茍?jiān)獤|， 王學(xué)鋒， 莊海涵， 邢朝洋

(北京航天控制儀器研究所，北京 100039)

0 引 言

基于微機(jī)電系統(tǒng)(micro-electro-mechanical system,MEMS) 技術(shù)的陀螺(MEMS陀螺)，具有小體積、低功耗、易于批量生產(chǎn)、低成本等特點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用。實(shí)現(xiàn)高精度的微機(jī)械陀螺儀，就必須增大其驅(qū)動(dòng)振幅，從而降低布朗噪聲水平和角度隨機(jī)游走等[4]。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)驅(qū)動(dòng)振幅超過(guò)某個(gè)臨界值時(shí)，陀螺驅(qū)動(dòng)軸將發(fā)生非線性遲滯，導(dǎo)致其頻率響應(yīng)曲線發(fā)生突變，即陀螺的幅頻特性曲線不再連續(xù)而出現(xiàn)明顯的突變，嚴(yán)重影響了陀螺的穩(wěn)定性，制約了其性能的提高。目前，針對(duì)MEMS諧振器的非線性研究大多集中于定性分析，如振動(dòng)非線性造成系統(tǒng)諧振頻率漂移[5]，導(dǎo)致閉環(huán)諧振電路的不穩(wěn)定性[6,7]，影響閉環(huán)自激系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)[8]等。但關(guān)于諧振器振動(dòng)非線性系數(shù)的測(cè)量方法，非線性振動(dòng)下振幅閾值的計(jì)算評(píng)估等，國(guó)內(nèi)外鮮有報(bào)道。

本文針對(duì)一種線振動(dòng)MEMS陀螺驅(qū)動(dòng)軸的振動(dòng)非線性問(wèn)題開(kāi)展研究，采用理論分析、仿真模擬和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合相結(jié)合的方法確定模型中的非線性系數(shù)，并根據(jù)模型推導(dǎo)計(jì)算非線性遲滯效應(yīng)消失點(diǎn)的臨界振幅和激勵(lì)值，為陀螺結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了理論參考。

1 陀螺驅(qū)動(dòng)軸振動(dòng)非線性分析

影響MEMS陀螺的非線性因素主要有2方面：機(jī)械非線性和電容值非線性。針對(duì)電容值非線性，可以通過(guò)梳齒變面積設(shè)計(jì)大幅減小電容值非線性的影響；而微納米雙端固支梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)卻常常表現(xiàn)出明顯的非線性特征[9]。因此，本文從諧振梁的角度出發(fā)，對(duì)線振動(dòng)MEMS陀螺驅(qū)動(dòng)軸的振動(dòng)非線性問(wèn)題開(kāi)展研究。

1.1 諧振梁剛度非線性理論分析

考慮如圖1所示的雙端固支梁結(jié)構(gòu)，梁的橫向振動(dòng)導(dǎo)致其中性面的非線性伸長(zhǎng)。

根據(jù)彈性理論，梁因橫向振動(dòng)而產(chǎn)生的縱向伸長(zhǎng)量ΔL為[10]

圖1 梁軸向的附加伸長(zhǎng)

(1)

式中L為梁的長(zhǎng)度；w為梁的橫向振動(dòng)位移；x為梁的縱向位置；t為時(shí)間。梁伸長(zhǎng)引起梁能量U的變化為

(2)

式中E為梁材料的楊氏模量；A為梁的橫截面積。

一般地，梁的橫向位移w可以簡(jiǎn)化成一個(gè)與位置x相關(guān)的函數(shù)β(x)和一個(gè)與時(shí)間t相關(guān)的函數(shù)q(t)的乘積，β(x)可取梁的陣型函數(shù)。令ε=x/L，將ΔU對(duì)當(dāng)?shù)負(fù)隙萹(t)進(jìn)行微分，得到梁的附加軸力Fe

(3)

將諧振梁的尺寸參數(shù)代入式(3)，即可以得到梁的非線性剛度系數(shù)。

1.2 梁結(jié)構(gòu)有限元仿真

利用有限元建模(finite element modeling,FEM)軟件ANSYS計(jì)算諧振梁的剛度非線性，其中，諧振梁的尺寸參數(shù)設(shè)置：梁長(zhǎng)為1 938 μm，梁寬為30 μm，梁高為60 μm，楊氏模量為130 GPa，泊松比為0.18。

