廖慶洪 葉楊 李紅珍 周南潤

1)(南昌大學電子信息工程系,南昌 330031)

2)(清華大學,低維量子物理國家重點實驗室,北京 100084)

3)(西安交通大學應用物理系,西安 710049)

1 引 言

隨著納米技術的不斷進步,機械振子的尺寸已經(jīng)可以做到微米甚至納米量級.納米機械振子有著較高的振動頻率和品質(zhì)因子、極小的質(zhì)量以及較低的耗散,在高精度位移測量、力測量、質(zhì)量測量和精確的量子計算等方面有著重要的應用[1?4].此外,機械振子可以用來研究宏觀系統(tǒng)的量子特性,比如宏觀量子疊加態(tài)、量子糾纏態(tài)、以及用于量子信息處理等.要讓納米機械振子在如此廣泛的應用中都發(fā)揮作用,人們希望能更加方便地操控其狀態(tài).因此,如何把機械振子與一個兩能級系統(tǒng)耦合起來,實現(xiàn)強耦合就很值得研究[5].另一方面,在固態(tài)系統(tǒng)中,金剛石氮空位中心(NV色心)在室溫下具有毫秒量級的長相干時間,也很容易被微波操控,并被激光高效率地讀出其狀態(tài),是實現(xiàn)量子計算的優(yōu)良載體,被認為有望實現(xiàn)室溫下的量子計算和高靈敏度量子測量以及在量子信息處理、納米尺度空間中的磁場與電場、溫度的靈敏探測等相關領域具有巨大的應用價值[6].把金剛石氮空位中心與納米機械振子耦合起來,用于精密測量,量子信息處理等成為了一個熱門的研究題目[5].利用梯度磁場誘導的金剛石NV色心與微納米機械振子運動之間的耦合,實現(xiàn)了百納米尺度的金剛石質(zhì)心振動與其中的色心電子自旋之間的強耦合,并且制備了金剛石NV色心的薛定諤貓態(tài)和實現(xiàn)雙縫物質(zhì)波干涉[7].文獻[8]提出了基于金剛石NV色心與機械振子的耦合,利用動力學解耦技術實現(xiàn)超靈敏質(zhì)量探測方案.基于Stark效應的高靈敏度電場探測[9],基于NV色心的光檢測磁共振譜峰值隨著溫度的變化而變化,可實現(xiàn)納米尺度的高靈敏度溫度探測[10],NV色心與外部機械振子以及所在的金剛石機械振子耦合分別可以實現(xiàn)髙靈敏度的機械振子運動[11]以及金剛石內(nèi)部的應力等[12]物理量探測.Li等[13]理論上提出了利用通電的碳納米管機械振子和單個NV色心自旋耦合的混合型量子器件,實現(xiàn)了NV色心單自旋體系與納米機械振子強耦合機制及相干操控.文獻[14]研究了借助兩能級發(fā)射器由真空漲落引起的能級移動探索振動石墨烯機械振子位移在量子水平的壓縮和測量方案.文獻[15,16]研究了超導量子比特耦合NV色心系綜系統(tǒng)中的量子態(tài)的傳輸和存儲以及存在內(nèi)相互作用的多體開放量子系統(tǒng)中的糾纏動力學特性.

本文研究金剛石NV色心同時耦合腔場和機械振子系統(tǒng)中機械振子的方差壓縮,主要討論金剛石NV色心初態(tài)和NV色心與機械振子耦合強度對聲子場方差壓縮的影響.結果發(fā)現(xiàn):控制和操縱系統(tǒng)參數(shù)可以制備壓縮時間長、壓縮幅度大的聲子場壓縮態(tài),并且通過調(diào)控NV色心初態(tài)以及磁場梯度可以實現(xiàn)對機械振子方差壓縮非經(jīng)典特性的操控.

