張秦榕 王彬彬 張孟龍 嚴(yán)冬2)?

1)(長(zhǎng)春大學(xué)理學(xué)院,材料設(shè)計(jì)與量子模擬實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)春 130022)

2)(東北師范大學(xué)量子科學(xué)中心,長(zhǎng)春 130117)

1 引 言

隨著激光冷卻和原子俘獲技術(shù)的成熟進(jìn)步,在20世紀(jì)末就引起廣泛興趣的里德伯原子研究再次復(fù)蘇,截至目前已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)研究和理論預(yù)言中取得了很大進(jìn)步.里德伯原子指的是最外層電子被激發(fā)到主量子數(shù)n?1的高激發(fā)態(tài)原子,這類原子半徑和電偶極矩大,壽命長(zhǎng),具有其他中性原子沒(méi)有的特性[1].里德伯原子對(duì)外界電、磁場(chǎng)異常敏感,利用這個(gè)特點(diǎn)很容易實(shí)現(xiàn)里德伯原子的操控.原子間長(zhǎng)程偶極-偶極相互作用使得里德伯原子成為量子信息應(yīng)用中重要的物理資源.特別是偶極-偶極作用引起的偶極阻塞效應(yīng)(dipole blockade effect),在量子信息處理中占有極其重要的作用[2?6].所謂偶極阻塞效應(yīng),是指偶極相互作用引起里德伯激發(fā)的能級(jí)移動(dòng),致使一定空間內(nèi)其他原子的共振光學(xué)躍遷被抑制的現(xiàn)象.利用這種效應(yīng),一方面可以使光子之間引起強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng),進(jìn)而產(chǎn)生可靠的單光子源[7,8]和設(shè)計(jì)單光子器件[9,10],而這些在現(xiàn)代量子信息處理中尤為重要;另一方面還可以制備量子糾纏態(tài),同樣,量子糾纏在量子信息和量子物理中也占有核心地位.

本文研究一種特定的少體里德伯原子系統(tǒng):四個(gè)二能級(jí)原子,最高能級(jí)為里德伯態(tài),空間位置排布為正四面體.因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)原子間距均相等,所以它們之間的偶極-偶極相互作用也都相等.研究這種簡(jiǎn)單且不失一般性的里德伯原子系統(tǒng)的性質(zhì),既允許我們拋開(kāi)近似手段進(jìn)行精確的數(shù)值計(jì)算,又可以在實(shí)驗(yàn)室中利用超冷的稀薄原子氣體來(lái)驗(yàn)證.本文主要討論四原子系統(tǒng)的原子激發(fā)與兩體糾纏的關(guān)系,不但考慮光場(chǎng)與原子躍遷共振的偶極阻塞機(jī)制,還把不同失諧條件下的反偶極阻塞機(jī)制的性質(zhì)作為研究的重點(diǎn),對(duì)比研究了穩(wěn)態(tài)、瞬態(tài)高階激發(fā)和共生糾纏的關(guān)系,分析得到實(shí)現(xiàn)較大糾纏的參數(shù)條件和可能的原子糾纏態(tài).

本文第二部分構(gòu)建了理論模型,給出系統(tǒng)的哈密頓和動(dòng)力學(xué)演化方程;第三部分給出了刻畫相干激發(fā)和兩體糾纏的度量手段,即里德伯原子激發(fā)概率和共生糾纏;第四部分進(jìn)行數(shù)值結(jié)果的討論和分析;最后給出了簡(jiǎn)要結(jié)論.

2 系統(tǒng)哈密頓與動(dòng)力學(xué)演化方程

稀薄里德伯原子系統(tǒng),實(shí)驗(yàn)室中可選用超冷Rb87原子氣體來(lái)實(shí)現(xiàn).原子樣品密度為109–1010cm?3,這時(shí)原子間平均距離可達(dá)微米量級(jí)[11].因此考慮長(zhǎng)程偶極-偶極相互作用,完全可以用少體原子模型來(lái)描述.采用如圖1(a)所示的四原子系統(tǒng),任意兩個(gè)原子間距離相等,原子空間位置呈正四面體結(jié)構(gòu).原子為簡(jiǎn)單的二能級(jí)結(jié)構(gòu),實(shí)驗(yàn)上可以在大失諧條件下絕熱消除中間能級(jí)實(shí)現(xiàn)雙光子或者三光子躍遷來(lái)獲得有效的二能級(jí)原子[11?14]. 如圖1(b)所示,|g〉為基態(tài),|r〉為高激發(fā)的里德伯態(tài).當(dāng)兩個(gè)原子同時(shí)激發(fā)到里德伯態(tài)上時(shí),原子間存在偶極-偶極相互作用V.在激光光場(chǎng)相干驅(qū)動(dòng)下,系統(tǒng)的哈密頓為

