毛建江,張順利

(浙江省建工建筑設(shè)計(jì)院有限公司,浙江 杭州 310030)

某內(nèi)燃機(jī)修理車間需要設(shè)計(jì)一條供內(nèi)燃機(jī)停放和行駛的軌道。軌道長(zhǎng)180 m,內(nèi)燃機(jī)總重1 000 kN,共有4條承重軸,間距為2、5、2 m,軸重按均勻分布計(jì)算,即每個(gè)軸重250 kN。內(nèi)力分析是該基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。

1 有限長(zhǎng)度的文克爾(Winkler)

顯然,這屬于文克爾梁。根據(jù)文獻(xiàn)[1],在集中荷載P作用下,文克爾梁的解為

y=Aeβxcosβx+Beβxsinβx+Ce-βxcosβx+De-βxsinβx

其中的常數(shù)A、B、C、D由“邊界條件”確定。

設(shè)梁長(zhǎng)度為L(zhǎng),坐標(biāo)原點(diǎn)建在梁的左端。集中力為P,作用位置為c。顯然,在c點(diǎn)以左和以右,不能用同一個(gè)函數(shù)來(lái)表達(dá)。我們可將c點(diǎn)以左的函數(shù)記為w1,c點(diǎn)以右記為w2。為了驗(yàn)算方便我們可記

y1=eβxcosβx
y2=eβxsinβx
y3=e-βxcosβx
y4=e-βxsinβx

并將待定系數(shù)看成變量,則

w1=y1x1+y2x2+y3x3+y4x4
w2=y1x5+y2x6+y3x7+y4x8

根據(jù)邊界條件,當(dāng)x=0時(shí),彎矩和剪力均為0；當(dāng)x=c時(shí),左右兩個(gè)函數(shù)的位移、斜率、彎矩相等,剪力之差恰好為集中力P；當(dāng)x=L時(shí),彎矩和剪力均為0,故有用矩陣表達(dá)的線性方程：

由此可求得各項(xiàng)待定系數(shù)。其中的各階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式見表1。

表1 原函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

求得各項(xiàng)待定系數(shù)以后,對(duì)于任意給定位置x=ξ,當(dāng)ξ≤c時(shí),彎矩和剪力可寫成

V(ξ)=-EI[y?1(ξ)x1+y?2(ξ)x2+y?3(ξ)x3+

y?4(ξ)x4]

當(dāng)ξ≥c時(shí),彎矩和剪力可寫成

V(ξ)=-EI[y?1(ξ)x5+y?2(ξ)x6+y?3(ξ)x7+

y?4(ξ)x8]

以上討論的是一個(gè)集中力P作用于點(diǎn)c的情況。對(duì)于一組集中力(可記作Pi、ci)可采用疊加原理,計(jì)算任意位置的內(nèi)力。當(dāng)一組集中力為移動(dòng)荷載時(shí),可作包絡(luò)分析。

2 參數(shù)的選用

在初步選定基礎(chǔ)截面后,基床系數(shù)的選定是關(guān)鍵。基床系數(shù)一般宜由地質(zhì)勘察單位根據(jù)地基土層分布情況確定,并在勘察報(bào)告中載明。當(dāng)?shù)鼗容^簡(jiǎn)單且基礎(chǔ)工程量較小時(shí),也可以參照表2[2]。表2中的“土的編號(hào)”為后文所引用。對(duì)于彈性地基上的梁,基床系數(shù)應(yīng)按上表選定后再乘以基礎(chǔ)寬度。即kb=b×k。得到kb后,即可計(jì)算β：

表2 基床系數(shù)k值

3 計(jì)算分析

以上的計(jì)算需要大量的步驟,特別是作包絡(luò)設(shè)計(jì),更是無(wú)法用手工計(jì)算的。但是對(duì)編程而言,是很簡(jiǎn)單的。筆者利用office自帶的VBA平臺(tái)編制了一段小程序。以下的分析數(shù)據(jù)來(lái)源,即該自編程序。

在本工程中,選定基礎(chǔ)寬度b為1 900 mm,高度為350 mm,混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C35。地基土為可塑黏土,k=30 000 kN/m3(取中間值),kb=57 000 kN/m2。β=0.508 08。

根據(jù)文獻(xiàn)[1],當(dāng)βL>5時(shí),可按無(wú)限長(zhǎng)梁設(shè)計(jì)。這意味著,當(dāng)βL>5時(shí),在5/β范圍內(nèi)的內(nèi)力分布,與梁的實(shí)際長(zhǎng)度幾乎無(wú)關(guān),而對(duì)于那些x>5/β的點(diǎn),內(nèi)力幾乎為0。因此,當(dāng)實(shí)際梁的長(zhǎng)度超過(guò)5/β時(shí),可按5/β計(jì)算,這樣可以節(jié)約大量的計(jì)算時(shí)間。對(duì)于存在多個(gè)集中力同時(shí)作用的情況,計(jì)算長(zhǎng)度應(yīng)在5/β的基礎(chǔ)上加上一組荷載的總長(zhǎng)度(最左側(cè)集中力至最右側(cè)集中力之間的距離)。例如本工程,荷載的總長(zhǎng)度為9 m,加上5/β后,總長(zhǎng)度可取19 m。計(jì)算表明,當(dāng)梁長(zhǎng)度按實(shí)際(180 m)計(jì)算時(shí),最大彎矩發(fā)生在x=9 m處,彎矩值為112.079 kN·m；將梁的長(zhǎng)度改作19 m時(shí),最大彎矩的位置不變,其值為112.090 kN·m,兩者之間的誤差,完全可以為工程設(shè)計(jì)所接受。

