☉廣東省廣州市番禺區(qū)石樓中學(xué) 劉新萍

教會學(xué)生在解題中怎樣探尋解題突破與思路是值得廣大高中數(shù)學(xué)教師尤為重視的課題.有些教師面對課堂教學(xué)中的例題往往會直接進(jìn)行求解，這樣的做法往往會令學(xué)生的思維形成定式且不能拓展.本文結(jié)合解題指導(dǎo)的順序與實際案例對解題應(yīng)有的策略進(jìn)行了大概的分析.

一、引導(dǎo)學(xué)生“先估后算”

面對實際問題首先進(jìn)行粗略估計是解題中的第一步，這一“初步定向”的審題步驟主要鍛煉的是學(xué)生面對問題時的洞察力.比如，在已知直角三角形中的兩個獨立條件的情況下進(jìn)行問題的求解，往往利用勾股定理與三角比知識就可以解決問題，而條件不夠、問題又不確定時就應(yīng)該采用方程來解決了.

先估后算一般包含條件與數(shù)量這兩方面的估計.

1.條件的估計

條件的估計包含條件是否多余或缺少、是否存在矛盾、是否可變等主要的內(nèi)容.

例1 如圖1，已知△ABC中，AM是BC上的中線，CN⊥AM，BC=2，沿AM將△CAN翻折到△AND，說出BD與BC數(shù)量關(guān)系.

部分學(xué)生思路如下：MN是△BCD的中位線，所以比較MN和MC即可比較出BD和BC，且AM⊥CD，所以斜邊MC＞MN，即BC＞BD，但參考答案卻是BC=BD.于是他想證明∠CBD=45°，但最終沒能證明.

圖1

事實上，想證明∠CBD=45°，就是證明∠CMN=45°，這是中線AM與BC的夾角，題中并沒有談及它等于45°，雖然進(jìn)行了一定的翻轉(zhuǎn)等操作，但它不會變成45°.

因此，基本量不足的情況下問題是可變的.

2.數(shù)量的估計

基本量不足導(dǎo)致問題可變時就應(yīng)該首先搞清楚問題中究竟有哪些量，然后再去分析固定的量、變的量、初始量、會跟著變的量、這些量的變化范圍等等.

例2 用50米的材料圍成一飼養(yǎng)場并使其面積最大，應(yīng)該怎樣圍？

有些學(xué)生解題如圖2所示，設(shè)寬為x，列式y(tǒng)=x（50-2x），然后求函數(shù)最大值.

學(xué)生在此類題目剛剛出現(xiàn)時就接觸列函數(shù)式的解法往往不能適應(yīng)，教師應(yīng)這樣分析：

當(dāng)寬x=1米，長為50-2x=48米，面積為S=1×48=48平方米；

當(dāng)寬x=2米，長為50-2x=46米，面積為S=2×46=92平方米；

……

學(xué)生在教師的推理分析中很快能夠明白S是隨著x的變化而變化的.教師如果能夠經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生對這方面進(jìn)行關(guān)注，學(xué)生在長久的訓(xùn)練中就會逐步養(yǎng)成分析變量、常量的習(xí)慣，理解題意時的效果就會更好.

圖2

二、引導(dǎo)學(xué)生模式識別，探求優(yōu)法

教師引導(dǎo)學(xué)生在初步估計之后進(jìn)行解題的思考便是模式識別這一步驟了，學(xué)生一旦能夠領(lǐng)略并使用模式識別的策略，常規(guī)題的解決將會取得尤為欣喜的效率與效果.做過的范例以及自己歸納的解題模式等等都屬于解題的一些模式.教師在解題教學(xué)時應(yīng)幫助學(xué)生理解其中蘊(yùn)含的思想方法這一模式的靈魂，幫助學(xué)生正確掌握解題的步驟，避免亂套無用模式，使得學(xué)生在常規(guī)題的解決中做到快速而準(zhǔn)確.如數(shù)列是高考中的重點內(nèi)容，解決這些相關(guān)問題時，主要思路：1.聯(lián)立方程組（或不等式組），通過解方程組（或不等式組）來求解；2.選擇恰當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù)，再用函數(shù)的知識來解決問題.

例3 等比數(shù)列{an}中，S2=2，S4=8，則S6=（ ）.

A.-32 B.32 C.-26 D.26

等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解.

掌握通法之后還應(yīng)該對優(yōu)法進(jìn)行一定的探求，本題還可以利用等比數(shù)列的性質(zhì)來求解，教師在解題教學(xué)時應(yīng)幫助學(xué)生逐步鍛煉出一眼看穿問題本質(zhì)的能力并投入應(yīng)用中，注重數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)對于學(xué)生解題能力的培養(yǎng)很有意義.

解析：因為S2，S4-S2，S6-S4成等比數(shù)列，

所以（S4-S2）2=S2（S6-S4），

所以36=2（S6-8），S6=26.

有些具體問題雖然由幾個內(nèi)容組成，但解題時有意放大視角并將研究對象看成為一個整體來使問題得以求解即是這里所指的整體思維.研究問題的形式、結(jié)構(gòu)以及處理得到整體視角的分析往往能令解題變得更加簡潔而順利，教師在平日的教學(xué)中也應(yīng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生整體思維的意識與習(xí)慣.例4 5a2+25a+9=0，9b2+25b+5=0，求.

