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        “幾何概型”的教學(xué)設(shè)計(jì)*

        2018-03-23 09:21:44趙思林
        關(guān)鍵詞:概型扇形古典

        王 佩 趙思林

        內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641112) 四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 (610068)

        “幾何概型”既是教學(xué)的重點(diǎn),又是教學(xué)的難點(diǎn).在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)之前認(rèn)真研讀了教材和相關(guān)期刊論文,以“幾何概型”教學(xué)已有研究成果作為教學(xué)設(shè)計(jì)的理論依據(jù),對(duì)“幾何概型”的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)難點(diǎn)、教學(xué)內(nèi)容安排順序等作了分析,對(duì)教材的加工與處理作了說(shuō)明.下面是對(duì)“幾何概型”的教學(xué)設(shè)計(jì).

        一、教材分析

        (一)教學(xué)內(nèi)容與重要性分析

        “幾何概型”是人教A版數(shù)學(xué)3(必修)第三章“概率”第三節(jié)的內(nèi)容,安排在“隨機(jī)事件的概率”和“古典概型”之后,其上位知識(shí)為概率的統(tǒng)計(jì)定義和等可能事件定義,下位知識(shí)為運(yùn)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)估計(jì)幾何概型的概率等內(nèi)容.“幾何概型”是新課程新增加的內(nèi)容之一,數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將其定位為:信息化的現(xiàn)代社會(huì)“統(tǒng)計(jì)和概率的基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)成為一個(gè)未來(lái)公民的必備常識(shí)”[1].“幾何概型”在概率論中占有重要的地位,它將古典概型中等可能事件數(shù)量從有限推廣到了無(wú)限,更廣泛地滿足隨機(jī)模擬的需要,進(jìn)一步完善了人類對(duì)概率模型的認(rèn)識(shí)[2].

        (二)教學(xué)難點(diǎn)分析

        “幾何概型”的特點(diǎn)(特征)指的是幾何概型所特有的性質(zhì),是其區(qū)別于其他概型的關(guān)鍵.因此不能僅把等可能性與無(wú)限性作為幾何概型的特征,還應(yīng)加上連續(xù)性.舉一個(gè)典型的反例[3]:在全體實(shí)數(shù)中取一個(gè)數(shù),求取到有理數(shù)的概率.這個(gè)試驗(yàn)中的基本事件是等可能的,有無(wú)數(shù)個(gè),滿足幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn),但是不能用幾何概型來(lái)解決.究其原因是忽略了幾何概型中,基本事件之間應(yīng)具有連續(xù)性.由于實(shí)數(shù)集R具有稠密性,即兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù),既有有理數(shù),也有無(wú)理數(shù).而有理數(shù)集也具有稠密性,即兩個(gè)不相等的有理數(shù)之間有無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)和無(wú)理數(shù).因此,基本事件之間,即取出的無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)之間,必然含有無(wú)理數(shù),故不具有連續(xù)性.順便說(shuō)明,連續(xù)性這一特征,在高中學(xué)生初步體會(huì)幾何概型時(shí),勿需操之過(guò)急向?qū)W生介紹,因?yàn)檫B續(xù)的嚴(yán)格定義現(xiàn)行教材不作要求.

        (三)內(nèi)容安排順序分析

        “幾何概型”在人教A版數(shù)學(xué)3(必修)中,教學(xué)內(nèi)容安排的順序如下:復(fù)習(xí)兩種計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率的方法(一是實(shí)驗(yàn)法;二是古典概型法)→引入現(xiàn)實(shí)生活中可能出現(xiàn)無(wú)限多個(gè)結(jié)果的具體實(shí)例:如一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是某時(shí)間段的任何一個(gè)時(shí)刻;往一個(gè)方格中投一個(gè)石子,石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)上→通過(guò)轉(zhuǎn)盤游戲,從古典概型中扇形區(qū)域B所占?jí)K數(shù),向扇形區(qū)域B圓弧長(zhǎng)度過(guò)渡→抽象概括幾何概型概念及概率計(jì)算公式→例題:某人午覺(jué)醒來(lái),發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機(jī),想聽電臺(tái)報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.