獲得諧振梁的有限元模型，梁兩端固支，中心點(diǎn)施加橫向驅(qū)動(dòng)力，求解時(shí)打開(kāi)大變形選項(xiàng)，對(duì)應(yīng)不同的驅(qū)動(dòng)力F可以獲得相應(yīng)的梁中點(diǎn)位移x。

為了得到梁的線性和非線性剛度系數(shù)，將得到的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合[11]

F(x)=k1x+k3x3

(4)

式中F為加載的外力；x為梁中心點(diǎn)的橫向位移。

圖2為諧振梁仿真結(jié)果，根據(jù)擬合結(jié)果，可以求得諧振梁的剛度非線性系數(shù)。

圖2 諧振梁驅(qū)動(dòng)力—位移非線性

1.3 陀螺結(jié)構(gòu)FEM仿真

利用有限元軟件ANSYS模擬MEMS陀螺結(jié)構(gòu)的剛度非線性，如圖3所示。

圖3 陀螺結(jié)構(gòu)的ANSYS模型簡(jiǎn)圖

圖3中，陀螺結(jié)構(gòu)的4個(gè)錨點(diǎn)固支，為了更有效地模擬實(shí)際情況，將驅(qū)動(dòng)力沿驅(qū)動(dòng)軸方向施加在驅(qū)動(dòng)梳齒上，以陀螺結(jié)構(gòu)中心質(zhì)量塊沿驅(qū)動(dòng)軸方向的偏移量作為位移，求解時(shí)打開(kāi)大變形選項(xiàng)，對(duì)應(yīng)不同的驅(qū)動(dòng)力可以獲得相應(yīng)的位移，將式(4)用于分析結(jié)構(gòu)的剛度非線性，擬合結(jié)果如圖4。

圖4 陀螺結(jié)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力—位移非線性

將諧振梁的尺寸參數(shù)值代入式(3)，得到陀螺驅(qū)動(dòng)軸剛度非線性如表1所示。

表1 梁的非線性剛度

將仿真值分別與理論值相比較，其誤差均較小，由此驗(yàn)證了理論計(jì)算的正確性。

2 實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析

2.1 非線性系數(shù)測(cè)定原理

MEMS陀螺的驅(qū)動(dòng)軸可以簡(jiǎn)化成二階諧振子系統(tǒng)，引入當(dāng)陀螺驅(qū)動(dòng)軸方向的等效質(zhì)量m和等效線性剛度k1時(shí)，達(dá)芬方程可用于描述陀螺驅(qū)動(dòng)軸方向的非線性動(dòng)力學(xué)特性，則陀螺驅(qū)動(dòng)軸的工作諧振頻率可以近似表示為[12]

(5)

式中ω0=k1/m為陀螺驅(qū)動(dòng)軸方向的固有圓頻率；α=k3/m為陀螺驅(qū)動(dòng)軸方向的非線性系數(shù)；kcv為陀螺儀表CV電路的 CV系數(shù)，表征單位振幅的檢測(cè)輸出電壓變化量；Vout為陀螺驅(qū)動(dòng)軸在不同激勵(lì)下的諧振峰值。

由式(5)知，在非線性振動(dòng)的條件下，系統(tǒng)的諧振頻率是一個(gè)與振幅相關(guān)的拋物線。可以根據(jù)式(5)，進(jìn)行曲線擬合，獲得MEMS諧振器的固有頻率f0和對(duì)應(yīng)的非線性系數(shù)α，實(shí)現(xiàn)對(duì)MEMS諧振器非線性系數(shù)的表征。

2.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

實(shí)驗(yàn)選取2只同批次的陀螺，對(duì)其驅(qū)動(dòng)軸進(jìn)行正弦掃頻測(cè)試，掃描頻率變化范圍在陀螺的諧振區(qū)域。實(shí)驗(yàn)中，逐漸增大陀螺的驅(qū)動(dòng)激勵(lì)，在幅值未發(fā)生突變前，測(cè)得一系列不同激勵(lì)下的的諧振峰值以及對(duì)應(yīng)的諧振圓頻率。表2為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的部分?jǐn)?shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)，陀螺的諧振頻率隨振幅的增大而增大。

