董 琳 倪 敏 韓唯偉 趙彩安 顧 峰

(上海師范大學數(shù)理學院 上海 200234)

惠斯通電橋是一種較精確地測量中值電阻的方法，是大學物理實驗中一種常見的基礎實驗.由于影響實驗結果的因素眾多，本文將主要從消除檢流計的零點誤差、比例臂比值的選取、消除系統(tǒng)誤差的測量方法等方面進行研究.

1 實驗器材

本次實驗用到的器材有直流穩(wěn)壓電源、旋轉式電阻箱(ZX21)4個、待測電阻、指針式檢流計、滑動變阻器(1.5 A,100 Ω)、開關、導線若干.

2 實驗原理

2.1 惠斯通電橋原理

惠斯通電橋原理圖如圖1所示.

圖1 惠斯通電橋原理圖

圖中R1和R2是比例臂，Rs是比較臂，Rx為待測電阻，G為檢流計.當B，D兩點的電勢相等時，橋路B,D之間無電流即Ig= 0，這時電橋達到平衡狀態(tài).當電橋平衡時，有

即

(1)

2.2 電橋靈敏度

實驗中通過人眼觀察檢流計的指針是否偏轉來判斷電橋的平衡是存在誤差的，影響測量的結果，而電橋的靈敏度決定這種影響的大小.

在電橋處于平衡狀態(tài)時，將某一橋臂電阻R改變ΔR，電橋偏離平衡狀態(tài)，檢流計的指針隨之偏轉n格，若定義電橋靈敏度為S，則有

(2)

2.3 不確定度的計算

不確定度的更準確定義是測量不確定度， 是指對測量值因測量誤差的存在而不能肯定的程度，表征測量結果是一個具有分散性的參數(shù).若用標準偏差來表示測量不確定度，則稱為標準不確定度.

在測量過程中，由于電橋不可能完全達到平衡狀態(tài)，會有微弱的電流通過檢流計，此時要考慮電橋靈敏度引入的標準不確定度，為

(3)

式(3)中ΔRx為電橋靈敏度引入的儀器誤差，其計算公式為

由橋臂電阻精度引入儀器誤差時忽略定值電阻精度，其可由變阻箱的精度(a%為電阻箱擋位精度[2])得到

根據(jù)待測電阻各測量公式和誤差傳遞公式得橋臂電阻總的標準不確定度

待測電阻值的總不確定度

(4)

相對不確定度為

(5)

3 誤差分析

3.1 檢流計靈敏度的影響

可以證明，當橋路達到平衡后，改變任一橋臂阻值所得到的電橋靈敏度是相同的.由于在實驗過程中Rx是無法改變的，我們可以改變橋臂Rs，使檢流計偏轉5格左右，由式(2)求出橋路的靈敏度.

根據(jù)電橋靈敏度定義，忽略電源內阻，解基爾霍夫方程組，可得下面公式

(6)

式(6)[3]中，Si為檢流計的電流靈敏度，Rg為檢流計內阻，E為電源電動勢.由式(6)可以看出，電橋靈敏度S與檢流計的電流靈敏度Si,檢流計的內阻Rg,電源電動勢E的大小以及橋臂電阻的大小均有關系.

3.2 檢流計零點不準引入的誤差分析

由于檢流計存在零點不準的系統(tǒng)誤差，因此可以采用反向補償法來減小系統(tǒng)誤差.反向補償法可以采用以下兩種方法進行.

(1)指針左右偏

電橋平衡時，比較臂電阻為Rs，改變某一橋臂電阻使檢流計指針往左、右各偏轉n格，從而使兩次測量結果中誤差的符號相反，則通過求平均值的方法就可以抵消由于檢流計零點不準引入的誤差.

(2)改變電流方向

改變電流方向前，調節(jié)電橋平衡，有

將某一橋臂電阻改變ΔR正使檢流計指針往左偏轉n格，改變電流方向后，調節(jié)電橋平衡，則有

將同一橋臂電阻改變ΔR負使檢流計指針往右偏轉n格，兩次測量結果中的誤差依然是符號相反，再通過求平均值的方法就可以抵消該誤差.

由以上分析可知，兩種方法均可減小由檢流計零點不準引起的系統(tǒng)誤差.

3.3 比例臂比值引入的誤差分析

如圖2所示，為確定電橋的比例系數(shù)C的取值對測量誤差的影響，用一根長為L(L=L1+L2)的電阻絲來代替標準電阻R1和R2,則

圖2 滑線式惠斯通電橋原理

如果有讀數(shù)誤差ΔL，則L1和L2的測量值分別為L1+ΔL和L2-ΔL=L-L1-ΔL，那么測量Rx時由長度的測量誤差引起的相對誤差用絕對值法表示，可以由Rx的相對誤差公式

得

(7)

3.4 橋臂電阻引入的誤差分析

根據(jù)式(1)，我們可以求出待測電阻的阻值.由于在實驗過程中的橋臂電阻通常是用電阻箱來調節(jié)的，因此，橋臂電阻的阻值誤差也必然會對待測電阻的阻值產(chǎn)生影響.針對這一誤差，可以采用以下兩種方法來減小誤差.

(1)代換消除法

電橋平衡后，保持R1,R2和Rs不變，用一個可調電阻Rh代替Rx，調節(jié)Rh使電橋達到新的平衡，則有

進而聯(lián)立式(1)可以得到

Rx=Rh

(8)

由式(8)，Rx與R1,R2及Rs無關，只與替代電阻Rh的精度有關，消除了儀器誤差對測量結果的影響[5].

