計前程， 羅小華

(浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310007)

0 引 言

濾波器是可執(zhí)行信號處理功能的電子組件。數(shù)字濾波器系統(tǒng)包含對輸入信號進(jìn)行采樣的模/數(shù)轉(zhuǎn)換器，微處理器和一些外圍組件，有時使用現(xiàn)場可編程門陣列(field programmable gate array,FPGA)或?qū)Ｓ眉呻娐?application specific integrated circuit,ASIC)代替通用微處理器用于加速濾波操作[1]。

傳統(tǒng)的有限脈沖響應(yīng)(finite impulse response,FIR)濾波器有2種設(shè)計方法，窗函數(shù)法和頻率采樣法，存在通阻帶邊界的頻率與波動不易控制等缺陷。自機(jī)器學(xué)習(xí)理論出現(xiàn)后，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等算法應(yīng)用到FIR濾波器設(shè)計[2]中，取得了良好的效果，同時針對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的FIR濾波器進(jìn)行了硬件實現(xiàn)[3]。此外，開始使用支持向量機(jī)(support vector machine,SVM)設(shè)計FIR濾波器[4]。

本文使用SVM設(shè)計FIR濾波器，并根據(jù)FIR濾波器的情況針對SVM進(jìn)行優(yōu)化，改進(jìn)了部分算法。在此基礎(chǔ)上，提出了一種基于SVM的FIR濾波器的嵌入式系統(tǒng)。軟件實現(xiàn)FIR濾波器的訓(xùn)練部分，硬件實現(xiàn)FIR濾波器的測試部分。濾波器性能良好，滿足了基本要求。

1 濾波器結(jié)構(gòu)理論

FIR濾波器屬于線性系統(tǒng)。對于N階因果離散時間FIR濾波器，輸出序列的每個值為最近的輸入值的加權(quán)和

(1)

式中x(n)為輸入信號；y(n)為輸出信號；N為濾波器階數(shù)；hi為濾波器系數(shù)。

FIR濾波器的傳遞函數(shù)可由其沖激響應(yīng)的z變換獲得

(2)

可以得到FIR濾波器的頻率響應(yīng)

(3)

在設(shè)計FIR濾波器時，保證h(n)的對稱可保證濾波器的相位特性，保證h(n)的大小可保證濾波器的幅值特性。

2 使用SVM設(shè)計線性濾波器

2.1 SVM

對于FIR濾波器，其輸出可視作二分類問題，可使用SVM[5]作為分類器。

2.2 設(shè)計步驟

改寫式(1)為向量形式，濾波器系數(shù)hi組成一個向量，輸入信號x(n)組成另一向量，有

(4)

式(4)為一階多維線性函數(shù)，與線性SVM的決策邊界函數(shù)非常相似，可以經(jīng)過簡單的變換達(dá)到形式上的一致。由于濾波器的輸出信號的范圍大致在0～1之間，輸出結(jié)果偏近1的信號為通過信號，輸出結(jié)果接近0的信號為阻隔信號，可以通過數(shù)學(xué)方法，引入一個參數(shù)α，放大輸出信號α倍并減去0.5α，使得y的值標(biāo)準(zhǔn)化，即令

(5)

此時，Y的取值范圍大致在-1～+1之間，輸出結(jié)果偏近+1的信號為通過信號，輸出結(jié)果接近-1的信號為阻隔信號。考慮截止頻率等因素，可以調(diào)整放大倍數(shù)。此時，式(5)可以看作一個決策邊界函數(shù)。令

w=α×[h0h1…h(huán)N]

(6)

x=[x(n)x(n-1)…x(n-N)]T

(7)

變換后的濾波器函數(shù)為

(8)

考慮到訓(xùn)練樣本可能存在錯誤，以及樣本在決策空間中的距離可能很接近，引入松弛變量ξ和懲罰參數(shù)C。目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

(9)

由松弛變量的定義可知，松弛變量的取值為

(10)

式中yi實際濾波計算結(jié)果經(jīng)變換后的值;y+,y-為目標(biāo)結(jié)果，值分別為+1,-1。

將濾波器的約束條件施加在目標(biāo)函數(shù)上，獲得新的拉格朗日目標(biāo)函數(shù)，該函數(shù)為

(11)

