趙鴻

【摘 要】數(shù)學和通信是息息相關(guān)的，其中傅立葉把信號的產(chǎn)生，變換，變化等等都具體地用數(shù)學方式表示出來，把抽象的信號形象化，更直觀地展現(xiàn)在我們眼前。數(shù)學原理和工具對現(xiàn)代通信技術(shù)發(fā)展的促進應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學原理；數(shù)學工具；現(xiàn)代通信；促進

數(shù)學，起源于人類早期的生產(chǎn)活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。從歷史時代的一開始，數(shù)學內(nèi)的主要原理是為了做稅務(wù)和貿(mào)易等相關(guān)計算，為了了解數(shù)字間的關(guān)系，為了測量土地，以及為了預(yù)測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數(shù)學對數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及時間方面的研究。到了16世紀，算術(shù)、初等代數(shù)、以及三角學等初等數(shù)學已大體完備。17世紀變量概念的產(chǎn)生使人們開始研究變化中的量與量的互相關(guān)系和圖形間的互相變換。在研究經(jīng)典力學的過程中，微積分的方法被發(fā)明。隨著自然科學和技術(shù)的進一步發(fā)展，為研究數(shù)學基礎(chǔ)而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等也開始慢慢發(fā)展。

數(shù)學從古至今便一直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用，并使兩者都得到好處。數(shù)學在歷史上有著許多的發(fā)現(xiàn)，并且直至今日都還不斷地發(fā)現(xiàn)中。其中數(shù)學在通信技術(shù)的領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛?，F(xiàn)在是信息時代，無處不存在信息，無處不存在通信，我們?nèi)伺c人之間，地區(qū)與地區(qū)之間，國家與國家之間的聯(lián)系也因通信技術(shù)的發(fā)展而更加密切。

一、數(shù)學原理、工具在通信技術(shù)中的應(yīng)用體現(xiàn)

數(shù)學在通信系統(tǒng)以及信息處理等學科中具有極端重要的地位。 可以這么說：所有的信號變換以及信息的處理都是這樣一種機制：通過數(shù)學變換，將一種信號變換成另一種信號。而變換之后的信號更適合于在通信系統(tǒng)中傳輸。

（一）在數(shù)學上，信號可以表示為一個或者多個變量的函數(shù)。

例如，一個語音信號就可以表示為聲壓隨時間變化的函數(shù)；一張黑白照就可以用亮度隨著二維空間變量變化的函數(shù)表示，本文的討論范圍僅限于單一變量的函數(shù)，而且為了方便起見，本文討論一般都用時間表示自變量，盡管在某些應(yīng)用中自變量不一定是時間。

（二）連續(xù)時間信號和離散時間信號

全文將考慮兩種基本類型的信號：連續(xù)時間信號和離散時間信號。在前一種情況下，自變量是連續(xù)可變的，因此信號在自變量的連續(xù)值上有定義；而后者是僅僅在離散時刻點上，也就是自變量僅取在一組離散值上。為了區(qū)分這兩類信號，我們用t表示連續(xù)時間變量，而用n表示離散時間變量。另外，連續(xù)時間信號用圓括號（.）把自變量括在里面，而離散時間信號則用方括號[.]來表示。

在信號與系統(tǒng)分析中最主要的兩個性質(zhì)：線性和時不變性。其理由是：第一，很多物理過程都具有這兩個性質(zhì)，因此都能用線性時不變（LTI）系統(tǒng)來表征的；第二，可以對LTI系統(tǒng)進行詳細的分析。這樣既求得了對系統(tǒng)性質(zhì)的深入了解，又提供了形成信號與系統(tǒng)分析核心的一套強有力的方法。在離散時間情況下，把離散時間信號表示成一組移位的單位脈沖的加權(quán)和，并據(jù)此導出了對離散時間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的卷積和表示。在連續(xù)時間情況下，相類似地把連續(xù)信號表示移位單位沖激函數(shù)的加權(quán)積分，并據(jù)此導出對連續(xù)時間LTI系統(tǒng)響應(yīng)的卷積積分表示。這些表示方法是極為重要的，因為這樣就可以利用系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)來計算系統(tǒng)對任何輸入信號的響應(yīng)。