從問題呈現(xiàn)的整體形式看，學(xué)生通過觀察可知，兩式子系數(shù)對稱，將9b2+25b+1=0兩端除以b2，得5 （）2+25）+9=0，可知a和是方程5x2+25x+9=0的兩根，利用韋達(dá)定理可知，.

對于內(nèi)部構(gòu)造與機(jī)理不能直接觀察的事物或系統(tǒng)在系統(tǒng)科學(xué)的范疇里被稱為黑箱，而那些部分機(jī)理還是明確的則稱為灰箱.黑箱原理的基本思想在于借助外部考察輸入黑箱與其輸出反饋信息之間的變化關(guān)系來探求問題結(jié)果，中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題大多為已知部分機(jī)理的“灰箱”.

三、引導(dǎo)學(xué)生多元化分析條件結(jié)論

如果通法、優(yōu)法尤其是“一眼看穿”的方法在某問題的解決中都行不通，這時候只好對題中的條件、結(jié)論等進(jìn)行仔細(xì)的分析了，這就是本文所要討論的雙向分析與差異分析等策略了.

1.雙向分析策略

雙向分析就是指把已知條件及其伸展、結(jié)論的倒溯這兩個方面結(jié)合起來進(jìn)行分析并最終找到解題的中間環(huán)節(jié)而獲求解的方法.

簡單說來，就是借助條件A進(jìn)行正面、順向的思考并得到經(jīng)過一定理解或轉(zhuǎn)化的條件B1，B2，B3，…；然后再從結(jié)論D出發(fā)尋找此結(jié)論生成必須依賴的命題C1，C2，C3……

如果由B1，B2，B3，…中的某個Bi可以推出C1，C2，C3，…中的某個Ci，則可得到一串命題：A-Bi-Ci-D，則命題得證.

雙向分析的運用中有時只要用到追溯，有時只要用到條件伸展就能夠解決問題，因此，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行雙向分析時不能機(jī)械運用.

2.差異分析

條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系是雙向分析時所側(cè)重的要點，而條件與結(jié)論之間的差異則是差異分析法尤其注重的關(guān)鍵.

例6 若a、b、c是互不相等的實數(shù)，且滿足關(guān)系式

b2+c2=2a2+16a+14， ①

bc=a2-4a-5， ②

則a的取值范圍為______.

條件是關(guān)于a、b、c的兩個等式，要求的則是關(guān)于a的不等式，對比分析可知其差異性表現(xiàn)在以下三個方面：

（1）條件中包含兩個式子，但要求的只是一個，因此立馬可以聯(lián)想合并條件；

（2）條件中涉及了三個字母，但要求的只是一個，因此立馬可以聯(lián)想消元；

（3）條件中給出的式子是等式，但要求的卻是一個不等式，因此立馬可以聯(lián)想到對等式放縮.

解：①-2×②，（b-c）2=24a+24，因b≠c，有（b-c）2＞0，則24a+24＞0，a＞-1.

四、變更問題引導(dǎo)學(xué)生再思考

如果對條件與結(jié)論進(jìn)行如此的分析之后還不能求解，那么解題者就應(yīng)該要考慮到變更問題才行了.變更問題時可以將問題全部變更，也可以將條件或者結(jié)論進(jìn)行單獨的變更.

1.表示形式的轉(zhuǎn)換

學(xué)生對某些問題的表示形式難以理解或難以探究出解題思路時，教師應(yīng)該適時引導(dǎo)學(xué)生將其表示形式作出一定的變換，問題很可能迎刃而解.如求函數(shù)的零點個數(shù)問題，有部分復(fù)雜的方程學(xué)生是無法解出的，要將函數(shù)變?yōu)閮蓚€簡單函數(shù)，畫出它們的圖像交點的個數(shù)就是零點的個數(shù)，初學(xué)的學(xué)生比較難解決這類數(shù)形結(jié)合的問題，老師在教學(xué)過程中不斷滲透.

例7函數(shù)f（x）=lnx+x-2的零點個數(shù)為______.

解法：作出函數(shù)g（x）=lnx，h（x）=-x+2圖像，由圖3可知f（x）的零點個數(shù)為1個.

2.問題轉(zhuǎn)化

如果轉(zhuǎn)化為|AB|是x的函數(shù)，則此題就由幾何問題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題.

3.邏輯轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)解題中可以通過原命題的逆命題或否命題的研究并將之與原命題的本質(zhì)進(jìn)行聯(lián)系來解決問題.

例8 已知以下二次方程：x2+4mx+4m2+2m+3=0；x2+（2m+1）x+m2=0；（m-1）x2+2mx+m-1=0. 其中至少有一個方程有實根，則m的取值范圍為（ ）.

當(dāng)然在變式的過程中運用的最多的是分類討論思想，當(dāng)問題比較復(fù)雜甚至難以入手時，一般將其轉(zhuǎn)化成比較簡單且易于解答的一道或幾道新題.

上面一些常用方法，老師在平時的教學(xué)中，可經(jīng)常滲透，讓學(xué)生有一個接受，消化的過程，讓他們建立起解題的一套方法和思路，但重要經(jīng)驗是優(yōu)化基礎(chǔ)，把知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化、程序化，在優(yōu)化的基礎(chǔ)上，適當(dāng)?shù)刈鲆恍┬骂}.基礎(chǔ)好了，才能夠做到解題活，才能綜合知識，有較快的解題速度，所以應(yīng)該把主要精力放在優(yōu)化解題過程，濃縮提煉知識的機(jī)構(gòu)，優(yōu)化解題方法.H