對Lp求偏導(dǎo)可獲得約束條件。將約束條件施加在拉格朗日目標(biāo)函數(shù)上，可以獲得拉格朗日對偶函數(shù)。約束條件和拉格朗日對偶函數(shù)組成了針對拉格朗日乘子λi、濾波器的系數(shù)w和決策邊界偏移量b的二次規(guī)劃方程組

(12)

對式(12)求解，可以得到一組可行的拉格朗日乘子。將其代入到式(13)～式(15)中，即可求得濾波器的參數(shù)

(13)

(14)

(15)

2.3 使用核函數(shù)

引入核技術(shù)解決高維問題:設(shè)引入的核為k(xi,xj)，代入二次規(guī)劃方程組后，可解得一組拉格朗日乘子和參數(shù)b。核函數(shù)有多種，其中,徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)具有較寬收斂域[6]，使用廣泛，因此,本文采用RBF核函數(shù)。計算如下

(16)

(17)

式中yi為支持向量xi標(biāo)準(zhǔn)化后的輸出值;yz為測試向量z在標(biāo)準(zhǔn)化環(huán)境下的輸出值;yreally為測試向量z在實際情況下應(yīng)得的輸出值。

2.4 參數(shù)優(yōu)化

利用SVM訓(xùn)練16階II型低通FIR濾波器。在[0,π]間平均取61組數(shù)據(jù)作為測試樣本。

1)求取最少可用的訓(xùn)練集樣本數(shù)

分別采用2,5,8,11,16,25,40組訓(xùn)練樣本進(jìn)行實驗，σ=5，C=10。圖1(a)為不同訓(xùn)練樣本下的準(zhǔn)確率。隨著訓(xùn)練樣本數(shù)的增加，濾波器模型的準(zhǔn)確率不斷提升。在訓(xùn)練組數(shù)達(dá)到16組后，準(zhǔn)確率變化平緩?？紤]硬件設(shè)計成本和濾波器準(zhǔn)確率等，濾波器模型訓(xùn)練樣本選取16組。

2)求取最合適的C值

采用8組C值進(jìn)行實驗，訓(xùn)練樣本數(shù)為16，σ=5。圖1(b)為得到的不同C值下的準(zhǔn)確率。隨著C值的增加，濾波器的準(zhǔn)確率不斷提升，但當(dāng)C值達(dá)到一定值之后，濾波器準(zhǔn)確率不再變化?？蓪VM中的C值設(shè)為10。

3)求取最合適的σ值

采用8組σ值對濾波器進(jìn)行實驗，訓(xùn)練樣本數(shù)為16，C=10。圖1(c)為得到的不同σ值下的準(zhǔn)確率?？梢杂^察到，當(dāng)RBF核σ值為20時，濾波器準(zhǔn)確率最高。

圖1 各參數(shù)與準(zhǔn)確率關(guān)系

3 濾波器嵌入式系統(tǒng)設(shè)計

3.1 整體系統(tǒng)設(shè)計

在Xilinx平臺上完成關(guān)于基于SVM的FIR 的嵌入式系統(tǒng)設(shè)計。權(quán)衡設(shè)計成本和運算速度，F(xiàn)IR濾波器系統(tǒng)分為硬件和軟件2個部分。軟件主要實現(xiàn)SVM訓(xùn)練部分和測試部分中的運算框架，而硬件實現(xiàn)SVM中的核運算以乘加運算。圖2為基于SVM的FIR 嵌入式系統(tǒng)的整體設(shè)計框圖。本文通過軟處理器核MicroBlaze完成了軟件與硬件的連結(jié)。

圖2 嵌入式系統(tǒng)整體框圖

3.2 硬件部分實現(xiàn)

硬件部分實現(xiàn)FIR濾波器系統(tǒng)中頻繁使用的部分，浮點數(shù)乘加器和核函數(shù)模塊。整個硬件模塊如圖3所示。

圖3 硬件模塊整體框圖

浮點數(shù)乘加器完成使軟件程序得到的權(quán)值與核函數(shù)模塊相乘，并將所得到的N個積相加的工作，最終得到一個標(biāo)準(zhǔn)化的y值。核函數(shù)模塊實現(xiàn)RBF核函數(shù)運算，其中包括距離求和運算、乘法運算,以及指數(shù)運算。本文指數(shù)運算調(diào)用CORDIC核[7]。

3.2.1 優(yōu)化距離求和運算

(18)

