彭艷玲 薛文瑞? 衛(wèi)壯志 李昌勇

1)(山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院,太原 030006)

2)(山西大學(xué)激光光譜研究所,量子光學(xué)與光量子器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006)

1 引 言

石墨烯具有獨(dú)特的光電性質(zhì),如極高的電子遷移率[1]和超快的載流子運(yùn)動(dòng)[2]等.石墨烯的這些特性在變換光學(xué)[3]、飽和吸收器[4]、表面等離子體領(lǐng)域[5]、化學(xué)和生物傳感領(lǐng)域[6?8]等有著廣泛的應(yīng)用.

與傳統(tǒng)的貴金屬相比,石墨烯表面等離子體(graphene surface plasmons,GSPs)具有模式束縛性強(qiáng)、傳播損耗低、可調(diào)性強(qiáng)等特點(diǎn)[9].為了利用GSPs的這些特性,人們提出了多種多樣的基于石墨烯的波導(dǎo)結(jié)構(gòu),例如石墨烯納米帶波導(dǎo)[10]、石墨烯納米帶平行板波導(dǎo)[11]、介質(zhì)負(fù)載的石墨烯波導(dǎo)[12]、石墨烯楔形和槽形波導(dǎo)[13]、石墨烯錐形波導(dǎo)[14]、涂覆石墨烯的納米線波導(dǎo)[15]、附帶基底的石墨烯納米線波導(dǎo)[16]等.

目前,涂覆石墨烯的電介質(zhì)納米線波導(dǎo)結(jié)構(gòu)是一個(gè)研究熱點(diǎn).2014年,Gao等[17]用解析法和數(shù)值模擬法研究了涂覆單層石墨烯的單根電介質(zhì)納米線,結(jié)果表明其模式具有方位角對(duì)稱性并且在電磁場(chǎng)分布中可用相位因子表征模式的階數(shù).2015年,Yang等[18]采用解析法和有限元法( finite element method,FEM)研究了涂覆雙層石墨烯的單根電介質(zhì)納米線,結(jié)果表明通過(guò)改變石墨烯的費(fèi)米能、兩石墨烯片間的間距以及納米線的半徑可調(diào)節(jié)模式特性.2016年,Liu等[19]采用耦合模式微擾理論研究了涂覆單層石墨烯的雙納米線對(duì)稱結(jié)構(gòu),結(jié)果表明對(duì)稱耦合模式和反對(duì)稱耦合模式源自兩相同的單根波導(dǎo)的模式耦合.2017年,Jiang等[20]運(yùn)用變換光學(xué)理論研究了兩個(gè)石墨烯包覆的電介質(zhì)納米線間的等離子體相互作用.迄今,對(duì)于涂覆石墨烯的非對(duì)稱并行電介質(zhì)納米線波導(dǎo)的模式特性的研究尚未見(jiàn)報(bào)道.

本文擬采用多級(jí)展開(kāi)方法對(duì)涂覆石墨烯的非對(duì)稱并行電介質(zhì)納米線中低階的七種模式進(jìn)行分析,對(duì)每種模式的有效折射率和傳播長(zhǎng)度與工作頻率、幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)、石墨烯費(fèi)米能之間的關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)的研究,并采用FEM對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證.

2 結(jié)構(gòu)模型

本文研究的非對(duì)稱波導(dǎo)結(jié)構(gòu)如圖1所示,它是由并行的涂覆了單層石墨烯的半徑不同的兩根電介質(zhì)納米線構(gòu)成的.左側(cè)的納米線標(biāo)記為1號(hào)納米線,半徑為ρ1,右側(cè)的納米線標(biāo)記為2號(hào)納米線,半徑為ρ2.兩根電介質(zhì)納米線的相對(duì)介電常數(shù)均為ε1,間距為d,整個(gè)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)嵌入在相對(duì)介電常數(shù)為ε2的背景媒質(zhì)中.由Kubo公式可知,當(dāng)溫度T為300 K并且載流子散射率Γ為2×1012rad/s時(shí),石墨烯的面電導(dǎo)率σg主要由工作頻率f和費(fèi)米能EF決定[18].