其中?為普朗克常數(shù),?i為拉比頻率,為單光子失諧,和分別為躍遷算符和投影算符.(1)式中前三項(xiàng)為單個(gè)原子與光場(chǎng)相互作用,而最后一項(xiàng)表示原子之間的偶極-偶極相互作用.

系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程由原子密度矩陣ρ滿足的主方程來(lái)描述:

圖1(a)四原子系統(tǒng)中空間結(jié)構(gòu)圖;(b)二能級(jí)原子能級(jí)圖Fig.1.(a)Schematic of spatial structure for the fouratom system;(b)the energy structure of the two-level atom.

對(duì)于獨(dú)立原子系綜,由于原子間不存在相互作用,因此考察單原子的光學(xué)響應(yīng)就能得到整個(gè)系統(tǒng)的光學(xué)性質(zhì).而對(duì)于里德伯原子,計(jì)及原子間偶極-偶極相互作用,原子的激發(fā)行為依賴近鄰原子的存在,所以主方程所描述的問(wèn)題本質(zhì)上是多體問(wèn)題.如果系統(tǒng)含有N個(gè)二能級(jí)原子,那么準(zhǔn)確刻畫系統(tǒng)的Hilbert空間的維數(shù)為2N.其結(jié)果就是除了兩個(gè)原子的穩(wěn)態(tài)問(wèn)題可以精確解析求解[15,16],幾個(gè)原子的情況可以通過(guò)數(shù)值精確求解以外,較一般的情況需要借助近似手段來(lái)處理,例如平均場(chǎng)理論[17?20]、超級(jí)原子[21?27]以及速率方程[28]等.

3 里德伯激發(fā)概率和量子糾纏的度量

在獨(dú)立原子系綜內(nèi)原子間不存在量子關(guān)聯(lián),而里德伯原子系綜則不同,激發(fā)過(guò)程中偶極-偶極相互作用使得原子間產(chǎn)生關(guān)聯(lián),糾纏在一起.對(duì)于四原子系統(tǒng),原子激發(fā)比較復(fù)雜,需要計(jì)算幾類里德伯激發(fā)概率,它們分別是單原子激發(fā)概率(平均激發(fā)概率)、雙原子激發(fā)概率、三原子激發(fā)概率以及四原子激發(fā)概率,其中單原子、雙原子和三原子密度矩陣分別為, 這里Tr[·]為偏跡計(jì)算.通過(guò)激發(fā)概率,可以刻畫系統(tǒng)的激發(fā)性質(zhì),例如對(duì)于典型的偶極阻塞效應(yīng),共振的多原子激發(fā)被抑制,即高級(jí)激發(fā)概率

共生糾纏(concurrence)能夠很好地度量?jī)审w糾纏,原因在于這個(gè)定義對(duì)于兩個(gè)二能級(jí)原子之間的量子糾纏度量是充分必要的,其定義如下[29?31]:

圖2 穩(wěn)態(tài)里德伯激發(fā)概率(a)Pr,(b)Prr,(c)Prrr和(d)Prrrr作為單光子失諧Δ/γ和偶極-偶極相互作用V/?的函數(shù);圖中黑色實(shí)線、藍(lán)色折線、綠色點(diǎn)線以及紅色點(diǎn)折線分別對(duì)應(yīng)于Δ/V=0,1/2,1,5/4Fig.2.Steady-state Rydberg excitation probabilities(a)Pr,(b)Prr,(c)Prrr,and(d)Prrrras a function of single-photon detuning Δ/γ and dipole-dipole interaction V/?.The black solid,blue dashed,green dotted and dash-dotted curves correspond to Δ/V=0,1/2,1,5/4,respectively.