在FPGA中，乘法運算會消耗較多的資源和時間，不利于模塊內(nèi)部的并行加速。因此，需簡化距離計算公式來優(yōu)化算法。本文設(shè)計的為一維濾波器，可以采用曼哈頓距離公式[8]替代歐幾里得距離公式，即

(19)

設(shè)計曼哈頓距離計算的電路，如圖4所示。曼哈頓距離計算電路由2個加法器、1個比較器和1個選擇器組成，實現(xiàn)求取距離差絕對值的功能。

圖4 曼哈頓距離計算電路

表1中，在使用流水線情況下，對于RBF核函數(shù)，使用歐幾里得距離為137個時鐘周期，使用曼哈頓距離為133個時鐘周期，后者相比前者加速大約3 %。在乘法器的使用量上，后者較前者減少了2/3。由于使用曼哈頓距離會調(diào)用較多的加減器、比較器和選擇器，會使用較多的查找表(look up table,LUT)，因此，LUT的使用量增長與此有關(guān)。

表1 硬件使用對比

3.2.2 向量分割

對于一個多維向量，其在輸入時會消耗較多的端口，算法在硬件上的讀寫會被限制?？梢詫⑤^長的向量分割成為多個小數(shù)組，提高端口的使用效率。向量分割時，寄存端口可以分時段地載入或載出數(shù)據(jù)，可以縮短啟動間隔的時間，從而加速流水線。此外，分割后的向量變?yōu)槎嘟M小數(shù)組，在單元運算內(nèi)部可采用并行計算，以減少單元運算的時間。

3.3 軟件部分實現(xiàn)

3.3.1 序列最小優(yōu)化算法

序列最小優(yōu)化(sequence minimum optimization,SMO)算法[9]是一種用于解決SVM訓(xùn)練過程中二次規(guī)劃問題的算法。SMO算法是一個迭代優(yōu)化算法，其時間復(fù)雜度為O(n3)。運算步驟如下：

1)初始化向量的權(quán)重λi，權(quán)重取隨機(jī)數(shù)，計算此時的偏移值b;

2)初始化每一項的誤差Ei;

3)選取兩個向量，作為要調(diào)整的點;

9)判斷是否達(dá)到終止條件，如果是，則算法結(jié)束；否則，開始執(zhí)行步驟(3)。

(20)

3.3.2 測試運算

1)初始化，獲取拉格朗日乘子，支持向量；

2)計算拉格朗日乘子λi與yi的積；

3)計算關(guān)于支持向量xi的核函數(shù)；

4)將步驟(2)與步驟(3)的結(jié)果相乘；

5)求取和值獲得主值w；

6)將w與偏移量b相加得到最終結(jié)果。

4 設(shè)計實例

最終優(yōu)化后的SVM濾波器系統(tǒng)工作于100 MHz。系統(tǒng)使用開發(fā)板xc7z020clg484。表2中列出了硬件模塊在開發(fā)板上的資源使用情況。其中，觸發(fā)器FF使用了4 %，LUT使用了15 %，DSP48被調(diào)用了17 %，BRAM的使用率達(dá)到了9 %。單次計算并判定測試向量的時間約為3 500 ns。

表2 系統(tǒng)硬件資源使用

圖5(a)為16階II型低通FIR濾波器的在窗函數(shù)法下得到的幅頻響應(yīng)，圖5(b)為在SVM設(shè)計下得到的幅頻響應(yīng)。SVM設(shè)計的FIR濾波器在通帶和阻帶范圍內(nèi)無過沖，邊界控制精確。在[0,π]間平均取61組數(shù)據(jù)作為測試樣本，SVM設(shè)計的FIR濾波器準(zhǔn)確率可達(dá)到98.41 %。

圖5 不同設(shè)計方法下的幅頻響應(yīng)

5 結(jié) 論

基于SVM設(shè)計的FIR濾波器在通帶和阻帶范圍內(nèi)無過沖，邊界控制精確。避免了傳統(tǒng)濾波器設(shè)計方法中矩陣求逆時帶來的大量計算，同時也避免了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計濾波器時需要較多的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，加快了計算速度。本文設(shè)計的嵌入式濾波器系統(tǒng)，訓(xùn)練部分用軟件實現(xiàn)，測試部分用硬件實現(xiàn)，可以實現(xiàn)資源與速度的平衡。從最終的幅頻響應(yīng)可以觀察到，由SVM設(shè)計的FIR濾波器的幅頻特性可以逼近理性濾波器，較傳統(tǒng)方法具有優(yōu)勢。

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