毛建江,張順利

(浙江省建工建筑設(shè)計院有限公司,浙江 杭州 310030)

某內(nèi)燃機修理車間需要設(shè)計一條供內(nèi)燃機停放和行駛的軌道。軌道長180 m,內(nèi)燃機總重1 000 kN,共有4條承重軸,間距為2、5、2 m,軸重按均勻分布計算,即每個軸重250 kN。內(nèi)力分析是該基礎(chǔ)設(shè)計的關(guān)鍵。

1 有限長度的文克爾(Winkler)

顯然,這屬于文克爾梁。根據(jù)文獻[1],在集中荷載P作用下,文克爾梁的解為

y=Aeβxcosβx+Beβxsinβx+Ce-βxcosβx+De-βxsinβx

其中的常數(shù)A、B、C、D由“邊界條件”確定。

設(shè)梁長度為L,坐標(biāo)原點建在梁的左端。集中力為P,作用位置為c。顯然,在c點以左和以右,不能用同一個函數(shù)來表達。我們可將c點以左的函數(shù)記為w1,c點以右記為w2。為了驗算方便我們可記

y1=eβxcosβx
y2=eβxsinβx
y3=e-βxcosβx
y4=e-βxsinβx

并將待定系數(shù)看成變量,則

w1=y1x1+y2x2+y3x3+y4x4
w2=y1x5+y2x6+y3x7+y4x8

根據(jù)邊界條件,當(dāng)x=0時,彎矩和剪力均為0；當(dāng)x=c時,左右兩個函數(shù)的位移、斜率、彎矩相等,剪力之差恰好為集中力P；當(dāng)x=L時,彎矩和剪力均為0,故有用矩陣表達的線性方程：

由此可求得各項待定系數(shù)。其中的各階導(dǎo)數(shù)表達式見表1。

表1 原函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

求得各項待定系數(shù)以后,對于任意給定位置x=ξ,當(dāng)ξ≤c時,彎矩和剪力可寫成

V(ξ)=-EI[y?1(ξ)x1+y?2(ξ)x2+y?3(ξ)x3+

y?4(ξ)x4]

當(dāng)ξ≥c時,彎矩和剪力可寫成

V(ξ)=-EI[y?1(ξ)x5+y?2(ξ)x6+y?3(ξ)x7+

y?4(ξ)x8]

以上討論的是一個集中力P作用于點c的情況。對于一組集中力(可記作Pi、ci)可采用疊加原理,計算任意位置的內(nèi)力。當(dāng)一組集中力為移動荷載時,可作包絡(luò)分析。

2 參數(shù)的選用

在初步選定基礎(chǔ)截面后,基床系數(shù)的選定是關(guān)鍵?；蚕禂?shù)一般宜由地質(zhì)勘察單位根據(jù)地基土層分布情況確定,并在勘察報告中載明。當(dāng)?shù)鼗容^簡單且基礎(chǔ)工程量較小時,也可以參照表2[2]。表2中的“土的編號”為后文所引用。對于彈性地基上的梁,基床系數(shù)應(yīng)按上表選定后再乘以基礎(chǔ)寬度。即kb=b×k。得到kb后,即可計算β：

表2 基床系數(shù)k值

3 計算分析

以上的計算需要大量的步驟,特別是作包絡(luò)設(shè)計,更是無法用手工計算的。但是對編程而言,是很簡單的。筆者利用office自帶的VBA平臺編制了一段小程序。以下的分析數(shù)據(jù)來源,即該自編程序。

在本工程中,選定基礎(chǔ)寬度b為1 900 mm,高度為350 mm,混凝土強度等級為C35。地基土為可塑黏土,k=30 000 kN/m3(取中間值),kb=57 000 kN/m2。β=0.508 08。

根據(jù)文獻[1],當(dāng)βL>5時,可按無限長梁設(shè)計。這意味著,當(dāng)βL>5時,在5/β范圍內(nèi)的內(nèi)力分布,與梁的實際長度幾乎無關(guān),而對于那些x>5/β的點,內(nèi)力幾乎為0。因此,當(dāng)實際梁的長度超過5/β時,可按5/β計算,這樣可以節(jié)約大量的計算時間。對于存在多個集中力同時作用的情況,計算長度應(yīng)在5/β的基礎(chǔ)上加上一組荷載的總長度(最左側(cè)集中力至最右側(cè)集中力之間的距離)。例如本工程,荷載的總長度為9 m,加上5/β后,總長度可取19 m。計算表明,當(dāng)梁長度按實際(180 m)計算時,最大彎矩發(fā)生在x=9 m處,彎矩值為112.079 kN·m；將梁的長度改作19 m時,最大彎矩的位置不變,其值為112.090 kN·m,兩者之間的誤差,完全可以為工程設(shè)計所接受。