        筆者的教學(xué)設(shè)計(jì),本著簡(jiǎn)化問(wèn)題,簡(jiǎn)化思維,簡(jiǎn)化研究的理念,欲充分體現(xiàn)幾何概型的本質(zhì)、核心,在準(zhǔn)確理解教材編寫意圖的情況下,補(bǔ)充、調(diào)整教材內(nèi)容.如下:復(fù)習(xí)古典概型的基本特點(diǎn)和計(jì)算公式→問(wèn)題引入:當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件有無(wú)限多個(gè)時(shí),如果概率存在,能否用古典概型來(lái)計(jì)算事件發(fā)生的概率?→通過(guò)多角度分析轉(zhuǎn)盤游戲引入新知,從古典概型中扇形區(qū)域B所占?jí)K數(shù),到扇形區(qū)域B所占面積,再到扇形區(qū)域B所占圓弧長(zhǎng)度→抽象概括幾何概型概念及概率計(jì)算公式→概率計(jì)算公式數(shù)學(xué)化、符號(hào)化→范例與練習(xí):在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子,從中隨機(jī)取出10ml,求含麥銹病種子的概率[4].

        二、對(duì)教材加工與處理的說(shuō)明

        (一)更換教材引入的說(shuō)明

        教材引入:“一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是某時(shí)間段的任何一個(gè)時(shí)刻;往一個(gè)方格中投一個(gè)石子,石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)上.”[5]雖然這兩例均來(lái)自于具體的生活情境,能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切關(guān)聯(lián),且學(xué)生容易獲得“基本事件有無(wú)限個(gè)”的感性認(rèn)識(shí),但這會(huì)增加學(xué)生對(duì)“背景知識(shí)”加工的“組塊”量,如為理解“任何一個(gè)時(shí)刻”的無(wú)限性,需事先了解或課上補(bǔ)充,比秒更小的時(shí)間單位有:毫秒、微秒、納米秒、皮秒、飛秒、阿托秒等.因此,筆者決定,以簡(jiǎn)單、直接的數(shù)學(xué)問(wèn)題:“當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件有無(wú)限多個(gè)時(shí),如果概率存在,能否用古典概型來(lái)計(jì)算事件發(fā)生的概率?”引入新課.

        (二)多角度分析轉(zhuǎn)盤的說(shuō)明

        將教材對(duì)于轉(zhuǎn)盤游戲的分析為“塊數(shù)——長(zhǎng)度”,補(bǔ)充、調(diào)整為“塊數(shù)——面積——長(zhǎng)度”.這樣調(diào)整的原因有三:一是解決如何在實(shí)際背景中確定事件幾何區(qū)域的困惑;二是重點(diǎn)突出有限到無(wú)限的思維過(guò)渡;三是通過(guò)扇形面積與圓弧長(zhǎng)度的一一對(duì)應(yīng),更自然地實(shí)現(xiàn)“面積——長(zhǎng)度”的過(guò)渡,避免直接從塊數(shù)到“塊數(shù)——長(zhǎng)度”的突然性.

        (三)更換例題的說(shuō)明

        由于在分析轉(zhuǎn)盤游戲時(shí),已經(jīng)討論過(guò)當(dāng)基本事件構(gòu)成的幾何區(qū)域?yàn)槊娣e和長(zhǎng)度的情況,因此想通過(guò)再討論“體積”,使學(xué)生全面感悟怎樣構(gòu)造適當(dāng)?shù)膸缀螆D形.而教材中的例1仍是“長(zhǎng)度”,故將其更換為來(lái)自蘇教版數(shù)學(xué)3(必修)中“體積”的例題.

        三、“幾何概型”教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

        (一)復(fù)習(xí)舊知

        思考請(qǐng)同學(xué)們回憶古典概型的基本特點(diǎn)和計(jì)算公式.

        基本特點(diǎn):1. 試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè);2. 每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.簡(jiǎn)言之,古典概型中基本事件的兩個(gè)特點(diǎn),分別為有限性和等可能性.

        設(shè)計(jì)意圖:利用古典概型與即將學(xué)習(xí)的幾何概型之間的內(nèi)在聯(lián)系,特別是蘊(yùn)涵在古典概型中的數(shù)學(xué)思想方法,啟發(fā)和引導(dǎo)同學(xué)們學(xué)習(xí)類比、推廣、特殊化、化歸等數(shù)學(xué)思考的常用邏輯方法.

        問(wèn)題1 當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件有無(wú)限多個(gè)時(shí),如果概率存在,能否用古典概型來(lái)計(jì)算事件發(fā)生的概率?

