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        關(guān)于牽連體速度及加速度變化規(guī)律的分析

        2018-03-27 07:38:07
        物理通報(bào) 2018年4期

        許 龍

        (安徽省太和一中 安徽 阜陽 236600)

        楊培軍

        (阜陽市教育局物理教研室 安徽 阜陽 236000)

        在備戰(zhàn)高考的復(fù)習(xí)中,常遇到繩牽連體問題,許多學(xué)生對此非常棘手;尤其是尋找牽連體速度極值位置時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤:兩者同時(shí)達(dá)到速度極值,速度極值位置在二者靜止的位置.其實(shí)不然,利用牛頓第二定律、能量守恒和一定的數(shù)學(xué)知識推導(dǎo)后就會(huì)發(fā)現(xiàn)兩牽連體速度并非同步變化.下面筆者就結(jié)合一道高考模擬題來分析牽連體速度極值的位置.

        解決此類問題時(shí)要明確兩點(diǎn):牽連體沿著繩方向速度大小相等,能量守恒.

        1 真題回放

        【題目】(2017年南通高三第一次調(diào)研)如圖1所示,足夠長的光滑直桿傾斜固定,桿上套有質(zhì)量為m的小滑塊A,用足夠長、不可伸長的輕繩將A與另一質(zhì)量為2m的小物塊B繞過光滑的定滑輪相連接,A位于O點(diǎn),此時(shí)滑輪左側(cè)輕繩恰好水平.現(xiàn)將A從O點(diǎn)由靜止釋放,B在運(yùn)動(dòng)過程中不觸碰滑輪和直桿,則( )

        A.滑塊A釋放瞬間,繩對A的拉力為2mg

        B.滑塊A速度最大時(shí),物塊B的速度也最大

        C.滑輪左側(cè)的輕繩與直桿垂直時(shí),滑塊A速度最大

        D.滑輪左側(cè)的輕繩與直桿垂直時(shí),滑塊A機(jī)械能最大

        解析:設(shè)初始時(shí)桿與水平面夾角為α,滑塊A釋放瞬間繩子拉力為T,對A,B受力分析可得

        (1)

        由幾何關(guān)系得aAcosα=aB,整合后有

        故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

        圖1 題圖

        A下滑至滑輪左側(cè)的輕繩與直桿垂直的過程中,A和B的高度皆降低,速度均增大;此后A繼續(xù)下滑,假設(shè)A稍下滑一點(diǎn),繩與桿垂直方向夾角為β(β極小),繩子拉力為F,對A和B受力分析得

        (2)

        由幾何關(guān)系可得

        aAsinβ=-aB

        聯(lián)立后有

        故A的速度將繼續(xù)增大,B的速度將減小,由此可知選項(xiàng)B,C錯(cuò)誤.

        A下滑至繩與桿垂直的過程中,繩子拉力對A做正功,機(jī)械能增加;滑過與桿垂直位置后,繩子拉力對A做負(fù)功,A機(jī)械能減小,故D選項(xiàng)正確.

        答案解析并無錯(cuò)誤,但并未對兩牽連體速度和加速度進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo),其變化規(guī)律到底如何并未作詳細(xì)說明.下面筆者就這種牽連體的一般模型進(jìn)行分析計(jì)算,尋找速度和加速度表達(dá)式,并利用特殊值驗(yàn)證計(jì)算.

        2 速度變化規(guī)律

        設(shè)光滑桿與水平夾角為α,經(jīng)過一段時(shí)間繩與水平夾角為θ,滑輪左側(cè)繩長為L,A的速度v1,沿桿運(yùn)動(dòng)位移x;B的速度為v2,亦為A沿繩子上的分速度,此時(shí)二者速度關(guān)聯(lián)v2=v1cosα+θ,如圖2所示.由此可知,當(dāng)

        時(shí),A沿繩子方向分速度沿繩向上,B向下運(yùn)動(dòng),當(dāng)

        時(shí),A沿繩子方向分速度沿繩向下,B向上運(yùn)動(dòng);所以當(dāng)

        時(shí),A,B重力做正功,B速度為零,A機(jī)械能最大.

