□海南省東方市八所中學(xué) 吳東翔

初中平面幾何的學(xué)習(xí)是幾何學(xué)的入門學(xué)習(xí)。若學(xué)生掌握該學(xué)科的學(xué)習(xí)方法,則會激發(fā)他們對數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣。因此培養(yǎng)學(xué)生自覺、主動地探求平面幾何的解題問題，不僅是鑄造學(xué)生優(yōu)質(zhì)的思維品格的基礎(chǔ)、是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力的有效途徑，也決定著學(xué)生往后能否向更廣更深的領(lǐng)域?qū)W習(xí)，關(guān)系著學(xué)生的成長發(fā)展。為了讓學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)牢固，提升他們的邏輯推理能力，在幾年的教學(xué)中，我觀察到了學(xué)生在學(xué)習(xí)初中幾何的種種情況。如，平面幾何學(xué)習(xí)中幾何證明是學(xué)生的痛點，幾何證明問題往往讓學(xué)生理不清頭緒，不知如何下手，久而久之，學(xué)生對幾何證明產(chǎn)生畏懼心理，對幾何的學(xué)習(xí)也失去興趣?！皫缀巫C明難”是學(xué)生不想學(xué)平面幾何的原因，要想從源頭上解決問題，我們必須找出問題的根源，以問題為主線，通過對問題的研究分析，尋找出現(xiàn)問題的原因，從而“對癥下藥”，尋找解決問題的方法，使教師的教學(xué)引導(dǎo)更加高效，學(xué)生的學(xué)習(xí)更加科學(xué)，為學(xué)生獲取更多的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”、為學(xué)生未來的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

一、典型錯誤

經(jīng)過多方面的經(jīng)驗積累及調(diào)查分析，總結(jié)出幾何證明的典型錯誤主要表現(xiàn)在以下幾點：

1.概念定理，理解不透。

（1）學(xué)生對幾何的概念、判斷定理的識記與理解流于表面，容易忽略定理的內(nèi)在含義，在應(yīng)用時不考慮它的適用條件和范圍。

在線段的垂直平分線的性質(zhì)學(xué)習(xí)中，學(xué)生沒有完全理解“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離才相等”的內(nèi)在條件，在證明時，容易出錯。

例：如圖，在△ABC中，AB=AC,點D是BC的中點,求證：（1）△ABD≌△ACD ；（2）BE=CE。

錯誤分析：對于（2）的證明，很多學(xué)生都認(rèn)為D是BC的中點，所以BE=CE，沒有去探討DE是BC的中垂線。

（2）在三角形全等的證明中，按照題目給出的已知條件，很多學(xué)生都會找出“邊邊角”的條件，然后就直接利用“邊邊角”直接得出兩個三角形全等了，錯誤原因就是“無中生有，自創(chuàng)定理”。

2.隱含條件，不善挖掘。

在初中幾何證明中，有一些題目，證明結(jié)論所需要的已知條件，不是直接給出來的，而是隱含的。對于這類題目，如果學(xué)生不善于挖掘這些條件，就沒有足夠的條件逐步推導(dǎo)出結(jié)論。這類題目學(xué)生共同的感覺就是“缺少條件”。

例：如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MN交AC于點N，交AB于點M，求證：△ABC∽△BCN。

分析：本題的關(guān)鍵在于抓住∠A=36°，AB=AC這

兩個已知條件，由∠A=36°，AB=AC可得到∠ABC=∠C=（180-36）/2=72°，進而就可得所要證明的結(jié)論。但在實際證明中，很多學(xué)生都沒有挖掘出這個隱含條件，所以結(jié)論也就無法求證。

3.推理混亂，缺乏規(guī)范。

表達混亂，條理不清是屬于證明過程書寫不規(guī)范的問題，對于初學(xué)者來說，這種現(xiàn)象尤為常見。這種現(xiàn)象，常見的有兩種：

（1）不知如何下筆，是學(xué)生覺得“幾何證明難”的共同心病，拿到一個幾何證明題目，學(xué)生看了，心里明白怎么得到需要證明的結(jié)論，但下筆書寫時，不知怎么表達推理過程或者推理混亂，邏輯不嚴(yán)密。

（2）幾何證明的書寫要求有它的獨特性：書寫表達必須規(guī)范，然而在幾何證明中，學(xué)生表達不規(guī)范比比皆是。常見的情況有前因后果邏輯推理不嚴(yán)密、畫圖不規(guī)范、幾何符號語言應(yīng)用不規(guī)范等等。

4.添線助證，無從下手。

眾所周知，很多幾何題的證明，往往利用原圖現(xiàn)有的“線”是難于證明的，這就需要添加輔助線。添加輔助線可以使復(fù)雜的幾何證明問題變得簡單，然而，因為沒有掌握添加輔助線的要領(lǐng)，證明時，沒有找到證明的突破口，題目也就無法得證。添加輔助線解決幾何問題是幾何證明的一大技巧，題目需要添加輔助線輔助證明時，學(xué)生沒有找到添加輔助線的切入口，因此無法進行解題，這也是學(xué)生解決幾何問題感到“無從下手”的原因。

5.文字命題，茫然無策。

在教學(xué)中，學(xué)生最難于應(yīng)對的是文字命題的證明，對于此類問題，學(xué)生無法理解命題的含義，未能從中找出命題的題設(shè)和結(jié)論，不僅如此，學(xué)生還難于根據(jù)題意規(guī)范畫圖、不懂得用幾何符號語言寫出已知條件和求證。