圖1 涂覆石墨烯的非對(duì)稱并行電介質(zhì)納米線的橫截面示意圖Fig.1.Cross sectional sketch of graphene-coated asymmetric parallel dielectric nanowires.

3 理論模型

以兩根電介質(zhì)納米線的軸心為原點(diǎn),分別建立極坐標(biāo)系(r1,?1)和(r2,?2),如圖1中所示. 假設(shè)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中的模式在z方向上傳播,則GSPs模式的電磁場(chǎng)分量均可表示為F(r,?)exp[i(βz?ωt)],其中F代表電場(chǎng)或者磁場(chǎng)在橫截面上的分布,β為模式的縱向傳播常數(shù),ω為工作圓頻率.在每根電介質(zhì)納米線中,縱向電磁場(chǎng)分量都滿足Helmholtz方程.假設(shè)在各個(gè)區(qū)域中,縱向電磁場(chǎng)表示為(1)—(4)式:

在r1＜ρ1區(qū)域

在r2＜ρ2區(qū)域

在r2＞ρ2區(qū)域

這里,In和Kn為修正貝塞爾函數(shù);An,Bn,Cn,Dn,En,Fn,Gn,Hn為待定系數(shù),

以sin模為例,對(duì)推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)闡述.

根據(jù)Bessel函數(shù)的加法定理[21,22],可將電介質(zhì)納米線外的電磁場(chǎng)在兩個(gè)坐標(biāo)系中變換,表示為

其中,fmn=Kn+m(λ2a)+Kn?m(λ2a),gmn=Kn+m(λ2a)? Kn?m(λ2a),a=d+ ρ1+ ρ2. 依據(jù)Maxwell方程組,就可由縱向電磁場(chǎng)分量得到電磁場(chǎng)的其他場(chǎng)分量.在實(shí)際的計(jì)算中,需要將(1)—(8)式中的無(wú)限項(xiàng)求和截?cái)酁镸項(xiàng)求和.

將石墨烯看作厚度可以忽略的導(dǎo)體邊界,利用電磁場(chǎng)在這一邊界處的切向邊界條件,

其中i=1,2,分別代表1號(hào)納米線和2號(hào)納米線,可以建立一個(gè)齊次線性代數(shù)方程組:

其中[A]為系數(shù)矩陣,[x]為(1)—(4)式中的待定系數(shù)組成的一個(gè)列矢量.假設(shè)M為(5)—(8)式及其他場(chǎng)分量中n和m的上限值,也就是說(shuō),把無(wú)窮項(xiàng)求和截?cái)酁镸項(xiàng)求和,則[A]為一個(gè)方陣,且這個(gè)方陣由8×8個(gè)子方陣a(i,j)組成.每個(gè)子方陣a(i,j)中包含M×M個(gè)矩陣元am,n(i,j),它們的表達(dá)式見(jiàn)附錄A.根據(jù)線性代數(shù)理論,齊次線性代數(shù)方程組(10)有解的充分必要條件是該方陣的行列式Δ=0,即

通過(guò)求解方程(11),就可以得到模式的色散關(guān)系,并通過(guò)方程(10)得到對(duì)應(yīng)的模式的場(chǎng)分布.

4 結(jié)果與討論

涂覆石墨烯的非對(duì)稱并行電介質(zhì)納米線波導(dǎo)中的GSPs模式非常豐富,本文對(duì)低階的七種GSPs模式進(jìn)行研究,依次命名為mode 0,mode 1,···,mode 6.

圖2 在ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV條件下,七種GSPs模式的場(chǎng)分布(左列為縱向電場(chǎng)分布圖,右列為電場(chǎng)強(qiáng)度分布圖)Fig.2.The field distributions of seven GSPs modes with ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz and EF=0.5 eV.The left column is the longitudinal electric field distribution,and the right column is the electric field intensity distribution.

在ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV的條件下,圖2描繪了低階的七種GSPs模式的縱向電場(chǎng)分布和電場(chǎng)強(qiáng)度分布.觀察圖2可知,電磁場(chǎng)主要集中于兩根納米線之間的縫隙區(qū)域或者半徑較大的納米線表面.根據(jù)(1)—(4)式中的因子cos(n?)和sin(n?),可把這七種模式分為兩類.一類是cos型,即兩根納米線上縱向電場(chǎng)的最值位于水平方向,如圖2中的mode 0,mode 2,mode 4,mode 6;另外一類為sin型,即兩根納米線上縱向電場(chǎng)的零值位于水平方向,如圖2中的mode 1,mode 3和mode 5.與涂覆石墨烯的單根電介質(zhì)納米線[17]比較可以發(fā)現(xiàn),這里的mode 0是前者的零階模之間相互吸引形成的cos型模式.這里的mode 1和mode 2分別是前者的一階模之間相互吸引形成的sin型模式和cos型模式.這里的mode 3和mode 4分別是前者的一階模與二階模相互吸引形成的sin型模式和cos型模式.這里的mode 5和mode 6分別是前者的一階模和三階模相互吸引形成的sin型模式和cos型模式.可以發(fā)現(xiàn),在這七種模式中,與文獻(xiàn)[23]中的模式不同的是電磁場(chǎng)分布在半徑較大的納米線表面所占的比例有較大幅度的增加.如果以文獻(xiàn)[17]中的模式分類方法來(lái)觀察,小半徑納米線上的模式的階數(shù)小于大半徑納米線上的模式的階數(shù).

圖3 在ρ1=100 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV條件下,當(dāng)ρ2的取值依次為120,150,200 nm時(shí),(a)–(c)mode 1和(d)–(f)mode 3的Ez場(chǎng)分布演化Fig.3.Ez field distribution evolution diagrams of(a)–(c)mode 1 and(d)–(f)mode 3 when the values of ρ2are 120,150 and 200 nm,respectively. ρ1=100 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz,and EF=0.5 eV.

在ρ1=100 nm,d=10 nm, ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV的條件下,當(dāng)ρ2分別取120,150和200 nm時(shí),圖3給出了在非對(duì)稱結(jié)構(gòu)中,mode 1和mode 3的Ez場(chǎng)分布.觀察圖3可以看出,隨著2號(hào)納米線半徑的不斷增大,mode 1的縱向電場(chǎng)分布相似,場(chǎng)的變化很小,僅場(chǎng)的分布范圍發(fā)生了變化.mode 3的Ez場(chǎng)分布則變化劇烈.當(dāng)2號(hào)納米線的半徑為120 nm時(shí),這時(shí)的場(chǎng)分布顯示,在縫隙區(qū)域出現(xiàn)了一對(duì)強(qiáng)度非常微弱的節(jié)點(diǎn)[17],如圖3(d).這個(gè)GSPs模式是由文獻(xiàn)[17]中一階模和二階模相互吸引形成的sin型模式,即本文中的mode 3.當(dāng)2號(hào)納米線的半徑進(jìn)一步增大為150 nm時(shí),在縫隙區(qū)域附近的電場(chǎng)增強(qiáng),新增節(jié)點(diǎn)增加明顯.當(dāng)半徑增大為200 nm時(shí),由于新增節(jié)點(diǎn)處的場(chǎng)繼續(xù)增強(qiáng),使得兩納米線上電場(chǎng)間的相互吸引作用增強(qiáng),導(dǎo)致1號(hào)納米線上的場(chǎng)向縫隙區(qū)域靠攏,如圖3(f)所示.在計(jì)算中還發(fā)現(xiàn),對(duì)于這種非對(duì)稱結(jié)構(gòu),低階模式的構(gòu)成是隨兩根納米線的尺寸而變化的,并不是文獻(xiàn)[23]中兩種零階模之間和四種一階模之間的簡(jiǎn)單耦合.

