唐 洵

（福建省福清第三中學(xué)，福建 福清）

一題多解是數(shù)學(xué)解題過程中的思維能力的體現(xiàn)，其本質(zhì)是緊扣習(xí)題本身，靈活運(yùn)用定義、定理等基本原理，通過不同的途徑，呈現(xiàn)問題的解答過程.在教學(xué)過程中，合理滲透對(duì)數(shù)學(xué)問題的多解，有利于促進(jìn)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力，同時(shí)能活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生分析解決問題的能力，并且激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

作為一線教師，筆者常常思考，我們能否在數(shù)學(xué)的教學(xué)中尋找發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑，通過一題多解來滲透核心素養(yǎng).本文就通過對(duì)例題的一題多解來談一談筆者對(duì)于核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中落實(shí)的思考.

問題呈現(xiàn)：已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，BD是其腰AC的中線，且BD=3，求△ABC面積的最大值.

視角一、適度轉(zhuǎn)化，一統(tǒng)天下

思路1（角化邊）：在學(xué)習(xí)解三角形的過程中，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了三角形的面積公式，介于本題中△ABC的特殊性——等腰，容易想到此時(shí)發(fā)現(xiàn)該式中有兩個(gè)變?cè)?，因此，如何消元成為解題的難點(diǎn)；考慮到BD是其腰AC的中線，因此，可以在△ABD中利用余弦定理，建立cos∠BAC與AB之間的關(guān)系，最后利用sin2∠BAC+cos2∠BAC=1，將S△ABC轉(zhuǎn)化為關(guān)于AB的函數(shù)，在正確求解AB的取值范圍的前提下，我們可以輕松求得△ABC面積的最大值.

解法一：設(shè) AB=2x，AD=x，∠BAC=θ，因?yàn)樵凇鰽BD 中，故 1＜x＜3，故其中x∈（1，3）；

在△ABD 中，由余弦定理，BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosθ，解得

解法二：設(shè)，AB=2x，AD=x，∠BAC=θ，θ∈（0，π）

在△ABD 中，由余弦定理，BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosθ，解得

接下來，可以從三種視角來求解（*）式的最值：

注：由于篇幅關(guān)系，這里不驗(yàn)證φ的具體情況；

評(píng)注：構(gòu)造函數(shù)法是處理最值問題的常用方法之一，解法一、二都是通過代數(shù)的角度進(jìn)行切入，解法一的難點(diǎn)在于如何從直觀的圖形中抽象出具體的函數(shù)，以及函數(shù)初步生成時(shí)的雙變?cè)绾翁幚肀容^得當(dāng)，解法二的難點(diǎn)在于如何通過（0，π）的表達(dá)式結(jié)構(gòu)，抽象出其最值的求解；兩種解法都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象能力是形成理性思維的重要基礎(chǔ).

視角二、數(shù)形結(jié)合，化繁為簡(jiǎn)

思路3（基本不等式）：數(shù)形結(jié)合是解題時(shí)化繁為簡(jiǎn)的重要途徑之一，基于等腰三角形三線合一的重要性質(zhì)，我們可以過A點(diǎn)做BC邊的中線（或垂線），中點(diǎn)（或垂足）為E，AE與BD的交點(diǎn)為F，再配合余弦定理以及勾股定理，在△ABC或△BEF中構(gòu)造基本不等式進(jìn)行求解.

解法三：方法一：如圖所示，作AE⊥BC于 E，設(shè)∠ACB=α，

則 AE=2xsinα，BC=4xcosα，則 S△BEF=4x2sinαcosα；

在△BCD中，由余弦定理，BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cosα， 解 得 x2=

方法二：如圖所示，取BC的中點(diǎn)E，連接 AE 交 BD 于 F；設(shè) BE=x，EF=y，則故 S△ABC=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；故△ABC面積的最大值為6.

思路4（三角形觀點(diǎn)）：在解法三方法一、解法二的啟示下，部分同學(xué)會(huì)引發(fā)思考，能否不通過基本不等式，而直接利用必修五中學(xué)習(xí)的三角形的面積公式，通過三角函數(shù)自身的取值范圍，來求解出△ABC面積的最大值；基于上述想法，BD=3在的提示下，我們可以構(gòu)造AB邊上的中線，記兩條中線的交點(diǎn)為O，進(jìn)而將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△OBC的面積，求解△OBC面積的最大值即可.

解法四：如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，連接 CE，設(shè) CE∩BD=O，因?yàn)?BD=3，故CO=BO=2，故OC·sin∠BOC=6sin∠BOC≤6，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)結(jié)論成立；故△ABC面積的最大值為6.

評(píng)注：數(shù)形結(jié)合、直觀想象，能夠降低解題的難度，提升數(shù)學(xué)思維的同時(shí)，減少了繁雜的計(jì)算，在解題發(fā)揮不可替代的作用；而這種能力素養(yǎng)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步積累形成的；利用基本不等式的觀點(diǎn)解決最值問題的時(shí)候，要注意構(gòu)造“一正二定三相等”的條件，發(fā)揮和定積最大，積定和最小的優(yōu)勢(shì)作用求解最值.

視角三、坐標(biāo)引路，曲徑通幽

思路5（坐標(biāo)解析化）：本題中的三角形為等腰三角形，是一個(gè)特殊圖形，因此十分利于我們建立平面直角坐標(biāo)系，通過解析化的手法，能夠使得問題的處理變得更加簡(jiǎn)練，而不同的建系方案往往能夠多角度揭示的本質(zhì)，我們可以通過建系的方法，將橢圓以及阿波羅尼斯圓融入這道解三角形的問題中來.

解法五（橢圓觀點(diǎn)）：取BC的中點(diǎn)E，連接AE；以E為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AE所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則 A（0，b），B（-a，0），D由可得故而S△ABC=ab；

解法六（阿波羅尼斯圓觀點(diǎn)）：以F為原點(diǎn)，BD所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示；因?yàn)榍?D（1，0），B（-2，0）設(shè) A（x，y），則故（x-1）2+y2=4，故 y≤2，故

評(píng)注：在解題時(shí)，利用坐標(biāo)法，將幾何問題解析化，是以數(shù)助形的重要途徑，此方法的關(guān)鍵在于合理構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示點(diǎn)坐標(biāo)，通過發(fā)現(xiàn)問題中的幾何關(guān)系，得到關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的方程，進(jìn)而尋覓到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，如解法五中得到的是橢圓的方程，解法六中得到的是阿氏圓的方程.