        設(shè)計(jì)意圖:不能,因?yàn)橐巡环瞎诺涓判椭杏邢扌缘臈l件,那到底該如何計(jì)算,據(jù)此引出新知——幾何概型.學(xué)習(xí)始于疑問(wèn),通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題,引出需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容,使學(xué)生的學(xué)習(xí)更主動(dòng)、更生動(dòng)、更富探索性.

        (二)探究新知

        1.問(wèn)題情境

        如圖1,圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲.規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí),甲獲勝,否則乙獲勝.在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少[5]?

        圖1

        思考方法一:有限—古典概型

        分析1:將指針指向某個(gè)扇形區(qū)域,作為基本事件,從圖中觀察到扇形區(qū)域的個(gè)數(shù)為有限個(gè),這符合古典概型的有限性,據(jù)此聯(lián)想考察基本事件是否具有等可能性這一特點(diǎn),若不具有,則需要構(gòu)造等可能事件,反之,直接使用古典概型概率計(jì)算公式即可.

        圖2 圖3

        設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生從已學(xué)過(guò)的古典概型,找到解決問(wèn)題的靈感,如通過(guò)從未知向已知轉(zhuǎn)化,復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化,新知識(shí)向舊知識(shí)轉(zhuǎn)化等化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法,尋求學(xué)習(xí)新知識(shí)幾何概型最經(jīng)濟(jì)的思維路徑;通過(guò)彌補(bǔ)教材中問(wèn)題情境的小瑕疵,即說(shuō)明轉(zhuǎn)盤(2)中5個(gè)扇形區(qū)域的面積相等,使學(xué)生明確數(shù)學(xué)是不存在絲毫的含糊,數(shù)學(xué)中每一步演繹推理都應(yīng)是合情合理的.

        思考方法二:無(wú)限—面積

        點(diǎn)是幾何中最基本的組成部分,線是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)連接而成的,面是由無(wú)數(shù)條線組成的.因此面也是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)形成的.

        分析2:將指針指向扇形區(qū)域上的某個(gè)點(diǎn),作為基本事件,由于扇形區(qū)域上的點(diǎn)有無(wú)限多個(gè),因此有無(wú)限多個(gè)基本事件,此時(shí)顯然已不能用古典概型計(jì)算甲獲勝的概率.但是仍有和古典概型相同的地方,即指針指向扇形區(qū)域上的每個(gè)點(diǎn)的可能性相等.

        問(wèn)題2:如果要求甲獲勝的概率,這個(gè)概率會(huì)和什么有關(guān)?

        設(shè)計(jì)意圖:突出從有限思維到無(wú)限思維的過(guò)渡;甲獲勝的概率與扇形區(qū)域B所在的總面積有關(guān),并且使學(xué)生感知換一個(gè)角度分析與探究問(wèn)題后,它與古典概型的區(qū)別與聯(lián)系.

        圖4 圖5

        思考方法三:無(wú)限—長(zhǎng)度

        問(wèn)題3:能否由扇形區(qū)域面積變成相對(duì)應(yīng)的圓弧的長(zhǎng)度?

        分析3:將指針指向扇形區(qū)域?qū)?yīng)圓弧上的某個(gè)點(diǎn),作為基本事件.因?yàn)榍€圓弧上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),且指針指向圓弧上的每個(gè)點(diǎn)等可能,所以基本事件有無(wú)限多個(gè),且等可能.

        圖6 圖7

        設(shè)計(jì)意圖:對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題從三種不同角度,進(jìn)行分析與探究,不僅培養(yǎng)了學(xué)生思維的發(fā)散性、選擇性、靈活性,而且還讓學(xué)生認(rèn)知甲獲勝的概率與字母B所在區(qū)域的位置無(wú)關(guān),只要字母B所在扇形區(qū)域的面積(或圓弧的長(zhǎng)度)不變這一本質(zhì),不管這些區(qū)域是相鄰,還是不相鄰,甲獲勝的概率都是不變的.

        2.幾何概型

        文字定義:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱為幾何概型.

        在幾何概型中,事件A的概率的計(jì)算公式如下:

        符號(hào)化定義:公式中的d、D并非肆意選取,而是引用自蘇教版數(shù)學(xué)3(必修)[4].

