楊廣雨 王 偉 趙 騰 李學(xué)浩 秦志軍

(1. 河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098；2. 河海大學(xué) 巖土工程科學(xué)研究所，南京 210098； 3. 山西省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院， 太原 030012)

在巖土工程中，巖石流變是影響著工程安全穩(wěn)定性的重要因素，因此巖石流變的研究也就顯得越來越重要，其中元件模型是研究巖石流變性質(zhì)的重要工具．傳統(tǒng)的力學(xué)元件無法有效地模擬巖石加速蠕變階段的蠕變特性，因此很多學(xué)者在已建立的巖石流變模型的基礎(chǔ)上通過引進(jìn)可以模擬加速蠕變特性的非線性元件，然后將非線性元件與傳統(tǒng)流變模性進(jìn)行適當(dāng)?shù)亟M合，從而能夠很好地模擬巖石的3個(gè)階段的蠕變過程．

目前，對(duì)巖石非線性流變階段的元件模型研究已經(jīng)取得了一定的成果，康永剛等[1]構(gòu)建一種非牛頓體特性的力學(xué)元件，然后利用這些元件建立蠕變模型，很好地模擬了加速蠕變過程；周家文[2]等在廣義Bingham模型的基礎(chǔ)上結(jié)合能反映巖石加速蠕變特點(diǎn)的非線性函數(shù)，從而可以較好地模擬巖石加速蠕變特性；殷德順等[3]通過引進(jìn)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分算子理論，構(gòu)造出一種可以反映巖石加速蠕變特性的力學(xué)元件；李成波[4]等提出了一種非定常參數(shù)粘彈性模型，從而較好地模擬巖石非線性蠕變過程；朱昌星等[5]提出了一種黏滯系數(shù)為非定常參數(shù)的巖石蠕變模型，該模型能夠反映巖石加速蠕變特性流變模型；徐衛(wèi)亞等[6]構(gòu)造了一種非線性黏彈塑性力學(xué)元件，并由此建立了"河海模型"，該模型能夠很好地模擬了巖石加速蠕變特性．宋勇軍等[7]構(gòu)造了一種含有分?jǐn)?shù)階的軟體元件即FC元件，該元件能夠較好地描述巖石加速蠕變階段的力學(xué)特性；曹平等[8]通過結(jié)合流變力學(xué)理論，對(duì)傳統(tǒng)的黏性元件進(jìn)行改進(jìn)，從而能夠很好地反映巖石加速蠕變特性；曹文貴等[9]通過引用損傷理論來模擬巖石加速蠕變；康永剛等[10]通過將一種非定常黏壺替換伯格斯模型中的定常黏壺，從而有效地模擬巖石加速蠕變階段的巖石特性．本文通過引進(jìn)一種非線性黏塑性元件并將其進(jìn)行改進(jìn)，然后將此改進(jìn)后的元件與飽依丁-湯姆遜體(Poyting-Thomson)進(jìn)行串聯(lián)，建立起能夠反映巖石蠕變?nèi)^程的蠕變模型，并結(jié)合巖石蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證．

1 模型的建立

1.1 傳統(tǒng)的Poyting-Thomson模型

經(jīng)典的Poyting-Thomson模型是由一個(gè)Maxwell體與一個(gè)胡克體并聯(lián)組成，該模型不僅結(jié)構(gòu)形式簡單，而且可以較好地模擬巖石蠕變的前兩個(gè)階段，同時(shí)由于模型中有著兩個(gè)胡克體并聯(lián)的結(jié)構(gòu)形式，所以可以反映巖石在受力瞬間所產(chǎn)生的初始彈性變形，Poyting-Thomson力學(xué)模型如圖1所示．

圖1 Poyting-Thomson流變模型

(1)

根據(jù)其本構(gòu)方程再結(jié)合Laplace變換可以求得相應(yīng)的蠕變方程(具體的推導(dǎo)過程見下文)，當(dāng)應(yīng)力為σ0并保持不變時(shí)，可以推求模型的蠕變方程為