2 物理模型及其基本方程

本文研究光懸浮的納米金剛石(內(nèi)含單個NV色心)系統(tǒng)[7],物理模型如圖1所示,納米金剛石囚禁在諧振勢中,囚禁納米金剛石振動頻率為ωm,質(zhì)量為m,納米金剛石質(zhì)心運動哈密頓量可以描述為若外加磁場具有梯度,則導致金剛石NV色心與納米金剛石質(zhì)心運動的耦合,耦合哈密頓量為考慮金剛石NV色心和腔場相互作用,其相互作用哈密頓量為同時金剛石NV色心由外加激光場驅動,則系統(tǒng)的哈密頓量為

其中,ω為腔場頻率,ω0為金剛石NV色心躍遷頻率,ωc為經(jīng)典驅動場頻率;g為金剛石NV色心與腔場的耦合系數(shù);λ為NV色心與經(jīng)典驅動場的耦合系數(shù);G=gsμBGma0/?為NV色心與機械振子的耦合系數(shù);Gm為磁場梯度;b+和b分別為腔場的產(chǎn)生和湮滅算符;|0〉和|1〉構成量子比特,分別對應σz=?1和σz=+1的本征矢[8],令|0〉=|g〉,|1〉=|e〉,則σ+=|e〉〈g|和σ?=|g〉〈e|分別為金剛石NV色心的上升和下降算符.

圖1 金剛石NV色心耦合腔場和機械振子模型示意圖Fig.1.Schematic diagram of nitrogen-vacancy center in diamond coupled to cavity field and mechanical resonator.

因為幺正變換不會改變系統(tǒng)的本征值,引入一個幺正變換U1=exp(?iωcσzt/2),將(1)式的哈密頓量變換到旋轉坐標表象中,則

其中

式中Δ=ω0?ωc為金剛石NV色心躍遷頻率與NV色心驅動場頻率的失諧量.

由綴飾態(tài)基|+〉,|?〉和|e〉,|g〉之間的關系可得

則系統(tǒng)在綴飾態(tài)表象下的哈密頓量為

引入幺正操作U2=exp(iωcSzt/2),系統(tǒng)哈密頓量(8)式變?yōu)?/p>

其中

本文主要研究NV色心與機械振子、腔場之間的相互作用,則考慮系統(tǒng)哈密頓量的相互作用部分,在相互作用繪景下,令U4=exp(?iH(0)4t),可得系統(tǒng)相互作用繪景下的哈密頓量為

其中Δ1=?+ωc? ω,Δ2=? ? ωm.考慮特殊情況Δ1=0,Δ2=0,金剛石NV色心初始處于cosθ1|+〉+sinθ1|?〉,機械振子處于基態(tài)|0m〉,腔場處于單光子態(tài)|1f〉,則系統(tǒng)初態(tài)為

在哈密頓量(12)式作用下,系統(tǒng)任意時刻的態(tài)矢量為

求解薛定諤方程,可得

金剛石機械振子的振動模式可以處理成聲子振動模,研究聲子場的壓縮,引入正交算符

根據(jù)方差的定義

其中

由任意時刻態(tài)矢量(14)式,可以得到金剛石機械振子的約化密度矩陣為

其中

所以

當聲子場處于壓縮態(tài)時,其中一個正交算符的量子漲落小于1/2,減小了聲子場某一部分的量子起伏,使測量的精確度提高,由此壓縮態(tài)在精密測量、引力波探測、光通信、量子信息處理等方面具有重要應用.

為了更好地闡明金剛石機械振子方差壓縮的物理機制和原因,給出機械振子的相干性的定義和計算表達式為[19,20]

由(19)和(27)式可得機械振子的相干性為

利用以上結果討論金剛石NV色心初態(tài)和NV色心與機械振子耦合強度對聲子場方差壓縮影響.

3 結果與討論

圖2展示了聲子場方差壓縮因子ΔX2和相干性隨時間的動力學演化特性,圖中實線和虛線分別對應聲子場方差壓縮因子ΔX2和相干性演化規(guī)律,其中金剛石NV色心和腔場耦合系數(shù)g=1,θ1=π/3,金剛石NV色心和機械振子耦合強度G=0.1,機械振子相干性整體向上平移了0.3數(shù)值,由圖2可以看出,聲子場方差壓縮因子ΔX2和相干性隨時間的演化呈現(xiàn)振蕩行為,t=0初始時刻,聲子場方差壓縮因子ΔX2為0.5,機械振子相干性為零,不存在壓縮,隨著金剛石NV色心和機械振子以及腔場的相互作用進行,金剛石NV色心和機械振子以及腔場之間信息和能量不斷地交換和轉移,聲子場方差壓縮因子ΔX2小于0.5,聲子場出現(xiàn)壓縮,此時相干性C大于零呈現(xiàn)相干性,機械振子出現(xiàn)非經(jīng)典性,當相互作用演化到t≈24時,聲子場方差壓縮因子ΔX2呈現(xiàn)最大壓縮振幅,此時出現(xiàn)最大方差壓縮,其物理機制為此時機械振子約化密度矩陣具有最大相干性(由圖2中虛線可知),機械振子非經(jīng)典性越強,方差壓縮越大.

