譚康伯 路宏敏 官喬 張光碩 陳沖沖

(西安電子科技大學(xué),天線與微波國家重點實驗室,西安 710071)

1 引 言

在EIT的早期研究中,氣相材料是主要基材,然而氣態(tài)不穩(wěn)定性對相關(guān)電磁控制的精確性構(gòu)成不利影響.隨著材料科學(xué)的發(fā)展,基于半導(dǎo)體固態(tài)材料的量子點、量子阱技術(shù),通過對半導(dǎo)體不同空間維度上的量子約束操作,使得相應(yīng)研究逐漸具有對EIT受控性增強(qiáng)的潛力[9?19].較之氣相材料,半導(dǎo)體材料具有更大的非線性系數(shù)和帶間躍遷偶極矩,且通過結(jié)構(gòu)材料和結(jié)構(gòu)方向來調(diào)節(jié)這些因素更為方便,這就為半導(dǎo)體材料作為EIT效應(yīng)的有效基材提供了便利.另外,固態(tài)材料因在成形、生成等方面所表現(xiàn)的突出可控性[16?19],使得基于此類材料的EIT在相關(guān)的EPC研究方向及應(yīng)用前景上具有較強(qiáng)的靈活性和適用性.

然而,當(dāng)電磁場與固態(tài)半導(dǎo)體材料發(fā)生誘導(dǎo)作用時,材料系統(tǒng)性環(huán)境的強(qiáng)色散與非線性特性不斷凸顯.對于色散與非線性環(huán)境約束,電磁耗散就成為EIT中EPC必須進(jìn)一步考慮的實際因素.另外,較之單孤子形成,同態(tài)孤子對的耦合作用更為復(fù)雜.這些特征要素間的相互關(guān)系在相應(yīng)半導(dǎo)體量子點和阱、色散與非線性所激發(fā)的孤子等形成機(jī)理中需要不斷研究,相關(guān)問題的分析也將有利于對EIT研究的深入.

本文基于雙阱固態(tài)EIT系統(tǒng)中孤子形成機(jī)理,通過變分方法對耗散暗孤子態(tài)間的相干耦合作用進(jìn)行討論.

2 固態(tài)EIT系統(tǒng)中的暗孤子態(tài)變分分析

強(qiáng)電磁場在半導(dǎo)體材料中激發(fā)的特征是二者系統(tǒng)性作用的結(jié)果.在連續(xù)電磁脈沖作用下,雙阱半導(dǎo)體具有由量子相干而引發(fā)暗態(tài)的可能[19].在電磁材料分析中有兩種重要的技術(shù):一種是略去固態(tài)多體效應(yīng)等影響的半經(jīng)典密度方程演化分析;另一種是受半導(dǎo)體材料色散與非線性環(huán)境束縛的電動力學(xué)作用分析.對于這種電磁材料的多物理場系統(tǒng)作用特征規(guī)律,可以通過把二者相結(jié)合,來協(xié)同研究.

針對實際應(yīng)用環(huán)境,耗散是必須考慮的因素.電磁場的耗散特征受到固態(tài)材料色散與非線性的環(huán)境約束.下面將著重考慮耗散和相干束縛因素對于雙阱半導(dǎo)體量子相干孤子態(tài)的影響.在脈沖探針電磁作用中考慮材料線性及非線性極化與電場的電動力學(xué)關(guān)系,并于半導(dǎo)體材料中考慮雙量子阱Kerr相干作用及慢變包絡(luò)近似,則可得到相應(yīng)的耗散非線性Schr?dinger方程組:

其中,um,n表示固態(tài)材料系統(tǒng)中的孤子態(tài),Γc反映了固態(tài)材料系統(tǒng)中的耗散影響,Cc為非線性耦合系數(shù),其余參量則采用與文獻(xiàn)[19]相類似的定義形式,s1=sgn(β2),s2=sgn(n2),β2為群速度色散(GVD)參量,n2為Kerr非線性調(diào)制系數(shù).該方程組表征了相同運(yùn)動狀態(tài)孤子的動力學(xué)特征.對于固體系統(tǒng),單一孤子特征可通過解析形式進(jìn)行分析[19],但對于更復(fù)雜的系統(tǒng),變分的駐定特性是分析的有效途徑.變分方法可以通過試探解以較簡單的半解析形式來揭示復(fù)雜物理作用的內(nèi)在規(guī)律[20,21].在此分析模型的基礎(chǔ)上,借助變分的駐定性對固體系統(tǒng)的復(fù)雜作用進(jìn)行分析.對于前面電磁作用下半導(dǎo)體的非線性耗散模型,其所對應(yīng)的作用量原理為