表2 諧振峰值及其對(duì)應(yīng)的頻率值

為了從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中擬合出陀螺驅(qū)動(dòng)軸方向的振動(dòng)非線性系數(shù)，結(jié)合式(5)，采用最小二乘法進(jìn)行擬合處理，曲線擬合結(jié)果如圖5所示。

圖5 陀螺驅(qū)動(dòng)軸幅頻響應(yīng)曲線

陀螺儀表的CV系數(shù)kcv=1.957×105V/m，驅(qū)動(dòng)軸的等效質(zhì)量m=1.127×10-7kg，結(jié)合式(3)和式(5)，得到的2只陀螺驅(qū)動(dòng)軸的非線性系數(shù)α如表3所示。

表3 陀螺驅(qū)動(dòng)軸方向非線性系數(shù)

2只陀螺的非線性系數(shù)α值與理論值相比，誤差較小，充分證明了本文測(cè)量方法的正確性。

3 陀螺驅(qū)動(dòng)軸的激勵(lì)閾值

假設(shè)陀螺驅(qū)動(dòng)軸非線性遲滯效應(yīng)消失的臨界點(diǎn)是其幅頻曲線的多值現(xiàn)象的消失點(diǎn)，即響應(yīng)幅值與頻率是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，則該推導(dǎo)轉(zhuǎn)變?yōu)槭沟糜野攵畏l曲線的斜率一直小于0的條件求解。基于達(dá)芬方程，陀螺驅(qū)動(dòng)軸右半邊幅頻特性曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(6)

式中ω0為固有圓頻率；α為非線性系數(shù)；ζ為阻尼比；P為等效簡(jiǎn)諧力；ω為簡(jiǎn)諧力的頻率；A為振幅。

若使得dω/dA≤0，有

(7)

因此，系統(tǒng)激勵(lì)閾值P和系統(tǒng)振動(dòng)閾值A(chǔ)分別為

(8)

(9)

陀螺驅(qū)動(dòng)梳齒產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力可近似計(jì)算[13]，以陀螺1為例，實(shí)驗(yàn)中，陀螺驅(qū)動(dòng)軸驅(qū)動(dòng)梳齒的直流偏置電壓為10 V，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的自然頻率為15.117 kHz，阻尼比ζ=1.602 5×10-5，要使得陀螺非線性遲滯效應(yīng)消失，則要求交流激勵(lì)幅值電壓Vac≤ 0.056 9 V。

圖6為激勵(lì)交流幅值在0.05 V左右的掃頻實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，當(dāng)交流電壓幅值為0.044 V時(shí)，陀螺驅(qū)動(dòng)軸的振動(dòng)特性雖然表現(xiàn)出比較明顯的非線性振動(dòng)特性，但其頻率特性曲線依然連續(xù)，并未出現(xiàn)幅值突變現(xiàn)象，但當(dāng)交流電壓幅值等于0.056 V時(shí)，陀螺驅(qū)動(dòng)軸的幅頻和相頻曲線均產(chǎn)生比較明顯的突變。這與理論計(jì)算結(jié)果相吻合。

圖6 陀螺驅(qū)動(dòng)軸正弦掃頻曲線

4 結(jié) 論

針對(duì)線振動(dòng)MEMS陀螺驅(qū)動(dòng)軸的振動(dòng)非線性問(wèn)題展開(kāi)研究，重點(diǎn)討論了諧振梁的非線性系數(shù)，基于達(dá)芬方程，利用其諧振頻率曲線擬合得到陀螺驅(qū)動(dòng)軸的非線性系數(shù)。結(jié)果表明：實(shí)驗(yàn)值和理論推導(dǎo)值相吻合。

從穩(wěn)定性出發(fā)，推導(dǎo)計(jì)算得到陀螺的激勵(lì)閾值和振幅閾值，為陀螺結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了參考。結(jié)果表明：非線性跳躍現(xiàn)象消失點(diǎn)的理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。陀螺驅(qū)動(dòng)軸的非線性系數(shù)降低100倍，其振幅閾值增大10倍。

本文僅討論了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)非線性，并未涉及其他方面的非線性的討論，有待進(jìn)一步的研究。

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