        圖2 兩物速度與位置圖像

        在滑塊A運(yùn)動(dòng)的任意位置、初點(diǎn)、繩子與滑輪懸點(diǎn)圍成的三角形,內(nèi)角分別為α,θ,π-α+θ,可由三角形正弦定理得

        (3)

        可得A下滑位移x和B沿繩向下位移Δh

        (4)

        同時(shí)利用機(jī)械能守恒得到其速度大小

        (5)

        (6)

        2sinα+θ-2sinα·

        (7)

        由表達(dá)式已能看出二者速度并非同步變化.可由Mathematica作出二者隨繩擺角θ的變化圖像,能更形象地表示出二者變化規(guī)律.

        圖時(shí)兩物體速度隨繩子擺角變化規(guī)律

        由圖像更能直觀看出二者速度變化規(guī)律:速度變化并不同步,物塊B速度有兩個(gè)極值,而A只有一個(gè).對于速度極大值的位置可以利用求導(dǎo)的方法進(jìn)行計(jì)算:令速度為θ的函數(shù),并令其導(dǎo)函數(shù)為零,求解的根即為速度最大值時(shí)對應(yīng)的繩子擺角.可用Mathematica的尋根命令,解得滑塊A速度極大值的位置在θ=0.685 3 rad附近;而物塊B速度極值有兩個(gè),分別在θ=0.181 4 rad和θ=1.279 9 rad.其中物塊B速度為零的位置正是α的余角.

        圖時(shí)兩物體速度隨繩子擺角變化規(guī)律

        3 加速度變化規(guī)律

        由于牽連體在沿著繩子方向上速度相同,即

        v2=v1cosα+θ

        兩邊同時(shí)對時(shí)間求導(dǎo),得

        (8)

        v⊥=v1sinα+θ

        即有

        (9)

        將式(9)代入式(8)整合后有

        (10)

        同時(shí)對二者受力分析,如圖5所示.

        圖5 兩物體受力示意圖

        (11)

        消去繩子拉力T也可得A,B兩物體加速度關(guān)系

        a1=gsinα+2g-a2cosα+θ

        (12)

        聯(lián)立式(10)和式(12),可得加速度表達(dá)式

        (13)

        (14)

        將式(6)代入式(13)、(14)即得兩物體加速度隨繩子擺角變化關(guān)系

        (15)

        (16)

        由Mathematica可模擬出二者加速度隨擺角之間的變化規(guī)律,它們并不同步變化.為了體現(xiàn)與上文的連貫性,我們依然采用以下兩個(gè)角度加以分析.

        圖時(shí)兩物體加速度隨繩子擺角變化規(guī)律

        由圖可知:二者在初始時(shí)刻加速度并不為零,一起做加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)加速度為零時(shí)速度應(yīng)達(dá)到極值,該圖像明顯反映出滑塊A只有一個(gè)速度極值,而物塊B有兩個(gè)速度極值,其角度大小與上文所得結(jié)果一致.

        圖時(shí)兩物體加速度隨繩子擺角變化規(guī)律

        發(fā)現(xiàn)在初始一段時(shí)間內(nèi)物塊B加速度為負(fù),說明結(jié)果與式(10)和式(11)中假設(shè)B豎直向下的加速度方向相反:在此種情況下初始時(shí)刻B應(yīng)該是向上加速運(yùn)動(dòng),這也是與事實(shí)相吻合的.

        4 總結(jié)

        分析此類復(fù)雜的非勻變速運(yùn)動(dòng)我們采用了機(jī)械能守恒的方法,從而避開了運(yùn)動(dòng)過程中變化的受力,相對更簡便一些.對于有些牽連體問題,二者速度、加速度并非同步變化,其速度并非同時(shí)達(dá)到極值,而是有先有后.這就要求教師在教學(xué)中對待問題不但要知其然,還要知其所以然,分析原因解決疑難.只有深刻地掌握物理模型,才能在今后的教學(xué)中收放自如.

        1 王波.探析繩連體模型的加速度關(guān)系.物理教師,2011,32(3):41~43

        2 閆峰.對連接體最大速度位置的分析.物理教師,2016,37(9):88~89

        3 姜付錦.MathCAD在連接體問題研究中的應(yīng)用.物理通報(bào),2011(12):75~78

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