胡 偉 傅 軍

（海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院導(dǎo)航工程系 武漢 430033）

1 引言

艦艇航行過(guò)程中，因受到風(fēng)浪作用而產(chǎn)生搖擺，那么與艦艇固連的各種測(cè)量天線將隨同艦艇搖擺，使得這些天線測(cè)量的數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)要進(jìn)行搖擺補(bǔ)償［1～4］，因此數(shù)據(jù)必須在艦艇載體坐標(biāo)系和地理坐標(biāo)系之間進(jìn)行變換［5］。現(xiàn)有的許多描述艦艇坐標(biāo)變換的方法，不僅沒(méi)有說(shuō)明為什么選擇這樣假定，還將姿態(tài)角與歐拉角等同［6～12］。本文就姿態(tài)角和歐拉角的概念進(jìn)行了研究，通過(guò)嚴(yán)格的推導(dǎo)得出了利用姿態(tài)角求解艦艇載體坐標(biāo)系到地理坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣的一種實(shí)用公式。

2 相關(guān)定義說(shuō)明

從文獻(xiàn)［13］中摘錄姿態(tài)角相關(guān)定義：

縱軸：沿運(yùn)載體主體所規(guī)定的運(yùn)動(dòng)方向并通過(guò)設(shè)計(jì)重心的軸。

橫軸：垂直于縱軸，通常與對(duì)稱平面垂直并通過(guò)設(shè)計(jì)重心的軸。沿縱軸正向向右取為正向。

姿態(tài)角：運(yùn)載體首向角、橫搖角、和縱搖角的統(tǒng)稱。如圖1所示。O-XYZ表示地理東北天坐標(biāo)系，O-X′Y′Z′表示載體坐標(biāo)系。

首向角H：從基準(zhǔn)方向順時(shí)針測(cè)得的運(yùn)載體縱軸正向的角度。

橫搖角R：運(yùn)載體橫軸與水平面之間的夾角。以橫軸正向在水平面上為正。

縱搖角P：運(yùn)載體縱軸與水平面之間的夾角。以縱軸正向在水平面上為正。

歐拉角：以z-x1-y2旋轉(zhuǎn)順序?yàn)槔?，如圖2所示。α、β、γ分別為圍繞X、Y、Z軸旋的角度，以逆時(shí)針為正。

3 坐標(biāo)變換實(shí)用公式推導(dǎo)過(guò)程

從定義和圖1、2可以得出：

1）歐拉角≠姿態(tài)角。

2）載體坐標(biāo)系 X'、Y'軸的空間位置確定了姿態(tài)角，進(jìn)一步說(shuō)，X'軸確定橫搖角，Y'確定縱搖角和航向角。

因此，提出兩條推論［7］：

1）當(dāng)橫搖角為0的時(shí)，即 X'在OXY水平面內(nèi)，Y'軸繞X'軸旋轉(zhuǎn)，不會(huì)引起航向H的變化。

2）載體位置確定時(shí)，X'軸繞Y'軸旋轉(zhuǎn)，將引起橫搖角R變化，但不會(huì)引起縱搖角P和航向角H的變化。

一組姿態(tài)角可能對(duì)應(yīng)多組歐拉角，為了簡(jiǎn)化姿態(tài)角與歐拉角之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得姿態(tài)角與歐拉角能夠一一對(duì)應(yīng)。依據(jù)兩條推論，將Z-X1-Y2旋轉(zhuǎn)模型作為艦艇正常航行時(shí)，地理坐標(biāo)系O-XYZ到載體坐標(biāo)系O-X'Y'Z'的旋轉(zhuǎn)模型。

證明及實(shí)用公式推導(dǎo)如下，如圖2所示。

1）第一步繞Z軸旋轉(zhuǎn)γ，得到O-X1Y1Z1，此時(shí) H=-γ，P=0，R=0。

2）第二步繞X1軸旋轉(zhuǎn)α，得到O-X2Y2Z2，此時(shí) H=-γ，P=α，R=0。

3）第三步繞Y2軸旋轉(zhuǎn) β ，得到O-X'Y'Z'，此時(shí) H=-γ，P=α。

令從地理坐標(biāo)系O-XYZ到載體坐標(biāo)系O-X'Y'Z'的旋轉(zhuǎn)矩陣為 R-ZXY，從載體坐標(biāo)系O-X'Y'Z'到地理坐標(biāo)系O-XYZ的旋轉(zhuǎn)矩陣為R-YXZ：

在 X'軸上取點(diǎn)A，在 O-X'Y'Z'中坐標(biāo)為（1，0，0），則 A 點(diǎn) 在 O-XYZ 中 坐 標(biāo) 為 (cos(β)cos(γ)-sin(α)sin(β)sin(γ)， cos(β)sin(γ)+sin(α)sin(β)cos(γ)，-cos(α)sin(β))。因此得到：

在 Z'軸上取點(diǎn)B，在 O-X'Y'Z'中坐標(biāo)為（0，0，1），則 B 點(diǎn) 在 O-XYZ 中 坐 標(biāo) 為 (sin(β)cos(γ)+sin(α)cos(β)sin(γ)， sin(β)sin(γ)-sin(α)cos(β)cos(γ)，cos(α)cos(β))。

艦船正常航行時(shí)的狀態(tài)：

1）艦船桅桿向上，即 O-X'Y'Z'的 Z'軸在O-XYZ中的Z軸分量始終為正，則cos(α)cos(β)＞ 0 。

2）艦船縱橫搖 ||P， ||R＜45°，則式（3）始終成立。

綜上所述，艦艇正常航行時(shí)，姿態(tài)角與歐拉角之間的關(guān)系如下：

從式（5）可知Z-X1-Y2旋轉(zhuǎn)模型在艦艇正常航行時(shí)，不存在奇異值，可作為地理坐標(biāo)系O-XYZ到載體坐標(biāo)系O-X'Y'Z'的旋轉(zhuǎn)模型，且該模型歐拉角與姿態(tài)角一一對(duì)應(yīng)，計(jì)算簡(jiǎn)單。

4 仿真

在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，一些人將姿態(tài)角與歐拉角等同，直接將姿態(tài)角代入旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行計(jì)算，這樣將引入計(jì)算誤差，并且這種誤差不容忽視。

以Z-X1-Y2旋轉(zhuǎn)模型為例，令代入歐拉角的旋轉(zhuǎn)矩陣為R1，計(jì)算后的坐標(biāo)為(x1，y1，z1)，代入姿態(tài)角的旋轉(zhuǎn)矩陣為R2，計(jì)算后的坐標(biāo)為(x2，y2，z2)。

通過(guò)仿真：

1）假設(shè)點(diǎn)A與載體固連，在載體坐標(biāo)系中坐標(biāo)為 (0.1，2，1.5)，載體首向角為 45°，縱搖角為10°，橫 搖 角 范 圍 為 -45°～45°，圖 3 顯 示 的 是dx=x1-x2，dy=y1-y2，dz=z1-z2隨橫搖變化的趨勢(shì)，可以看出坐標(biāo)差較大，不能忽略。

5 結(jié)語(yǔ)

本文從歐拉角、姿態(tài)角的基本定義出發(fā)，結(jié)合艦艇航行的實(shí)際條件，利用Z-X1-Y2坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)模型，推導(dǎo)出一種艦艇坐標(biāo)變換的實(shí)用公式。通過(guò)仿真，表明在實(shí)際應(yīng)用中一些不正確用法所帶來(lái)的誤差是不可忽略的，使用實(shí)用轉(zhuǎn)換公式是必要的。

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