（三）連續(xù)時間和離散時間傅立葉級數(shù)和傅立葉變換

前面通過建立卷積和來標識、分析LTI系統(tǒng)是基于將信號表示成一組移位單位沖激的線性組合。下面我們將討論信號與LTI系統(tǒng)的另一種表示，和前面討論的出發(fā)點是一樣的，仍是將信號表示成一組基本信號的線性組合，不過這時所用的基本信號是復(fù)指數(shù)，所得到的是連續(xù)時間和離散時間傅立葉級數(shù)和傅立葉變換。

傅立葉分析方法的建立有過一段漫長的歷史，涉及到很多人的工作和許多不同物理現(xiàn)象的研究。傅立葉堅持的是任何周期信號都能用傅立葉級數(shù)表示！雖然這一點不完全正確，但傅立葉級數(shù)卻能用于表示相當廣泛的一類周期信號，其中包括周期方波和其它一些很重要的周期信號。

那究竟一個周期信號x（t）什么時候才確實具有一個傅立葉級數(shù)表示？從傅立葉分析的教科書中找到是它在一個周期內(nèi)能量有限的信號，還能保證收斂，這在實際中很有用。由于要研究的大多數(shù)周期信號在一個周期內(nèi)的能量是有限的，因此它們都有傅立葉級數(shù)的表示。然后，狄里赫利得到了另一組條件，這組條件對于我們關(guān)注的信號也基本上得到滿足。狄里赫利條件：

條件1：在任何周期內(nèi)，x（t）必須可積；條件2：在任意有限區(qū)間內(nèi)，x（t）具有有限個起伏變化；也就是說，在任何單個周期內(nèi)，x（t）的最大值和最小值的數(shù)目有限。條件3：在x（t）的任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個不連續(xù)點，而且這些不連續(xù)的點上，函數(shù)是有限值。

一個不滿足狄里赫利條件的信號，一般來說在自然界中都是屬于比較反常的的信號，結(jié)果在實際場合不會出現(xiàn)。對于一個不存在任何間斷點的周期信號而言，傅立葉級數(shù)收斂，并且在每一點上該級數(shù)都是都等于原來的信號x（t）。對于在一個周期內(nèi)存在有限數(shù)目不連續(xù)的點的周期信號而言，除開那些孤立的不連續(xù)的點外，其余所有點上傅立葉級數(shù)都等于原來的x（t）；而在那些孤立的不連續(xù)的點上，傅立葉級數(shù)收斂于不連續(xù)點處的值的平均值。在這種情況下，原來信號和它的傅立葉級數(shù)表示之間沒有任何能量上的差別。因此，兩者從所有實際目的來看可以認為是一樣的；具體一點就是，因為兩者只在一些孤立的點上有差異，所以在任意區(qū)間內(nèi)的積分是一樣的。為此，在卷積的意義下，兩者的特性是一樣的，因而從LTI系統(tǒng)分析的觀點來看，兩個信號完全一致。

二、結(jié)束語

本文主要討論了連續(xù)時間和離散時間的傅立葉分析方法，怎樣的信號能用傅立葉表示，信號與系統(tǒng)中的兩個重要性質(zhì)。信號與系統(tǒng)這一學科的內(nèi)容極為豐富，因此想要研究得更多不是一朝一夕能達到的，通信世界是一個讓人著迷，讓人瘋狂的世界。所以在以后的學習中，我會繼續(xù)探究下去，也許這對我來說有很大的困難，可是那奇幻的變換給我?guī)砹藷o窮的樂趣。面對著新問題，新的技術(shù)和新的機遇挑戰(zhàn)，信號與系統(tǒng)分析一直在不斷演變和發(fā)展著。我們完全可以期望，隨著技術(shù)的進步，使日益增長著的復(fù)雜系統(tǒng)和信號處理技術(shù)的實現(xiàn)成為可能，而且一定會加速這一進程。將來，我們一定會看到信號與系統(tǒng)分析方法和概念應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域中去。