其中,Lagrange量為L=exp(2Γcz)L′,且L′為

(3)式中的指數(shù)項表征了耗散影響,其余項則表征了固態(tài)系統(tǒng)中的非線性量子運(yùn)動.該Lagrange量的有效性,可通過如下Euler-Lagrange方程來表達(dá):

目前,已發(fā)現(xiàn)的具有物理意義的非線性發(fā)展方程有幾百種,各個學(xué)科還在涌現(xiàn)新的方程,不少學(xué)者對這些新方程非常感興趣,發(fā)現(xiàn)了大量的求解非線性偏微分方程的方法,主要有逆散射法[1]、B?cklund法[2]、Darboux變換法[3]、Hirota雙線性法[4-5]、Painlevé展開法[6]等.利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB和MAPLE等,學(xué)者們又發(fā)現(xiàn)了許多求解非線性偏微分方程的新方法,如雙曲函數(shù)法[7]、齊次平衡法[8]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[9]、包絡(luò)變換法[10-11]、ADM法[12]和F展開法[13]等.本文對F展開法進(jìn)行擴(kuò)展,擴(kuò)展后的方法可以求得非線性偏微分方程更豐富的解.

通過將Lagrange量代入方程(4),可得方程(1).前面的Lagrange分析考慮了Caldirola量子耗散構(gòu)型,所得成對支配方程具有共軛特點.

實際分析表明[19],通過調(diào)節(jié)GVD參量和Kerr非線性系數(shù),在材料失諧變化Δ=?0.48γ13附近,將形成GVD參量和非線性系數(shù)均為負(fù)的暗孤子.在此形成機(jī)理的基礎(chǔ)上,接下來將通過具體的變分分析,對該固態(tài)非線性系統(tǒng)耗散擾動影響進(jìn)行動力學(xué)討論.基于變分的駐定性,定義該固態(tài)系統(tǒng)中同態(tài)孤子對的試探解為

其中,同態(tài)孤子特征參量{qm|tm,βm,θm}分別為中心時刻、色散參量、相位參量;α為背景幅值.將包含這些參量的試探解代入作用量原理(2)中,通過所得的時域作用量,即可對該系統(tǒng)的動力學(xué)特征進(jìn)行分析.

3 實例分析

下面對固態(tài)耗散系統(tǒng)中的同態(tài)暗孤子特性進(jìn)行具體變分分析和討論.考慮雙量子阱的能帶結(jié)構(gòu),該固態(tài)系統(tǒng)包含寬、窄兩個阱,其中能級|1〉為導(dǎo)帶中的束縛態(tài),而對應(yīng)各阱,|2〉和|3〉分別為價帶中的空穴定域態(tài)[6].在此固態(tài)系統(tǒng)中,通過對密度算符與電極化率的分析,可以在系統(tǒng)環(huán)境中參數(shù)γ13,γ12(γ13)和γ12(γ13)確定的情況下, 調(diào)節(jié)載頻失諧量Δ(γ13),進(jìn)而控制系統(tǒng)動力學(xué)方程組(1)中的GVD參量和非線性調(diào)制系數(shù),使之對應(yīng)EIT系統(tǒng)中暗孤子形成的負(fù)約束,其中γ13=(γ1+γ3)/2,γ1和γ3分別為能級|1〉和|3〉的衰變率.

圖1給出了固態(tài)環(huán)境系統(tǒng)動力學(xué)傳輸?shù)钠谱V,對應(yīng)EIT非線性特征.對此,把試探解(5)代入作用量原理,使用變量代換及單位換算等動力學(xué)分析技術(shù)[19?23],將計算所得時域作用量再代入通過變分計算所得的方程如下:

理論討論中所采用的分析技術(shù)從本質(zhì)上并不影響問題所表現(xiàn)的基本物理規(guī)律.在方程組(7)中,第一個方程表征了同態(tài)暗孤子的時空變化特性,第二個方程表征了固態(tài)系統(tǒng)的耗散特性,而第三個方程則表征了固態(tài)系統(tǒng)中同態(tài)暗孤子的色散特性,該方程組共同約束固態(tài)耗散系統(tǒng)中的同態(tài)暗孤子動力學(xué)特征.由于耗散環(huán)境的影響,實際固態(tài)系統(tǒng)中的暗孤子呈現(xiàn)出不同于無耗情況的特性,圖2給出了對比結(jié)果.