這里λi(i=1,2,3,4)是矩陣

本征值的平方根,它們按照降序排列,ρ(AB)是雙原子的密度算符,σiy(i=1,2)是泡利矩陣,記為

共生糾纏滿足0≤C≤1.C=0代表兩個(gè)原子沒(méi)有糾纏,即量子態(tài)是可分離的,例如兩個(gè)沒(méi)有相互作用的二能級(jí)原子;而C=1表示兩個(gè)原子處于最大糾纏態(tài).需要指出的是,這個(gè)定義僅僅能夠判斷糾纏的大小,不能直接判斷糾纏態(tài)類型.

4 數(shù)值結(jié)果討論與分析

從圖2可以看出,原子各階激發(fā)的參數(shù)空間存在明顯的區(qū)域分布特征.對(duì)于共振情況,當(dāng)原子間相互作用足夠大時(shí)有,即原子高階激發(fā)被抑制,系統(tǒng)進(jìn)入典型的偶極阻塞機(jī)制.阻塞空間內(nèi)只有一個(gè)原子被激發(fā)到里德伯態(tài)上,系綜內(nèi)所有原子形成強(qiáng)烈的糾纏整體,這時(shí)系統(tǒng)量子態(tài)具體來(lái)看,圖2(a)中黑色實(shí)線標(biāo)記的就是偶極阻塞參數(shù)區(qū)域,隨著偶極-偶極作用的增強(qiáng),單原子激發(fā)參數(shù)區(qū)域明顯收緊并且在時(shí)激發(fā)概率接近飽和.而非共振情況里德伯激發(fā)行為發(fā)生明顯變化.從圖2(b)–(d)可以看出,圍繞參數(shù)區(qū)域,系統(tǒng)分別產(chǎn)生雙原子、三原子和四原子激發(fā),這是因?yàn)橐欢ǖ膯喂庾邮еC部分地補(bǔ)償了由于偶極-偶極相互作用引起的能級(jí)移動(dòng),導(dǎo)致超過(guò)一個(gè)里德伯原子的激發(fā)行為,稱之為偶極反阻塞效應(yīng)[32,33].此外,高階原子激發(fā)對(duì)低階原子激發(fā)均有貢獻(xiàn).具體來(lái)講,二、三和四個(gè)原子激發(fā)對(duì)單激發(fā)概率有貢獻(xiàn),三、四原子激發(fā)會(huì)增大雙原子激發(fā)概率,四原子激發(fā)會(huì)提高三原子激發(fā)概率,這些信息可以從對(duì)應(yīng)的參數(shù)空間獲得(見(jiàn)圖2藍(lán)色折線、綠色點(diǎn)線和紅色點(diǎn)折線).

除Δ/V=0,1/2,1,5/4四個(gè)參數(shù)區(qū)域以外,里德伯激發(fā)幾乎被完全抑制.這是因?yàn)槭еC或者原子間相互作用過(guò)大,有限強(qiáng)度的激光光場(chǎng)不足以將單個(gè)原子激發(fā)到里德伯態(tài)上.所以要實(shí)現(xiàn)里德伯激發(fā),必須要保證足夠的激光強(qiáng)度.

圖3 穩(wěn)態(tài)共生糾纏C作為單光子失諧Δ/γ和偶極-偶極相互作用V/?的函數(shù),其他參數(shù)和四類曲線與圖2一致Fig.3.Steady-state concurrence C as a function of single-photon detuning Δ/γ and dipole-dipole interaction V/?.Other parameters and four kinds of curves are the same as in Fig.2.

與原子激發(fā)行為相對(duì)應(yīng),下面討論相同參數(shù)空間的穩(wěn)態(tài)糾纏性質(zhì).從圖3可以清楚地看到,量子糾纏僅存在于里德伯原子的各階激發(fā)參數(shù)范圍.在激發(fā)概率為零的地方,根本不存在量子糾纏.這意味著要想實(shí)現(xiàn)糾纏,至少要激發(fā)一個(gè)原子到里德伯態(tài)上才能觸發(fā)偶極-偶極相互作用.此外,最大糾纏集中在偶極阻塞區(qū)域,由其量子態(tài)亦可看出,只有一個(gè)原子被激發(fā)的四體系統(tǒng)是一個(gè)強(qiáng)糾纏的量子系統(tǒng).