(2)

圖2 Poyting-Thomson蠕變曲線示意圖

由上圖2的模型蠕變曲線特點(diǎn)可知，傳統(tǒng)的Poyting-Thomson模型不僅可以能夠很好地模擬巖石衰減蠕變及穩(wěn)態(tài)蠕變[11]階段，而且可以反映巖石瞬時(shí)彈性變形，但是卻無法有效模擬巖石亞穩(wěn)態(tài)蠕變階段及加速蠕變階段．

1.2 改進(jìn)后的Poyting-Thomson模型

由于傳統(tǒng)的Poyting-Thomson模型中的元件都是線性元件，這也決定了其無法模擬巖石蠕變的加速蠕變階段，因此本文在原模型的基礎(chǔ)上通過再構(gòu)建一個(gè)非線性元件，使得改進(jìn)后的Poyting-Thomson模型能夠模擬巖石蠕變?nèi)A段．

本文通過在徐衛(wèi)亞等[12]提出的非線性元件的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)后，提出了新的黏性元件，該元件如圖3所示．

圖3 本文所用的非線性流變?cè)疽鈭D

改進(jìn)后的黏性元件的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滿足下式：

(3)

將改進(jìn)后的非線性元件與Poyting-Thomson模型進(jìn)行串聯(lián)，得到四元件非線性黏彈塑性流變模型即改進(jìn)的Poyting-Thomson模型，該力學(xué)模型如圖4所示．

圖4 本文構(gòu)建的非線性黏彈塑性流變模型

1)當(dāng)σ≤σs時(shí)，改進(jìn)的四元件模型就相當(dāng)于一個(gè)線性牛頓體黏壺與Poyting-Thomson模型串聯(lián)，由此可得模型的狀態(tài)方程為

(4)

2)當(dāng)σ>σs時(shí)，本文建立的模型就變成一個(gè)非線性黏彈塑性流變模型，此時(shí)該模型的狀態(tài)方程變?yōu)?/p>

(5)

通過對(duì)上述(4)、(5)式的整理，可以得出該模型的本構(gòu)方程為

1)當(dāng)σ≤σs時(shí)，模型本構(gòu)方程為

2)當(dāng)σ>σs時(shí)，模型本構(gòu)方程為

1.3 改進(jìn)后的流變模型蠕變方程及其特性

當(dāng)t=0時(shí)，σ=σ0，此時(shí)改進(jìn)的四元件的流變模型需要滿足以下初始條件：

(8)

將上述初始條件帶入本構(gòu)方程內(nèi)，并利用Laplace變換可得到改進(jìn)后的Poyting-Thomson模型的蠕變方程為

(10)

當(dāng)σ0≤σs時(shí)，對(duì)應(yīng)變分別求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)可得

(12)

當(dāng)σ0>σs時(shí)，分別對(duì)其求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)可得

(14)

對(duì)改進(jìn)后的Poyting-Thomson模型中的參數(shù)分別賦予合適的值，這里取E1=E2=10 MPa，η2=10 MPa·d，σ0=10 MPa，η1分別不同大小的的值，可以得到不同情況下的模型蠕變曲線．

當(dāng)σ0≤σs時(shí)，改進(jìn)的Poyting-Thomson模型的蠕變曲線如圖5所示．

圖5 改進(jìn)的模型的蠕變曲線示意圖

當(dāng)σ0>σs時(shí)，E1=E2=10 MPa，σ0=10 MPa，η2=η2=10 MPa·d，n取不同大小的值，從而可以得到改進(jìn)的Poyting-Thomson模型的蠕變曲線如圖6所示．

圖6 不同n值下的模型蠕變曲線

根據(jù)圖2、圖5與圖6中的蠕變曲線特點(diǎn)可知，當(dāng)應(yīng)力σ0>σs時(shí)，改進(jìn)后的Poyting-Thomson模型不僅可以模擬穩(wěn)態(tài)蠕變階段，而且可以模擬亞穩(wěn)態(tài)蠕變階段，當(dāng)σ0>σs時(shí)，通過對(duì)模型中的參數(shù)賦予不同的值，新模型可以模擬巖石的不同性態(tài)的蠕變?nèi)^程．