圖2 聲子場方差壓縮因子ΔX2和相干性隨時間的演化(參數(shù)g=1,θ1= π/3,G=0.1)Fig.2.The time evolution of the quadrature squeezing of the phonon field ΔX2and coherence.The parameters are g=1,θ1= π/3,G=0.1.

圖3給出了聲子場方差壓縮因子ΔX1和ΔX2隨時間的演化規(guī)律,圖3(a)和圖3(b)分別對應聲子場方差壓縮因子ΔX1和ΔX2的演化特性,其中參數(shù)g=1,θ1=0,G=0.1.由(15)式可知當θ1=0導致M2(t)=M5(t)=M6(t)=0,從而N1=N2=0,此時由(26)式可以看到聲子場方差壓縮因子ΔX1和ΔX2隨時間具有相同的演化規(guī)律.由圖3(a)和圖3(b)中可以看出,聲子場方差壓縮因子ΔX1和ΔX2隨時間演化取值都大于等于0.5,即聲子場在正交算符X1和X2方向上都不存在方差壓縮,不存在非經(jīng)典性,主要原因為此時機械振子約化密度矩陣不存在相干性,機械振子處于混態(tài)ρm=ρ00|0〉〈0|+ρ11|1〉〈1|+ρ22|2〉〈2|,此時機械振子不存在非經(jīng)典特性,X1和X2方向不存在方差壓縮.

由于可以通過控制外加經(jīng)典場實現(xiàn)金剛石NV色心初始態(tài)的調(diào)控,圖4給出了聲子場方差壓縮因子ΔX2隨時間的演化動力學特性,圖中實線和虛線分別對應金剛石NV色心不同的初態(tài)θ1=π/3和θ1=π/3.5,其他參數(shù)與圖2相同.由圖中實線可知,聲子場方差壓縮因子ΔX2初始時不存在方差壓縮,隨著金剛石NV色心和機械振子以及腔場的相互作用進行,聲子場方差壓縮因子ΔX2小于0.5,聲子場出現(xiàn)壓縮,由圖4中插圖可知當相互作用演化到t≈24時,此時出現(xiàn)最大方差壓縮,對比圖3中實現(xiàn)和虛線可以看到,隨著θ1的減小,聲子場方差壓縮越來越小,壓縮時間越來越短,由此結論通過調(diào)控金剛石NV色心初態(tài),可以制備壓縮時間長,壓縮幅度大的聲子場壓縮態(tài),實現(xiàn)對機械振子方差壓縮非經(jīng)典特性的操控,理論上提供了一種調(diào)控聲子場方差壓縮的方式.

圖3 聲子場方差壓縮因子ΔX1和ΔX2隨時間的演化(參數(shù)g=1,θ1=0,G=0.1)Fig.3.The time evolution of the quadrature squeezing of the phonon field ΔX1and ΔX2.The parameters are g=1,θ1=0,G=0.1.

為了探討金剛石NV色心與機械振子耦合強度對系統(tǒng)聲子場方差壓縮的影響,圖5給出了金剛石NV色心與機械振子耦合強度取不同值時聲子場方差壓縮因子ΔX2隨時間的演化行為,圖中實線和虛線分別對應金剛石NV色心與機械振子耦合強度G=0.05和G=0.1,其他參數(shù)與圖2相同.由圖5可以看到,金剛石NV色心與機械振子耦合強度影響聲子場方差壓縮因子ΔX2的振蕩幅度以及壓縮大小.對比插圖中的實線和虛線可知,金剛石NV色心與機械振子耦合強度越大,正交算符X2上漲落振蕩的幅度越大,聲子場方差壓縮幅度越大,機械振子方差壓縮非經(jīng)典特性越強.由金剛石NV色心與機械振子的耦合系數(shù)表達式G=gsμBGma0/?可知,實驗上可以通過調(diào)控磁場梯度Gm實現(xiàn)金剛石NV色心與機械振子耦合強度的控制,從而實現(xiàn)對機械振子方差壓縮非經(jīng)典特性的操控.

圖4 聲子場方差壓縮因子ΔX2隨時間的演化(實線和虛線分別對應θ1=π/3和θ1=π/3.5,其他參數(shù)與圖2相同)Fig.4.The time evolution of the quadrature squeezing of the phonon field ΔX2.The solid line and the dashed line correspond to θ1= π/3, θ1= π/3.5,respectively.The other parameters are the same as Fig.2.

