王麗華

(山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院 山西 大同 037009)

量子力學(xué)不僅是物理學(xué)中的重要基礎(chǔ)理論之一，而且在材料學(xué)、化學(xué)、宇宙學(xué)和生物學(xué)等有關(guān)學(xué)科和眾多近代技術(shù)中也得到了廣泛應(yīng)用[1]. 本文利用泡利矩陣解析了量子力學(xué)中的幾類典型計(jì)算問題，較好地理解和詮釋了量子力學(xué)中的一些基本概念和原理.

1 求算符的本征值和所屬的本征函數(shù)

解析：設(shè)

其本征值為λ，本征函數(shù)為

即

移項(xiàng)得

上式是一個(gè)線性齊次代數(shù)方程組，它有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零，即

解得

λ=±1

把λ=1代入本征值方程

解得

a=b

即

利用波函數(shù)的歸一化條件

得到

即

把λ=-1代入本征值方程

解得

-a=b

即

利用波函數(shù)的歸一化條件

得到

即

同理可得

其本征值為±1，對應(yīng)的本征函數(shù)為

設(shè)

其本征值為±1，對應(yīng)的本征函數(shù)為

求解算符的本征值和所屬的本征函數(shù)問題的一般步驟為：

(2)將等號右邊部分移至左邊，得到一個(gè)線性齊次代數(shù)方程組

式中克羅內(nèi)克δ符號(Kronecker delta symbol)δmn具有下面的性質(zhì)：

(3)這個(gè)線性齊次代數(shù)方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零，即

detFmn-λδmn=0

上式稱為久期方程. 求解久期方程可以得到一組λ值：λ1,λ2,…,λn,…,它們就是F的本征值. 把求得的λi分別代入線性齊次代數(shù)方程組就可以求得與這λi對應(yīng)的本征矢φi(i=1,2,…,n,…).

2 求算符的對角化矩陣及使其對角化的么正變換矩陣

解析：對角化的矩陣為

對應(yīng)的本征函數(shù)為

由上題可知，在σz表象

對應(yīng)的本征函數(shù)為

其中

故

本題體現(xiàn)了量子力學(xué)中的一個(gè)重要結(jié)論：算符在其自身表象是一個(gè)對角矩陣，對角元素為其本征值，且算符的表象變換不改變它的本征值.

求解算符的對角化矩陣及使其對角化的么正變換矩陣的一般步驟為：

(1)將算符的本征值λii=1,2,…依次排列為矩陣的對角元素，其他非對角元素全部為零；

(2)將算符的本征值λi對應(yīng)的本征矢量φ1,φ2,…,φn并列就可得到么正變換矩陣S.

3 算符和波函數(shù)的表象變換

試在σx表象中，求σz的本征態(tài).

解析：在σz表象

σx的本征值與本征態(tài)為

將φ1，φ2并列得到由σz表象到σx表象的么正變換矩陣

在σx表象，σz的矩陣為

λ=1

λ=-1

本題運(yùn)用了量子力學(xué)中力學(xué)量和態(tài)的表象變換公式

F′=S-1FS=S+FS

b=S-1a=S+a

滿足S-1=S+的矩陣稱為么正矩陣，由么正矩陣所表示的變換稱為么正變換. 所以由一個(gè)表象到另一個(gè)表象的變換是么正變換.

解這類型題直接代公式就可以.

4 求力學(xué)量的期望值及可能取值的概率

(2) 求t>0時(shí)，電子自旋沿負(fù)y方向的概率[2, 3].

方程的解為

因此任意t時(shí)刻的波函數(shù)為

由

得到

令

ψt=a1ψ++a2ψ-

其中

t>0時(shí)，電子自旋沿負(fù)y方向的概率為

式中cn與x無關(guān)，本征函數(shù)φnx的這種性質(zhì)稱為完全性.cn可以由ψx和φnx求得

即

假設(shè)任一函數(shù)ψx已歸一化，可得

另外，本題還用到了力學(xué)量期望值的計(jì)算公式

解這類型題只需直接代公式.

1 周世勛. 量子力學(xué)教程.北京：高等教育出版社, 2016. 174 ～ 177

2 陳鄂生. 量子力學(xué)習(xí)題與解答.北京：科學(xué)出版社, 2012. 401 ～ 404

3 史守華，謝傳梅. 量子力學(xué)考研輔導(dǎo).北京：清華大學(xué)出版社, 2015. 13 ～ 20