2 模型參數(shù)的確定

2.1 模型參數(shù)辨識(shí)方法

本文建立的四元件模型中共有5參數(shù)，所以參數(shù)的確定與其他模型參數(shù)確定相比具有很大的優(yōu)勢，這5個(gè)參數(shù)分別為；η1，n，E1，E2，η2，當(dāng)σ0≤σs時(shí)，此時(shí)流變模型中只有η，E1，E2，η24個(gè)參數(shù)，利用試驗(yàn)曲線結(jié)合最小二乘法可以準(zhǔn)確地確定這4個(gè)參數(shù)，當(dāng)σ0>σs時(shí)，由于式中含有t的冪函數(shù)，為了得到更加精確的參數(shù)值，不宜再用最小二乘法，而是采用流變曲線分解法，即通過分析試驗(yàn)曲線中的應(yīng)變率的變換特點(diǎn)，從而可以得出穩(wěn)定蠕變與加速蠕變的臨界時(shí)間tc，在tc之前利用最小二乘法擬合得到η，E1，E2，η24個(gè)參數(shù)，然后利用這4個(gè)參數(shù)得到巖石蠕變?nèi)糖€，然后將試驗(yàn)曲線與得到的全程模擬曲線進(jìn)行做差可以得到相應(yīng)的差值，該差值為時(shí)間的函數(shù)，將該差值對(duì)時(shí)間t進(jìn)行冪函數(shù)形式的擬合，從而可以得到流變指數(shù)n，至此，流變模型中的所有參數(shù)全部得出．

2.2 四元件非線性黏彈塑性模型參數(shù)辨識(shí)

本文通過引用邱賢德等[13]人的長山巖蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)曲線以及鄧榮貴等[14]人的巖石蠕變數(shù)據(jù)來進(jìn)行驗(yàn)證模型的可靠性與正確性．初始應(yīng)力為14.72 MPa條件下的長山巖單軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)曲線如圖7所示．

圖7 巖石蠕變?cè)囼?yàn)曲線

為了檢驗(yàn)本文所改進(jìn)的Poyting-Thomson模型的正確性及可靠性，這里擬用經(jīng)典的Burgers模型，未改進(jìn)的Poyting-Thomson模型，以及改進(jìn)的Poyting-Thomson模型分別對(duì)圖7中的長山巖蠕變曲線進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖8所示．

圖8 巖石試驗(yàn)數(shù)據(jù)及模型擬合曲線

模型E1/MPaE2/MPaη1/(MPa·h)η2/(MPa·h)n改進(jìn)的P?T模型82．34295．3918737947210．021．09未改進(jìn)的P?T模型332．034．39153．05//Burgers模型18．44272002．06911．52522．28/

本文這里還對(duì)鄧榮貴等人的巖石蠕變?cè)囼?yàn)曲線進(jìn)行擬合，該試驗(yàn)是在單軸壓力為0.7 MPa下的巖石蠕變?cè)囼?yàn)，其巖石蠕變數(shù)據(jù)如圖9所示．

圖9 巖石蠕變?cè)囼?yàn)曲線

這里仍用上述3種模型對(duì)蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，模型擬合結(jié)果如圖10所示．

圖10 巖石試驗(yàn)數(shù)據(jù)及模型擬合曲線

模型E1/MPaE2/MPaη1/(MPa·h)η2/(MPa·h)n改進(jìn)的P?T模型26．5271．08771483．864908．090．42未改進(jìn)的P?T模型88．191．9468．06//Burgers模型363．1452317．63673．7197．28/

通過圖8與圖10中模型的擬合曲線可知，改進(jìn)后的Poyting-Thomson流變模型較未改進(jìn)的Poyting-Thomson流變模型以及經(jīng)典的Burgers模型對(duì)巖石的蠕變數(shù)據(jù)擬合程度更好，這表明改進(jìn)后的Poyting-Thomson模型的正確性及可靠性．