在圖2中,上部分為固態(tài)無耗環(huán)境中的孤子時空特征,下部分為固態(tài)有耗環(huán)境中的孤子時空特征.通過圖2可以看到,由于固態(tài)系統(tǒng)耗散的影響,暗孤子在演化中會呈現(xiàn)強(qiáng)度不斷減弱且時寬不斷展開的特點.顯然,通過材料技術(shù)對于固態(tài)系統(tǒng)中耗散因素進(jìn)行適度調(diào)節(jié),可以對暗孤子的作用形態(tài)形成有效控制.

圖1 固態(tài)環(huán)境系統(tǒng)動力學(xué)傳輸特征的偏移譜Fig.1.Spectrum of dynamic transmission deviation in solid environment.

圖2 無耗和有耗環(huán)境中的暗孤子Fig.2.Dark solitons in the perfect and dissipative environment.

在上面動力學(xué)特征分析的基礎(chǔ)上,若定義M=αD=α(t1?t2),則可進(jìn)一步得到表征固態(tài)耗散環(huán)境中同態(tài)孤子對相干束縛態(tài)的約束關(guān)系:

其中,

由于形式復(fù)雜,該方程的直接求解較為困難.但是,通過分析可以發(fā)現(xiàn),函數(shù)V(M)在自變量較小(|M|＜0.3)時,具有較好的線性特征,其函數(shù)特性如圖3所示.

在此基礎(chǔ)上,可以對方程(8)在函數(shù)值較小的取值范圍內(nèi)進(jìn)行近似求解.方程中的參量取Γc=0.02.該方程為類Bessel方程[23],通過分析,進(jìn)一步可得到同態(tài)暗孤子對時距具有如下形式的解析解:

其中,J0(?)和Y0(?)分別為0階Bessel函數(shù)和0階修正的Bessel函數(shù);P1,P2和P3為待定系數(shù).在此基礎(chǔ)上,設(shè)同態(tài)暗孤子對的初始時距為0.3,于是可以在函數(shù)值較小的取值范圍內(nèi)對上面參量進(jìn)行計算,所得同態(tài)暗孤子對的時空軌跡及適用范圍如圖4所示.

圖3 V(M)的函數(shù)特性Fig.3.Function of V(M).

圖4 同態(tài)暗孤子時空作用特征Fig.4.Space-time characteristics of solitons under co-sate.

圖4中不同顏色范圍表示了不同近似適用區(qū)域(中間淺色區(qū)域:|M|＜0.3;較深色區(qū)域:0.6＜|M|＜0.3),圖中不同曲線表示了相同耗散且不同耦合強(qiáng)度下的同態(tài)暗孤子對所形成的時空束縛軌跡(虛線表示耦合較小,取0.5;實線表示耦合較大,取1).由圖4可以看到,同態(tài)暗孤子對時空束縛結(jié)果處于動力學(xué)約束方程(8)的有效適用區(qū)域內(nèi).通過動力學(xué)分析可知,暗孤子態(tài)會由于固體系統(tǒng)中的耗散與相干耦合,形成暗孤子對的時空束縛,并受空間耗散的影響而逐漸減弱.對此,固態(tài)材料系統(tǒng)中,耗散和相干耦合之間平衡的調(diào)節(jié)為實現(xiàn)對暗孤子間時空束縛進(jìn)行有效的控制提供了途徑.

4 結(jié) 論

本文從電磁控制角度,對半導(dǎo)體固態(tài)系統(tǒng)中耗散環(huán)境以及同態(tài)相干耦合對暗孤子的影響作用進(jìn)行了變分研究.通過動力學(xué)分析可以看到,對于固態(tài)材料系統(tǒng)中耗散以及相干耦合的準(zhǔn)確調(diào)節(jié)將有利于電磁暗孤子演化的精密控制.

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