下面詳細(xì)討論穩(wěn)態(tài)糾纏、激發(fā)與原子間相互作用的關(guān)系.由圖4(a)中黑色實(shí)線可以看出,在偶極阻塞條件下,當(dāng)V/?≤2時(shí)原子間不存在糾纏,這是因?yàn)樵娱g偶極-偶極作用較弱,此時(shí)與獨(dú)立原子類似,每個(gè)原子都有較高的概率激發(fā),所以原子間不能很好地糾纏.而當(dāng)V增大,高階激發(fā)被逐漸抑制,其結(jié)果是平均激發(fā)概率降低,只保證一個(gè)原子激發(fā),因此系統(tǒng)逐漸進(jìn)入關(guān)聯(lián)狀態(tài),糾纏產(chǎn)生并隨著偶極阻塞效應(yīng)的增強(qiáng)而增強(qiáng),當(dāng)里德伯原子的多激發(fā)被完全抑制,系統(tǒng)進(jìn)入嚴(yán)格的偶極阻塞機(jī)制,糾纏和激發(fā)隨之趨于飽和狀態(tài).而對(duì)于偶極反阻塞機(jī)制(圖4(a)藍(lán)色折線、綠色點(diǎn)線和紅色點(diǎn)折線)的情況,當(dāng)V/?≤3時(shí),也有與偶極阻塞機(jī)制類似的性質(zhì),因此不存在糾纏.隨著偶極-偶極作用逐漸增大,量子糾纏達(dá)到最大值,繼續(xù)增大,量子糾纏會(huì)減弱直至消失(藍(lán)折線也符合這個(gè)特點(diǎn),只是圖4(a)中沒(méi)有體現(xiàn)出來(lái),V/?＞30就能看到這個(gè)特點(diǎn)).在偶極反阻塞效應(yīng)中,盡管偶極-偶極相互作用V與失諧Δ的比例保持一致,但是由于對(duì)原子激發(fā)的作用不同,因此它們之間的具有競(jìng)爭(zhēng)和合作關(guān)系決定著糾纏大小,當(dāng)V(Δ)較小時(shí),失諧Δ在一定程度上補(bǔ)償了偶極-偶極相互作用V帶來(lái)的能級(jí)移動(dòng),因此里德伯原子激發(fā)得到增強(qiáng)從而促進(jìn)量子糾纏,當(dāng)兩者都很大時(shí),失諧Δ和V都在一定程度上降低了單原子激發(fā),而且補(bǔ)償?shù)哪芗?jí)移動(dòng)帶來(lái)的效果微不足道,因此最后原子激發(fā)被完全抑制,所以量子糾纏消失.

圖4(a)穩(wěn)態(tài)共生糾纏C和(b)里德伯激發(fā)概率作為偶極-偶極相互作用V/?的函數(shù)(黑色實(shí)線、藍(lán)色折線、綠色點(diǎn)線以及紅色點(diǎn)折線分別對(duì)應(yīng)于Δ/V=0,1/2,1,5/4)Fig.4.(a)Steady-state concurrence C and(b)Rydberg excitation probabilities as a function of dipole-dipole interaction V/?.The black solid,blue dashed,green dotted and dash-dotted curves in(a)correspond to Δ/V=0,1/2,1,5/4,respectively.

圖5(a)穩(wěn)態(tài)共生糾纏C和(b)里德伯激發(fā)概率作為失諧Δ/γ的函數(shù),其中偶極-偶極相互作用V/?=5Fig.5.(a)Steady-state concurrence C and(b)Rydberg excitation probabilities as a function of single-photon detuning Δ/γ with dipole-dipole interaction V/? =5.

圖6(a)共生糾纏C和(b)單原子激發(fā)概率Pr的時(shí)間演化曲線(黑色實(shí)線、藍(lán)色折線、綠色點(diǎn)線以及紅色點(diǎn)折線分別對(duì)應(yīng)于Δ/V=0,1/2,1,5/4的情況,其中偶極-偶極相互作用V/? =5)Fig.6.(a)Time evolution of concurrence C and(b)single-atom excitation probability Prwith dipole-dipole interaction V/?=5.The black solid,blue dashed,green dotted and dash-dotted curves correspond to Δ/V=0,1/2,1,5/4,respectively.