3 結(jié) 論

1)本文通過在Poyting-Thomson流變模型的基礎(chǔ)上引進(jìn)非線性流變?cè)?，建立新的四元件形式的非線性黏彈塑性流變模型，并推導(dǎo)了對(duì)應(yīng)的本構(gòu)方程及蠕變方程，并且對(duì)其流變特性進(jìn)行了深入的探究，從中得出該模型具有以下特點(diǎn)：當(dāng)σ0≤σs時(shí)，該模型能夠較好地描述巖石蠕變的衰減階段及穩(wěn)定階段，當(dāng)σ0>σs時(shí)，該模型能夠較好地模擬巖石蠕變?nèi)^程．

2)將本文建立的模型、傳統(tǒng)的Poyting-Thomson流變模型以及經(jīng)典Burgers模型分別對(duì)與長山巖與水電站壩區(qū)斷層巖石蠕變?cè)囼?yàn)曲線進(jìn)行擬合．根據(jù)擬合結(jié)果可知，改進(jìn)后的Poyting-Thomson模型對(duì)巖石的蠕變數(shù)據(jù)擬合程度更高，這表明了本文建立的改進(jìn)后的Poyting-Thomson模型的正確性．

[1] 康永剛，張秀娥．一種改進(jìn)的巖石蠕變本構(gòu)模型[J]．巖土力學(xué)，2014，35(4):1049-1055．

[2] 周家文，徐衛(wèi)亞，楊圣奇．改進(jìn)的廣義Bingham巖石蠕變模型[J]．水利學(xué)報(bào)，2006，34(7):827-830．

[3] 殷德順，任俊娟，和成亮，等．一種新的巖土流變模型元件[J]．巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2007，26(9):1899-1903．

[4] 李成波，李建新，施行覺．高溫下砂巖穩(wěn)態(tài)蠕變規(guī)律的實(shí)驗(yàn)研究[J]．科學(xué)技術(shù)與工程，2015，26(15):201-205．

[5] 朱昌星，阮懷寧，朱珍德，等．巖石非線性蠕變損傷模型的研究[J]．巖土工程學(xué)報(bào)，2008，30(10):1510-1513．

[6] 徐衛(wèi)亞，楊圣奇，褚衛(wèi)江．巖石非線性黏彈塑性流變模型(河海模型)及其應(yīng)用[J]．巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2006，25(3):433-447．

[7] 宋勇軍，雷勝友．基于分?jǐn)?shù)階微積分的巖石非線性蠕變損傷力學(xué)模型[J]．地下空間與工程學(xué)報(bào)，2013，9(1):91-95．

[8] 曹 平，劉業(yè)科，蒲成志，等．一種改進(jìn)的巖石黏彈塑性加速蠕變力學(xué)模型[J]．中南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，42(1):142-146．

[9] 曹文貴，袁靖周，王江營，等．考慮加速蠕變的巖石蠕變過程損傷模擬方法[J]．湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，40(2):15-20．

[10] 康永剛，張秀娥．基于Burgers模型的巖石非定常蠕變模型[J]．巖土力學(xué)，2011(S1):424-427．

[11] 張治亮，徐衛(wèi)亞，王如賓，等．含弱面砂巖非線性黏彈塑性流變模型研究[J]．巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2011，30(S1):2634-2639．

[12] 徐衛(wèi)亞，楊圣奇，謝守益，等．綠片巖三軸流變力學(xué)特性的研究(II):模型分析[J]．巖土力學(xué)，2005，26(5):693-698．

[13] 邱賢德，姜永東，閻宗嶺，等．巖鹽的蠕變損傷破壞分析[J]．重慶大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003，26(5):106-109．

[14] 鄧榮貴，周德培，張倬元，等．一種新的巖石流變模型[J]．巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2001，20(6):780-784．