǎn)不準(zhǔn)引入的誤差分析

由于檢流計(jì)存在零點(diǎn)不準(zhǔn)的系統(tǒng)誤差，因此可以采用反向補(bǔ)償法來減小系統(tǒng)誤差.反向補(bǔ)償法可以采用以下兩種方法進(jìn)行.

(1)指針左右偏

電橋平衡時(shí)，比較臂電阻為Rs，改變某一橋臂電阻使檢流計(jì)指針往左、右各偏轉(zhuǎn)n格，從而使兩次測(cè)量結(jié)果中誤差的符號(hào)相反，則通過求平均值的方法就可以抵消由于檢流計(jì)零點(diǎn)不準(zhǔn)引入的誤差.

(2)改變電流方向

改變電流方向前，調(diào)節(jié)電橋平衡，有

將某一橋臂電阻改變?chǔ)正使檢流計(jì)指針往左偏轉(zhuǎn)n格，改變電流方向后，調(diào)節(jié)電橋平衡，則有

將同一橋臂電阻改變?chǔ)負(fù)使檢流計(jì)指針往右偏轉(zhuǎn)n格，兩次測(cè)量結(jié)果中的誤差依然是符號(hào)相反，再通過求平均值的方法就可以抵消該誤差.

由以上分析可知，兩種方法均可減小由檢流計(jì)零點(diǎn)不準(zhǔn)引起的系統(tǒng)誤差.

3.3 比例臂比值引入的誤差分析

如圖2所示，為確定電橋的比例系數(shù)C的取值對(duì)測(cè)量誤差的影響，用一根長(zhǎng)為L(zhǎng)(L=L1+L2)的電阻絲來代替標(biāo)準(zhǔn)電阻R1和R2,則

圖2 滑線式惠斯通電橋原理

如果有讀數(shù)誤差ΔL，則L1和L2的測(cè)量值分別為L(zhǎng)1+ΔL和L2-ΔL=L-L1-ΔL，那么測(cè)量Rx時(shí)由長(zhǎng)度的測(cè)量誤差引起的相對(duì)誤差用絕對(duì)值法表示，可以由Rx的相對(duì)誤差公式

得

(7)

3.4 橋臂電阻引入的誤差分析

根據(jù)式(1)，我們可以求出待測(cè)電阻的阻值.由于在實(shí)驗(yàn)過程中的橋臂電阻通常是用電阻箱來調(diào)節(jié)的，因此，橋臂電阻的阻值誤差也必然會(huì)對(duì)待測(cè)電阻的阻值產(chǎn)生影響.針對(duì)這一誤差，可以采用以下兩種方法來減小誤差.

(1)代換消除法

電橋平衡后，保持R1,R2和Rs不變，用一個(gè)可調(diào)電阻Rh代替Rx，調(diào)節(jié)Rh使電橋達(dá)到新的平衡，則有

進(jìn)而聯(lián)立式(1)可以得到

Rx=Rh

(8)

由式(8)，Rx與R1,R2及Rs無關(guān)，只與替代電阻Rh的精度有關(guān)，消除了儀器誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響[5].

(2)交換測(cè)量法

進(jìn)而聯(lián)立式(1)，可以得到

(9)

由式(9)可知，待測(cè)電阻Rx只與比較臂電阻有關(guān)，與比例臂電阻無關(guān)，因此，互換R1和R2橋臂的方法消除了由R1和R2引起的誤差[6].

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

4.1 反向補(bǔ)償法的驗(yàn)證

反向補(bǔ)償法得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示.

表1反向補(bǔ)償法的兩種方式

電源電壓：6 Vn:5 待測(cè)電阻：1 000 Ω

R1=R2/Ω測(cè)量方式Rx測(cè)=Rs/ΩΔRs左/ΩΔRs右/ΩΔRs/ΩS/divΔRx/Ω相對(duì)不確定度u(Rx)/%1000指針左右偏轉(zhuǎn)1000．421．224．4022．8219．40．90．11改變電流方向1000．324．4023．524．0208．81．02．89

根據(jù)表1數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，采用檢流計(jì)指針左右偏轉(zhuǎn)和改變電流方向這兩種方法均能減小由于檢流計(jì)存在零點(diǎn)不準(zhǔn)而引起的系統(tǒng)誤差.對(duì)比兩種方法中電橋的相對(duì)不確定度及操作的簡(jiǎn)便性，在測(cè)量中應(yīng)傾向于采用檢流計(jì)指針左右偏轉(zhuǎn)的方式.

4.2 比例臂比值的驗(yàn)證

比例臂比值法得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2所示.