(2)交換測量法

進而聯(lián)立式(1)，可以得到

(9)

由式(9)可知，待測電阻Rx只與比較臂電阻有關，與比例臂電阻無關，因此，互換R1和R2橋臂的方法消除了由R1和R2引起的誤差[6].

4 實驗結果分析

4.1 反向補償法的驗證

反向補償法得到的實驗數(shù)據(jù)如表1所示.

表1反向補償法的兩種方式

電源電壓：6 Vn:5 待測電阻：1 000 Ω

R1=R2/Ω測量方式Rx測=Rs/ΩΔRs左/ΩΔRs右/ΩΔRs/ΩS/divΔRx/Ω相對不確定度u(Rx)/%1000指針左右偏轉1000．421．224．4022．8219．40．90．11改變電流方向1000．324．4023．524．0208．81．02．89

根據(jù)表1數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，采用檢流計指針左右偏轉和改變電流方向這兩種方法均能減小由于檢流計存在零點不準而引起的系統(tǒng)誤差.對比兩種方法中電橋的相對不確定度及操作的簡便性，在測量中應傾向于采用檢流計指針左右偏轉的方式.

4.2 比例臂比值的驗證

比例臂比值法得到的實驗數(shù)據(jù)如表2所示.

表2電橋的靈敏度與比例臂比值的關系

電源電壓：6 Vn:5 待測電阻：1 000 Ω

R1/ΩR2/ΩRs/ΩRx測/ΩΔRs左/ΩΔRs右/ΩΔRs/ΩS/divΔRx/Ω100100010009．01000．9630．0740．0685．073．12．7100010001000．41000．421．224．4022．8219．40．91000100100．01000．04．65．04．8104．21．9

根據(jù)表2數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，在待測電阻接近其中一個比例臂電阻阻值時，比例臂的比值越接近1，電橋的靈敏度越高，其引起的儀器誤差越小.因此,在該實驗的測量中應該盡可能使R1=R2.

4.3 3種測量方法實驗數(shù)據(jù)的比較

3種方法所得實驗數(shù)據(jù)比較如表3所示.

表3 3種測量方法的電橋靈敏度及誤差統(tǒng)計表

電源電壓：6 Vn:5 待測電阻：1 000 Ω

R1=R2/Ω測量方法Rx測/ΩΔR/ΩS/divΔRx/Ω橋臂電阻不確定度u′C(Rx)相對不確定度u(Rx)/%1000傳統(tǒng)測量法1000．422．8219．40．91．00．11代換消除法1000．322．5222．30．90．60．08交換測量法1000．422．7219．10．90．40．07

根據(jù)表3數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，在比例臂阻值相同且待測電阻接近比例臂阻值時，采用檢流計指針左右偏轉的方式來消除零點誤差.3種方法測得的電橋靈敏度無明顯差別，電橋靈敏度引入的儀器誤差亦無差別，代換消除法和交換測量法相比于傳統(tǒng)的測量方法其電阻箱精度引入的不確定度和電橋的相對不確定度更低些，即此兩種方法均能減小由橋臂電阻引入的系統(tǒng)誤差，與理論分析相符.

5 結束語

通過本次實驗研究得出以下結論：

(1)反向補償法中采用檢流計指針分別向左、右各偏轉同等角度和改變電流方向這兩種方式均可以達到減小檢流計存在零點不準而引起的系統(tǒng)誤差的目的，但改變電流方向的方式中由橋臂電阻引入的不確定度較大，因此采用檢流計指針分別向左、右各偏轉同等角度的方式測得的實驗結果更精確些.

(2)通過實驗發(fā)現(xiàn)：比例臂的比值越接近1，電橋的靈敏度越高，電橋靈敏度引入的儀器誤差越小.

(3)通過比較3種測量方法發(fā)現(xiàn)：在比例臂阻值相同時，代換消除法和交換測量法測電阻均可減小橋臂電阻引入的系統(tǒng)誤差.

綜上，在進行惠斯通電橋測電阻實驗時，選取比例臂的阻值應相等且大小適當，電橋的靈敏度應適中.若需提高電橋的靈敏度，應從選擇靈敏度高的檢流計、相等且適當減小比例臂電阻、適當增大電源電壓等幾個方面考慮.

本課題的研究對于實驗教學是很有幫助的，在實驗教學課程中，為了減小實驗的誤差，提高測量的精度，同時簡化實驗操作，代換消除法或交換測量法是最行之有效的.這樣既可以節(jié)約時間，提高實驗的效率，又可以鍛煉學生嚴謹?shù)目茖W思維和動手操作能力.希望本課題的研究可以為改進實驗方案，提高測量的精確性以及改進實驗教學提供有價值的參考.

1 楊述武.普通物理實驗(電磁學部分).北京：高等教育出版社, 2009.53～59

2 王邦文,盧錦杰,竺江峰.探究橋臂電阻及待測電阻的阻值改變對惠斯通電橋相對不確定度的影響.大學物理實驗,2016,29(4):93～97

3 羅曉青.惠斯通電橋測電阻的誤差分析.技術物理教學,2008，16(3):43～45

4 陶洪.物理實驗教學論.桂林：廣西教育出版社, 1996.126

5 高蓉.惠斯通電橋測量精度的改進.物理之友,2015,31(3):25～37

6 張瑞華.“用惠斯登電橋測定電阻”實驗中幾個問題的討論.物理通報，1963(5):262～264