        設(shè)計(jì)意圖:(1)通過(guò)多角度地分析轉(zhuǎn)盤游戲,感悟其中蘊(yùn)含的等可能事件從有限向無(wú)限的延伸,經(jīng)歷不斷的從具體到抽象、從特殊到一般的抽象概括活動(dòng)來(lái)理解和掌握幾何概型;(2)數(shù)學(xué)符號(hào)是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)的表示、運(yùn)算、推理和解決問(wèn)題的工具,具有簡(jiǎn)約思維、提高效率、便于交流的功能[6].在符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)過(guò)程中,還需根據(jù)不同學(xué)段的內(nèi)容和要求作進(jìn)一步的細(xì)化說(shuō)明.故在本教學(xué)設(shè)計(jì)中,將幾何概型概率的計(jì)算公式用特定符號(hào)精煉表達(dá),使其組塊占據(jù)記憶空間少且易于提?。?/p>

        (三)范例與練習(xí)

        試一試:在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子,從中隨機(jī)取出10ml,含麥銹病種子的概率是多少[4]?

        設(shè)計(jì)意圖:學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用,通過(guò)為學(xué)生提供應(yīng)用幾何概型,解決當(dāng)構(gòu)成事件的區(qū)域?yàn)轶w積的問(wèn)題,以使同學(xué)們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際的聯(lián)系,并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決一些實(shí)際問(wèn)題.

        (四)回顧小結(jié)

        1.知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

        在知識(shí)小結(jié)環(huán)節(jié),筆者采用李善良[7]的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

        2.數(shù)學(xué)思想的提煉

        本節(jié)課用了符號(hào)化思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、整體思想、模型思想等數(shù)學(xué)思想.

        3.反思

        反思本節(jié)課還有哪些地方?jīng)]有學(xué)好、沒(méi)有學(xué)會(huì)?能提出想進(jìn)一步研究的問(wèn)題嗎?

        設(shè)計(jì)意圖:對(duì)知識(shí)的脈絡(luò)進(jìn)行整理、加工,構(gòu)造、整理出知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,可以幫助學(xué)生直觀地掌握方法,勝過(guò)許多文字[7];弗萊登塔爾說(shuō):反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力,通過(guò)自我提問(wèn)、反思,使課堂具有反思性和生長(zhǎng)性等特點(diǎn).

        (五)課后作業(yè)

        1.復(fù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容;

        2.作業(yè):第142頁(yè),習(xí)題A組1,2,3題;

        3. 思考題:舉例說(shuō)明幾何概型中概率為0的事件不是不可能事件,概率為1的事件不是必然事件;

        4.預(yù)習(xí):均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生.

        設(shè)計(jì)意圖:及時(shí)復(fù)習(xí)所學(xué),使其融匯貫通;必要練習(xí),加深對(duì)概念本質(zhì)的理解;思考題是利用本課所學(xué)的幾何概型作為生長(zhǎng)點(diǎn),提出進(jìn)一步研究的問(wèn)題;預(yù)習(xí)有助于提升教學(xué)質(zhì)量,如果學(xué)生通過(guò)預(yù)習(xí)具備了一定的知識(shí)基礎(chǔ),教學(xué)的效率和效益都能夠得到提升,且課堂聽課環(huán)節(jié)更具有針對(duì)性.

        四、教學(xué)設(shè)計(jì)后的感想

        本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)是在應(yīng)用一些學(xué)科專家的研究成果和自己的思考下完成的,真感文獻(xiàn)學(xué)習(xí)重要(可以少走彎路,理論指導(dǎo)實(shí)踐),真感教材研究重要,真感教學(xué)設(shè)計(jì)不易.

        [1] 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)) [M].北京:人民教育出版社,2003.

        [2] 葉立軍,王曉楠.中美高中數(shù)學(xué)教材比較研究—以“幾何概型”為例[J].?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2012,(2):49-52.

        [3] 孫福明.“幾何概型”教學(xué)必須關(guān)注的三個(gè)問(wèn)題[J].教育研究與評(píng)論(中學(xué)教育教學(xué)版),2011,(10):77-80.(注:人大復(fù)印全文轉(zhuǎn)載)

        [4] 單墫,李善良,等. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)3(必修) [M].江蘇:鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán),2012:106-110.

        [5] 張淑梅,劉紹學(xué),等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)3(必修)(A版) [M].北京:人民教育出版社,2007:135-136.

        [6] 唐乃明.淺談如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育,2015,(12):38-39.(注:人大復(fù)印全文轉(zhuǎn)載)

        [7] 李善良.高中數(shù)學(xué)課堂小結(jié)的現(xiàn)狀分析[J].課程·教材·教法,2015,(2):63-68. (注:人大復(fù)印全文轉(zhuǎn)載)

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