圖4(a)給出了該結(jié)構(gòu)支持的GSPs模式的有效折射率Re(neff)和傳播長(zhǎng)度Lprop隨頻率的變化關(guān)系.這里有效折射率定義為Re(neff)= Re(β)c/(2πf),傳播長(zhǎng)度定義為L(zhǎng)prop=c/(4πfIm(neff)),其中c為真空中的光速,f為工作頻率.從圖4可以看出,在f從10 THz增大到50 THz的過(guò)程中,除了mode 0以外,其他模式都出現(xiàn)了截止頻率.并且sin型模式(mode 1,3和5)在截止頻率處的有效折射率趨于零.這表明隨著頻率的增大,有更多的模式出現(xiàn),且所有模式的有效折射率單調(diào)增大.圖4(b)所示為各個(gè)模式的傳播長(zhǎng)度隨頻率的變化.當(dāng)頻率較大時(shí),各模式的束縛性較強(qiáng).這就使得吸收損耗較大,導(dǎo)致傳播長(zhǎng)度變小.sin型模式的傳播長(zhǎng)度在截止頻率附近迅速減小,并且隨著頻率的增大呈現(xiàn)出先迅速增大,達(dá)到峰值后緩慢減小的趨勢(shì);而cos型模式的傳播長(zhǎng)度則隨著頻率的增大單調(diào)減小.從圖4可以看出,若頻率繼續(xù)減小,很有可能實(shí)現(xiàn)單模傳輸,并且mode 0的傳播長(zhǎng)度隨著頻率的減小而進(jìn)一步增大.此外,在相同的參數(shù)設(shè)置下,利用FEM對(duì)以上研究結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.圖4中的點(diǎn)是FEM的數(shù)值結(jié)果,它們與多極方法計(jì)算的結(jié)果非常符合.

兩根納米線間的間距d對(duì)GSPs模式特性有一定的影響.圖5展示了在d從5 nm增大到40 nm的過(guò)程中,各個(gè)模式的有效折射率和傳播長(zhǎng)度的變化情況.mode 0的模式特性變化最劇烈.隨著間距的增大,mode 0的有效折射率單調(diào)減小,這就意味著模式的束縛性下降,傳播損耗減小,從而傳播長(zhǎng)度不斷增大.這是因?yàn)楫?dāng)間距為5 nm時(shí),與納米線的直徑相比,耦合距離非常小,兩納米線上電磁場(chǎng)間的相互吸引作用非常強(qiáng),從而導(dǎo)致表面等離子模式的束縛性非常強(qiáng),傳播損耗較大,傳播長(zhǎng)度很小;當(dāng)間距變大時(shí),兩納米線上電磁場(chǎng)間的相互吸引作用相對(duì)減小,因而束縛性也相對(duì)變?nèi)?傳播長(zhǎng)度增大.mode 1的有效折射率變化較小,而傳播長(zhǎng)度變化較大.對(duì)于其他模式而言,不論是有效折射率還是傳播長(zhǎng)度,它們的變化都非常微弱.當(dāng)d＞25 nm時(shí),mode 0的傳播長(zhǎng)度是七種模式中最大的.

圖6描述了各個(gè)模式的有效折射率和傳播長(zhǎng)度隨納米線半徑ρ2變化的關(guān)系.從圖6可知,在ρ2從100 nm增大到300 nm的過(guò)程中,該結(jié)構(gòu)支持的GSPs模式在逐漸增多,而各個(gè)模式對(duì)應(yīng)的有效折射率和傳播長(zhǎng)度的變化并不大.這說(shuō)明,其中一根電介質(zhì)納米線的半徑增大時(shí),對(duì)該結(jié)構(gòu)支持的GSPs模式數(shù)有較大的影響,對(duì)于各個(gè)模式的有效折射率和傳播長(zhǎng)度的影響比較小.隨著半徑的增大,除mode 0和mode 1外,大部分模式的有效折射率和傳播長(zhǎng)度緩慢地增大.這就表明本文提出的這種非對(duì)稱的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)可在一定程度上有效地減小因?qū)嶋H制作造成的誤差對(duì)模式特性的影響.當(dāng)2號(hào)納米線的半徑較大時(shí),對(duì)于mode 0和mode 1,與FEM結(jié)果相比,有效折射率和傳播長(zhǎng)度的計(jì)算結(jié)果存在一定的誤差.