表2電橋的靈敏度與比例臂比值的關(guān)系

電源電壓：6 Vn:5 待測(cè)電阻：1 000 Ω

R1/ΩR2/ΩRs/ΩRx測(cè)/ΩΔRs左/ΩΔRs右/ΩΔRs/ΩS/divΔRx/Ω100100010009．01000．9630．0740．0685．073．12．7100010001000．41000．421．224．4022．8219．40．91000100100．01000．04．65．04．8104．21．9

根據(jù)表2數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，在待測(cè)電阻接近其中一個(gè)比例臂電阻阻值時(shí)，比例臂的比值越接近1，電橋的靈敏度越高，其引起的儀器誤差越小.因此,在該實(shí)驗(yàn)的測(cè)量中應(yīng)該盡可能使R1=R2.

4.3 3種測(cè)量方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較

3種方法所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較如表3所示.

表3 3種測(cè)量方法的電橋靈敏度及誤差統(tǒng)計(jì)表

電源電壓：6 Vn:5 待測(cè)電阻：1 000 Ω

R1=R2/Ω測(cè)量方法Rx測(cè)/ΩΔR/ΩS/divΔRx/Ω橋臂電阻不確定度u′C(Rx)相對(duì)不確定度u(Rx)/%1000傳統(tǒng)測(cè)量法1000．422．8219．40．91．00．11代換消除法1000．322．5222．30．90．60．08交換測(cè)量法1000．422．7219．10．90．40．07

根據(jù)表3數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，在比例臂阻值相同且待測(cè)電阻接近比例臂阻值時(shí)，采用檢流計(jì)指針左右偏轉(zhuǎn)的方式來消除零點(diǎn)誤差.3種方法測(cè)得的電橋靈敏度無明顯差別，電橋靈敏度引入的儀器誤差亦無差別，代換消除法和交換測(cè)量法相比于傳統(tǒng)的測(cè)量方法其電阻箱精度引入的不確定度和電橋的相對(duì)不確定度更低些，即此兩種方法均能減小由橋臂電阻引入的系統(tǒng)誤差，與理論分析相符.

5 結(jié)束語

通過本次實(shí)驗(yàn)研究得出以下結(jié)論：

(1)反向補(bǔ)償法中采用檢流計(jì)指針分別向左、右各偏轉(zhuǎn)同等角度和改變電流方向這兩種方式均可以達(dá)到減小檢流計(jì)存在零點(diǎn)不準(zhǔn)而引起的系統(tǒng)誤差的目的，但改變電流方向的方式中由橋臂電阻引入的不確定度較大，因此采用檢流計(jì)指針分別向左、右各偏轉(zhuǎn)同等角度的方式測(cè)得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果更精確些.

(2)通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：比例臂的比值越接近1，電橋的靈敏度越高，電橋靈敏度引入的儀器誤差越小.

(3)通過比較3種測(cè)量方法發(fā)現(xiàn)：在比例臂阻值相同時(shí)，代換消除法和交換測(cè)量法測(cè)電阻均可減小橋臂電阻引入的系統(tǒng)誤差.

綜上，在進(jìn)行惠斯通電橋測(cè)電阻實(shí)驗(yàn)時(shí)，選取比例臂的阻值應(yīng)相等且大小適當(dāng)，電橋的靈敏度應(yīng)適中.若需提高電橋的靈敏度，應(yīng)從選擇靈敏度高的檢流計(jì)、相等且適當(dāng)減小比例臂電阻、適當(dāng)增大電源電壓等幾個(gè)方面考慮.

本課題的研究對(duì)于實(shí)驗(yàn)教學(xué)是很有幫助的，在實(shí)驗(yàn)教學(xué)課程中，為了減小實(shí)驗(yàn)的誤差，提高測(cè)量的精度，同時(shí)簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)操作，代換消除法或交換測(cè)量法是最行之有效的.這樣既可以節(jié)約時(shí)間，提高實(shí)驗(yàn)的效率，又可以鍛煉學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)思維和動(dòng)手操作能力.希望本課題的研究可以為改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方案，提高測(cè)量的精確性以及改進(jìn)實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供有價(jià)值的參考.

1 楊述武.普通物理實(shí)驗(yàn)(電磁學(xué)部分).北京：高等教育出版社, 2009.53～59

2 王邦文,盧錦杰,竺江峰.探究橋臂電阻及待測(cè)電阻的阻值改變對(duì)惠斯通電橋相對(duì)不確定度的影響.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2016,29(4):93～97

3 羅曉青.惠斯通電橋測(cè)電阻的誤差分析.技術(shù)物理教學(xué),2008，16(3):43～45

4 陶洪.物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)論.桂林：廣西教育出版社, 1996.126

5 高蓉.惠斯通電橋測(cè)量精度的改進(jìn).物理之友,2015,31(3):25～37

6 張瑞華.“用惠斯登電橋測(cè)定電阻”實(shí)驗(yàn)中幾個(gè)問題的討論.物理通報(bào)，1963(5):262～264