考慮耗散對系統(tǒng)聲子場方差壓縮的影響,系統(tǒng)的主方程為

κ和γ分別為腔場衰減率和NV色心自發(fā)輻射衰減率.通過數(shù)值求解主方程,圖6給出了系統(tǒng)存在腔場衰減和NV色心的自發(fā)輻射對機械振子方差壓縮的影響,圖中實線、虛線和點虛線分別對應參數(shù)κ=γ=0,κ=γ=0.001和κ=γ=0.005.對比插圖中的實線和虛線可以看到:考慮系統(tǒng)的腔場衰減和NV色心自發(fā)輻射耗散時,由于存在能量耗散過程,聲子場方差壓縮幅度越來越小,壓縮時間越來越短,機械振子方差壓縮非經(jīng)典特性越來越弱;隨著耗散強度的繼續(xù)增大,由插圖中的點虛線(對應參數(shù)κ=γ=0.005)發(fā)現(xiàn),聲子場方差壓縮效應消失,耗散破壞了壓縮效應.

圖5 聲子場方差壓縮因子ΔX2隨時間的演化(實線和虛線分別對應G=0.05和G=0.1,其他參數(shù)與圖2相同)Fig.5.The time evolution of the quadrature squeezing of the phonon field ΔX2.The solid line and the dashed line correspond to G=0.05,G=0.1,respectively.The other parameters are the same as Fig.2.

圖6 聲子場方差壓縮因子ΔX2隨時間的演化(實線、虛線和點虛線分別對應κ=γ=0,κ=γ=0.001和κ=γ=0.005,其他參數(shù)與圖2相同)Fig.6.The time evolution of the quadrature squeezing of the phonon field ΔX2.The solid line,dashed line and dotted-dashed line correspond to κ = γ =0,κ=γ=0.001 and κ=γ=0.005,respectively.The other parameters are the same as Fig.2.

這里簡單地給出該方案在實驗上實現(xiàn)的可行性.文獻[21,22]利用光鑷技術在液體中實現(xiàn)了內(nèi)含NV色心的納米金剛石的囚禁,Neukirch等[23]在實驗上實現(xiàn)了內(nèi)含NV色心的納米金剛石在自由空間中的光學囚禁,文獻[24]利用相似的技術實驗上也實現(xiàn)了納米粒子在真空中的囚禁以及質(zhì)心運動的探測.McCutcheon和Loncar[25]設計和分析了NV色心放在光子晶體微腔中心或腔表面位置均能實現(xiàn)NV色心與腔場的強耦合方案,隨后文獻[26]實驗上實現(xiàn)了單個NV色心與光子晶體諧振腔的確定性耦合.文獻[27]研究了兩能級發(fā)射器與腔場耦合強度是發(fā)射器與機械振子耦合強度的20倍時系統(tǒng)中量子關聯(lián)特性,同時在NV色心下面放置一個磁針,可以產(chǎn)生很強的梯度磁場[28],實現(xiàn)NV色心電子自旋與納米金剛石振動的耦合,控制磁場梯度可以很方便地實現(xiàn)金剛石NV色心與機械振子的耦合強度大小的操控.因此,本文研究的金剛石NV色心同時耦合腔場和機械振子系統(tǒng)中聲子場的方差壓縮系統(tǒng)具備實現(xiàn)的可行性.

4 結 論

本文充分利用金剛石NV色心在室溫下具有毫秒量級的長相干時間以及容易被微波操控等優(yōu)勢,研究了驅動金剛石NV色心同時耦合腔場和機械振子系統(tǒng)中聲子場的方差壓縮動力學特性,引入機械振子的相干性闡明了聲子場方差壓縮的物理機制,討論了金剛石NV色心初態(tài)和NV色心與機械振子耦合強度對聲子場方差壓縮的影響,結果發(fā)現(xiàn)控制和操縱系統(tǒng)參數(shù)可以制備壓縮時間長、壓縮幅度大的聲子場壓縮態(tài),并且通過調(diào)控NV色心初態(tài)以及磁場梯度可以實現(xiàn)對機械振子方差壓縮非經(jīng)典特性的操控,從而在理論上提供了一種調(diào)控聲子場方差壓縮的方式.本文的研究結果將在量子信息處理以及精密測量等研究領域具有重要的意義和應用前景.

感謝清華大學交叉信息研究院助理研究員尹璋琦博士在本文修改過程中提供的有益討論和幫助.

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