進(jìn)一步討論穩(wěn)態(tài)糾纏、激發(fā)與單光子失諧的關(guān)系.從圖5可以看出,當(dāng)V/?=5時(shí)糾纏最大值出現(xiàn)在共振點(diǎn),這正對(duì)應(yīng)偶極阻塞效應(yīng).與獨(dú)立原子系綜不同,激發(fā)概率最大值會(huì)偏離共振點(diǎn),這是因?yàn)榕紭O-偶極相互作用補(bǔ)償正、負(fù)失諧的結(jié)果不同,導(dǎo)致差異化的原子激發(fā)行為.此外,還可以說(shuō)明單原子激發(fā)概率與共生糾纏行為并沒(méi)有嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

保持原子間偶極-偶極相互作用不變,討論兩種激發(fā)機(jī)制下對(duì)應(yīng)的糾纏和激發(fā)概率的動(dòng)力學(xué)演化.選取V/?=5意味著偶極-偶極相互作用強(qiáng)度中等,這樣能夠更好地觀察系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化.如圖6(a)所示,初始時(shí)刻沒(méi)有原子激發(fā),所以糾纏也不存在.隨著里德伯原子的激發(fā),幾乎所有原子都參與相互作用過(guò)程,因此糾纏逐漸增加并做集體拉比振蕩,共振情況(偶極阻塞機(jī)制)下集體拉比振蕩頻率正比于,而失諧情況(偶極反阻塞機(jī)制)振蕩頻率高于共振情況,失諧越大,振蕩頻率越大,在γt≥3系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài).共振情況的糾纏峰值和穩(wěn)態(tài)值均大于非共振情況,這與前面的提到的穩(wěn)態(tài)結(jié)果一致.從圖6(b)可以看出Δ/V=1/2時(shí)原子激發(fā)概率最大,這與穩(wěn)態(tài)結(jié)果一致,也是失諧補(bǔ)償了能級(jí)移動(dòng)的結(jié)果.但是對(duì)應(yīng)的糾纏卻沒(méi)有共振情況大,原因在于前者接近單激發(fā)集體態(tài)而后者則接近雙激發(fā)集體態(tài)的原因. 對(duì)于失諧更大的反阻塞機(jī)制(Δ/V=1,5/4),單原子激發(fā)得不到滿足,所以糾纏自然就很小,失諧越大,糾纏的峰值和穩(wěn)態(tài)值就越小.

實(shí)驗(yàn)上可以選擇三能級(jí)梯形結(jié)構(gòu)Rb87原子,基態(tài)、中間激發(fā)態(tài)以及最高能級(jí)分別為和60S1/2, 一方面讓的躍遷為大失諧,另一方面保持經(jīng)到里德伯能級(jí)60S1/2的躍遷為雙光子共振,即采取雙光子激發(fā)方案,這樣原子可以等效為二能級(jí)原子.進(jìn)而通過(guò)樣品中原子間平均距離來(lái)測(cè)算原子間的范德瓦耳斯勢(shì)V=?C6/R6,其中C6和R分別為范德瓦耳斯系數(shù)和原子間距.再調(diào)整大失諧獲得有效的拉比頻率,使得V/?和Δ/γ的數(shù)值滿足研究的參數(shù)范圍.最后,測(cè)量里德伯原子的激發(fā)概率和測(cè)算共生糾纏的大小.

5 結(jié) 論

本文討論了稀薄氣體中的量子糾纏和里德伯激發(fā)性質(zhì).以空間排布為正四面體的少體原子系綜為模型,同時(shí)計(jì)及原子間偶極-偶極相互作用.通過(guò)精確的數(shù)值計(jì)算來(lái)考察系統(tǒng)在偶極阻塞和反阻塞機(jī)制下的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)性質(zhì).結(jié)果表明,里德伯激發(fā)決定著量子糾纏,無(wú)論是穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài),偶極阻塞機(jī)制下的共生糾纏度都是最大.進(jìn)一步考察高階激發(fā)過(guò)程,分析了兩種機(jī)制下的糾纏類型并給出物理解釋.

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