圖5 在ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV的條件下,(a)有效折射率、(b)傳播長(zhǎng)度與間距d之間的關(guān)系Fig.5.The dependence of(a)the effective refractive index and(b)the propagation length on the spacing d when ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz and EF=0.5 eV.

圖6(a)有效折射率、(b)傳播長(zhǎng)度與半徑ρ2之間的關(guān)系(ρ1=100 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz,EF=0.5 eV)Fig.6.(a)The effective refractive index and(b)the propagation length versus the radius ρ2when ρ1=100 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz,EF=0.5 eV.

圖7 當(dāng)ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz時(shí),(a)有效折射率、(b)傳播長(zhǎng)度與費(fèi)米能EF之間的關(guān)系Fig.7.The values of(a)effective refractive index and(b)the propagation length as functions of Fermi energy EFwith ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz.

利用石墨烯獨(dú)特的物理性質(zhì),能夠?qū)SPs模式的特性實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)調(diào)整.圖7給出了石墨烯費(fèi)米能對(duì)模式的有效折射率和傳播長(zhǎng)度的影響.從圖7可以看出:在費(fèi)米能從0.3 eV增大為0.7 eV的過(guò)程中,各個(gè)模式的有效折射率和傳播長(zhǎng)度變化劇烈;并且各模式的有效折射率單調(diào)減小,傳播長(zhǎng)度單調(diào)增大.這就表明,可通過(guò)改變施加在石墨烯上的偏置電壓,達(dá)到控制費(fèi)米能的目的,從而便捷、有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)該波導(dǎo)中模式特性的大范圍調(diào)控.

5 結(jié) 論

本文采用多級(jí)展開(kāi)法對(duì)一種涂覆石墨烯的非對(duì)稱并行電介質(zhì)納米線波導(dǎo)的模式特性進(jìn)行了分析研究.通過(guò)對(duì)低階的七種GSPs模式的有效折射率和傳播長(zhǎng)度的研究,可得到如下結(jié)論:1)當(dāng)工作頻率從10 THz增大為50 THz時(shí),該結(jié)構(gòu)中GSPs模式種類增多,且各模式的有效折射率單調(diào)增大;并且隨著頻率的增大,cos型模式的傳播長(zhǎng)度單調(diào)減小,sin型模式的傳播長(zhǎng)度均表現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì);2)隨著兩根電介質(zhì)納米線間的距離不斷增大,mode 0模式和mode 1模式的模式特性變化劇烈,而其他模式的有效折射率和傳播長(zhǎng)度的變化非常小;當(dāng)間距大于25 nm時(shí),mode 0的傳播長(zhǎng)度最長(zhǎng);3)隨著其中一根電介質(zhì)納米線半徑逐漸增大,在所計(jì)算的范圍內(nèi),模式數(shù)目會(huì)不斷增多,而各個(gè)模式的有效折射率和傳播長(zhǎng)度受到的影響均較小;4)在石墨烯的費(fèi)米能從0.3 eV增大為0.7 eV的過(guò)程中,各模式的有效折射率和傳播長(zhǎng)度的變化均很大;并且各模式的有效折射率單調(diào)減小,而傳播長(zhǎng)度在不斷增大.所得結(jié)果均得到了FEM數(shù)值結(jié)果的驗(yàn)證.本文工作可以為涂覆石墨烯的非對(duì)稱并行電介質(zhì)納米線的設(shè)計(jì)、制作和應(yīng)用提供理論基礎(chǔ).

附錄A 矩陣元am,n(i,j)的表達(dá)式

方程(11)中的每個(gè)子方陣a(i,j)中包含M×M個(gè)矩陣元am,n(i,j),其中不全為零的矩陣元如下:

其中,In和Kn為修正貝塞爾函數(shù),

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