從方程本身來(lái)看,在給定梁的長(zhǎng)度和荷載以后,β是影響內(nèi)力分布的位移因素。而β又取決于基床系數(shù)k和截面EI的比值。因此在基礎(chǔ)梁截面不變的情況下,基床系數(shù)就是影響內(nèi)力分布的位移因素。

為了研究基床系數(shù)對(duì)內(nèi)力分布的影響,我們將梁長(zhǎng)度設(shè)為54 m,對(duì)于各種土,均滿足L>9+5/β的要求。集中力100 kN作用于梁的中心點(diǎn),若將基床系數(shù)取各種類別土的中間值,那么中心點(diǎn)的彎矩對(duì)比見表3。由此可見,從中可以明顯看出,基床系數(shù)越大,彎矩越小。這意味著基床系數(shù)越大,集中力分散到基床的范圍越小。

對(duì)于一組移動(dòng)荷載的情況,應(yīng)在以上分析的基礎(chǔ)上再作包絡(luò)分析。

為了研究這個(gè)問(wèn)題,我們將梁的長(zhǎng)度置為27 m,荷載組作用于梁的左端。初始移動(dòng)量置為0,最終移動(dòng)量置為18 m,即將荷載組從梁的最左端移動(dòng)到最右端,每次移動(dòng)0.5 m。計(jì)算結(jié)果見表4。從表4中可以看出,最小彎矩總是與移動(dòng)量為0相對(duì)應(yīng),即發(fā)生于當(dāng)荷載作用于最左端時(shí)。而最大彎矩的位置隨著基床系數(shù)的變化而變化,但總體來(lái)說(shuō),荷載集中在端部附近,最大彎矩發(fā)生在第一個(gè)集中荷載下。

表3 土的基床系數(shù)對(duì)內(nèi)力分布的影響

表4 基床系數(shù)對(duì)荷載組內(nèi)力分布的影響

從表4中可以看出,最大、最小彎矩隨著基床系數(shù)的變大而變小。

從表4還可以看出,對(duì)于各種不同的基床系數(shù),除非采用計(jì)算的手段,要判別最大彎矩發(fā)生時(shí)的最不利位置,則是困難的。

根據(jù)工程勘察報(bào)告,本工程的地層分布情況如下：第1層為素填土,基底以下的厚度約為1～1.5 m,挖盡后用塘渣回填；第2層為粉質(zhì)黏土,稍濕,可塑,厚度約為4 m,Es1-2=10.73 MPa；第三層為粉土,中密,很濕,局部夾有薄層粉質(zhì)黏土,可塑,稍濕,厚度約為2 m,Es1-2=13.27 MPa；第4層為粉質(zhì)黏土,硬塑,厚度約為8 m,Es1-2=12.75 MPa。本工程地質(zhì)勘察報(bào)告未提供基床系數(shù),鑒于工程量小,為安全計(jì),判別為“可塑黏土、粉質(zhì)黏土”,根據(jù)表2可知,土編號(hào)為4,故應(yīng)按彎矩(標(biāo)準(zhǔn)值)120 kN·m進(jìn)行基礎(chǔ)梁的正截面強(qiáng)度設(shè)計(jì)。若采用分段配筋,那么兩端的9 m范圍內(nèi)可按最大彎矩120 kN·m,-120 kN·m設(shè)計(jì),中間段可按110 kN·m,-81 kN·m設(shè)計(jì)。

若采用倒樓蓋分析法,取梁的長(zhǎng)度為荷載的總長(zhǎng)度即9 m,均布荷載為111.11 kN/m,支座設(shè)在x=0、2、7、9 m的位置(梁的左端為坐標(biāo)原點(diǎn)),得到的彎矩值為194.3 kN·m 、-153.0 kN·m。與彈性地基梁分析結(jié)果具有巨大的差異。

4 結(jié) 語(yǔ)

本工程所設(shè)置的軌道基礎(chǔ),若用“倒樓蓋”的方法進(jìn)行設(shè)計(jì),將會(huì)造成浪費(fèi)。實(shí)際選用的計(jì)算長(zhǎng)度,可按荷載長(zhǎng)度外加5/β。基床系數(shù)越大,彈性地基梁的內(nèi)力越大。故最大彎矩的計(jì)算,應(yīng)采用包絡(luò)計(jì)算法。

[1] [美]S. 鐵摩辛柯. 材料力學(xué)(高等理論及問(wèn)題)[M ]. 汪一麟,譯. 北京：科學(xué)出版社,1965.

[2] 顧曉魯.地基與基礎(chǔ)[M]. 北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社, 2003.