6.生活問題，不善建模。

數(shù)學(xué)是來源于生活，又為生活服務(wù)的一門學(xué)科，生活中的很多現(xiàn)象，我們都可以把它歸納為數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)思維進行解決，然而，對于現(xiàn)實生活中的實際問題，學(xué)生往往不能把它進行建模，把生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。幾何尤其如此，學(xué)生沒有耐心理解實際問題和數(shù)學(xué)的關(guān)系，沒有更好地把實際問題歸納成幾何問題，沒有更好地畫圖加以直觀理解，從而就沒有達到解決實際問題的目的。

二、應(yīng)對策略

以上是初中幾何教學(xué)中學(xué)生證明常見的幾類典型錯誤，在教學(xué)中如何有效應(yīng)對呢？通過思考探索和與同伴探討交流，總結(jié)出以下幾點體會：

1.夯實基礎(chǔ)、強化應(yīng)用。

學(xué)生幾何解題一切錯誤的原因都是基礎(chǔ)不扎實，如果基礎(chǔ)扎實了，而不善于應(yīng)用，那就是平時缺少解題應(yīng)用訓(xùn)練。在平常教學(xué)中，老師必須幫助學(xué)生理清幾何定義、幾何定理、公理條件和結(jié)論之間的邏輯思維關(guān)系、掌握應(yīng)用范圍，在解題實踐中，放手讓學(xué)生大膽嘗試，要知道“只有讓學(xué)生在實踐中發(fā)現(xiàn)自己解題存在的不規(guī)范及漏洞錯誤，學(xué)生才能體會深刻及更好糾正”?！昂粚嵒A(chǔ)、加強應(yīng)用”是學(xué)生熟練運用的基礎(chǔ)，也只有基礎(chǔ)夯實，學(xué)生對幾何的學(xué)習(xí)才更有興趣，學(xué)生對學(xué)好幾何才更有信心。

2.深入挖掘，突破瓶頸。

幾何證明中，綜合題目都有“瓶頸”，題目中設(shè)置的“瓶頸”往往讓學(xué)生找不到解題的突破口，如果“瓶頸”突破了，學(xué)生證明也會豁然開朗，有一種“柳暗花明又一村”的感覺，此時的學(xué)生會無比興奮，也會很享受那種成就感，這給學(xué)生學(xué)習(xí)幾何帶來多大的興趣??！何樂而不為呢？然而，幾何證明中的“瓶頸”如何突破呢？課堂教學(xué)中必須做好以下幾點：

（1）培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真閱題、審題的良好習(xí)慣，在審題中能充分挖掘題目中的顯性和隱性已知條件的意識。幾何結(jié)論的證明，碰到最多的問題就是“結(jié)論的推導(dǎo)缺少條件”，然而題目給的條件肯定是足夠的，有顯性的，也有隱性的，只是學(xué)生不善于挖掘或利用而已。只有充分利用題目中的顯性和隱性已知條件，結(jié)論的證明才能順利推導(dǎo)出來。

（2）引導(dǎo)學(xué)生逆向分析，證明幾何問題時，要讓學(xué)生懂得從要證明的結(jié)論開始，逆向分析，結(jié)論的得出需要哪些條件，再從題目中去尋找這些條件，逐一突破。

（3）幾何結(jié)論的證明，學(xué)生心里往往明白由這些條件可以得出這個結(jié)論，但要書寫時卻不知如何下筆。對于這樣的問題，在教學(xué)中我們可以讓學(xué)生多模仿例題的書寫過程，讓學(xué)生多嘗試，學(xué)生之間相互糾正，這樣他們體會到的知識會更深刻。

（4）幾何文字命題的證明，學(xué)生的難點是：①無法找出命題的題設(shè)和結(jié)論，即找不出已知條件和需要證明的結(jié)論；②畫簡圖，不懂得用幾何符號語言寫出已知和求證，針對這樣的情況我們可以采取“化整為零，逐一突破”的策略。即要讓學(xué)生懂得把問題分成幾個步驟：第一，理清題意，畫出草圖；第二，根據(jù)題目中的條件和結(jié)論，用幾何符號寫出已知和求證；第三，從已知條件開始，逐一規(guī)范寫出推導(dǎo)過程。

（5）數(shù)學(xué)文化的精華就是“化為數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)化為”，生活中的幾何問題，要把它化為數(shù)學(xué)問題去求解，需要學(xué)生有良好的“建?！蹦芰?，在教學(xué)中，我們要注重數(shù)學(xué)“建?！彼枷氲膮⑼?，多設(shè)置生活實例讓學(xué)生練習(xí)，老師和學(xué)生一起探討如何把“生活問題”化為“數(shù)學(xué)問題”之間的過渡關(guān)系。

3.方法歸納，形成思維。

方法歸納需要多思考，只有多思考才能找到不同問題的解決規(guī)律，例如添加輔助線證明問題時，不同類型的題目有不同的添加方法，但它們是有規(guī)律的，需要老師引導(dǎo)學(xué)生多思考、多體會、多總結(jié)。在幾何證明的訓(xùn)練中，教師要多引導(dǎo)、幫助學(xué)生進行解題方法、解題技巧及分析思路的整理和歸納，只有這樣，學(xué)生才能把老師的分析思路、解題技巧和證明思維轉(zhuǎn)變?yōu)樽约旱姆椒?，也就是要讓學(xué)會收“漁”而不是收“魚”，學(xué)生才能更好地開啟幾何證明的智慧之門。

解決問題的對策是很多的，在教學(xué)實踐中，師生只有“持之以恒”，“幾何證明難”的問題才能有效解決。