從方程本身來看,在給定梁的長度和荷載以后,β是影響內(nèi)力分布的位移因素。而β又取決于基床系數(shù)k和截面EI的比值。因此在基礎(chǔ)梁截面不變的情況下,基床系數(shù)就是影響內(nèi)力分布的位移因素。

為了研究基床系數(shù)對內(nèi)力分布的影響,我們將梁長度設(shè)為54 m,對于各種土,均滿足L>9+5/β的要求。集中力100 kN作用于梁的中心點,若將基床系數(shù)取各種類別土的中間值,那么中心點的彎矩對比見表3。由此可見,從中可以明顯看出,基床系數(shù)越大,彎矩越小。這意味著基床系數(shù)越大,集中力分散到基床的范圍越小。

對于一組移動荷載的情況,應(yīng)在以上分析的基礎(chǔ)上再作包絡(luò)分析。

為了研究這個問題,我們將梁的長度置為27 m,荷載組作用于梁的左端。初始移動量置為0,最終移動量置為18 m,即將荷載組從梁的最左端移動到最右端,每次移動0.5 m。計算結(jié)果見表4。從表4中可以看出,最小彎矩總是與移動量為0相對應(yīng),即發(fā)生于當(dāng)荷載作用于最左端時。而最大彎矩的位置隨著基床系數(shù)的變化而變化,但總體來說,荷載集中在端部附近,最大彎矩發(fā)生在第一個集中荷載下。

表3 土的基床系數(shù)對內(nèi)力分布的影響

表4 基床系數(shù)對荷載組內(nèi)力分布的影響

從表4中可以看出,最大、最小彎矩隨著基床系數(shù)的變大而變小。

從表4還可以看出,對于各種不同的基床系數(shù),除非采用計算的手段,要判別最大彎矩發(fā)生時的最不利位置,則是困難的。

根據(jù)工程勘察報告,本工程的地層分布情況如下：第1層為素填土,基底以下的厚度約為1～1.5 m,挖盡后用塘渣回填；第2層為粉質(zhì)黏土,稍濕,可塑,厚度約為4 m,Es1-2=10.73 MPa；第三層為粉土,中密,很濕,局部夾有薄層粉質(zhì)黏土,可塑,稍濕,厚度約為2 m,Es1-2=13.27 MPa；第4層為粉質(zhì)黏土,硬塑,厚度約為8 m,Es1-2=12.75 MPa。本工程地質(zhì)勘察報告未提供基床系數(shù),鑒于工程量小,為安全計,判別為“可塑黏土、粉質(zhì)黏土”,根據(jù)表2可知,土編號為4,故應(yīng)按彎矩(標(biāo)準值)120 kN·m進行基礎(chǔ)梁的正截面強度設(shè)計。若采用分段配筋,那么兩端的9 m范圍內(nèi)可按最大彎矩120 kN·m,-120 kN·m設(shè)計,中間段可按110 kN·m,-81 kN·m設(shè)計。

若采用倒樓蓋分析法,取梁的長度為荷載的總長度即9 m,均布荷載為111.11 kN/m,支座設(shè)在x=0、2、7、9 m的位置(梁的左端為坐標(biāo)原點),得到的彎矩值為194.3 kN·m 、-153.0 kN·m。與彈性地基梁分析結(jié)果具有巨大的差異。

4 結(jié) 語

本工程所設(shè)置的軌道基礎(chǔ),若用“倒樓蓋”的方法進行設(shè)計,將會造成浪費。實際選用的計算長度,可按荷載長度外加5/β?；蚕禂?shù)越大,彈性地基梁的內(nèi)力越大。故最大彎矩的計算,應(yīng)采用包絡(luò)計算法。

[1] [美]S. 鐵摩辛柯. 材料力學(xué)(高等理論及問題)[M ]. 汪一麟,譯. 北京：科學(xué)出版社,1965.

[2] 顧曉魯.地基與基礎(chǔ)[M]. 北京：中國建筑工業(yè)出版社, 2003.