靳海娟

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

自Markowitz的投資組合理論發(fā)表以來(lái)，對(duì)投資組合的選擇問(wèn)題的研究在金融界引起了極大的關(guān)注，并取得了豐碩的成果，同時(shí)也帶動(dòng)了金融經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)等相關(guān)學(xué)科的理論和方法的發(fā)展。

眾所周知，任何投資組合的選擇都是在資產(chǎn)價(jià)格或收益的不確定性條件下得出的。因?yàn)樵趯?shí)際中，對(duì)于某些風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，或是缺乏足夠的歷史數(shù)據(jù)，或者很難獲得樣本數(shù)據(jù)，信息的不完全性或非對(duì)稱(chēng)性，使得人們無(wú)法得到甚至估計(jì)收益的分布形式。

文章就風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率無(wú)法精確知道的情況，結(jié)合不確定性決策的方法，并在考慮交易費(fèi)的情況下建立了以最大最小準(zhǔn)則為條件的投資組合選擇模型，并給出了模型求解的方法。

1 模型的建立

假設(shè)市場(chǎng)中有一個(gè)確定收益率的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和n個(gè)收益率不確定的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，投資者想要在該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和這n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間分配財(cái)富，追求扣除交易費(fèi)后的投資組合收益最大化。

先對(duì)相關(guān)符號(hào)作簡(jiǎn)要說(shuō)明：

Ri：i的隨機(jī)收益率，i=1，2，…，n；

R=（R1，R2，…Rn）T；

ri：i的期望收益率，i=1，2，…，n；

r=（r1，r2，…，rn）T；

rn+1：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率；

xi：i的未投資比例，i=1，2，…，n+1；

x=（x1，x2，…，xn+1）；

x0i：i的已投資比例，i=1，2，…，n；

W0：投資者的初始財(cái)富；

ki：i的交易費(fèi)率，i=1，2，…，n；

Ci（xi）：i的交易費(fèi)用；

C（x）：總交易費(fèi)用。

i的交易費(fèi)可表示為：

其中 μi，i=1,2，…，n 是常數(shù)。

那么，總的交易費(fèi)C（x）可分為三種情況：

情況2：

當(dāng)對(duì)前m（1≤m≤n）種資產(chǎn)的投資比例超過(guò)us，即｜xs-x0s｜＞us，（s=1,2，…，m），對(duì)后（n-m）種資產(chǎn)的投資比例不超過(guò)μi。

在建立模型之前，先作如下假設(shè)：

（1）假設(shè)協(xié)方差矩陣V是正定的。

（2）假設(shè)事先并不精確知道風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率。

但能已知如下幾點(diǎn)：

①對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)而言，期望收益率不都相同，即

②風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)產(chǎn)生的期望收益率可排成一個(gè)序

（3）假設(shè)在交易過(guò)程中，總資產(chǎn)的價(jià)值和每一個(gè)資產(chǎn)的股數(shù)保持不變。

（4）交易費(fèi)在期初就已經(jīng)可以確切知道，但一般在期末支付。

（5）不允許賣(mài)空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和借貸無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。

投資組合 x=（x1，x2…，xn+1）在扣除交易費(fèi)后，的凈收益率為：

其中0≤m≤n。

當(dāng)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，只要去掉rn+1，xn+1既可。

總之，在扣除交易費(fèi)后，新的投資組合產(chǎn)生的均值和方差分別為：

令（1-λ）和 λ 分別是指標(biāo) E[R（x）]和 Var[R（x）]的權(quán)系數(shù)。λ為風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子，λ越大，作為投資者，就會(huì)越厭惡風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)λ=1時(shí)投資者為極度保守狀態(tài)，因?yàn)榇藭r(shí)他僅考慮了投資的風(fēng)險(xiǎn)，而沒(méi)有關(guān)注投資的收益，在實(shí)際中，其實(shí)并不可取。相反，當(dāng)λ=0時(shí)投資者為最極端的狀態(tài)，即只追求投資收益，而不考慮風(fēng)險(xiǎn)，這種狀態(tài)是最危險(xiǎn)的。設(shè)0＜λ＜1，即投資者處于既不極度保守也不極度冒險(xiǎn)的狀態(tài)，是我們一般考慮的狀態(tài)。但另一方面，由于ri（i=1，2，…，n）并不精確知道，對(duì)投資者來(lái)說(shuō)，一般會(huì)選擇最低風(fēng)險(xiǎn)下最大收益的策略。因此，投資者將求解如下極大極小問(wèn)題。

其中 0＜λ＜1，0≤m≤n。

則該問(wèn)題概括為：

2 模型解的討論

我們先引入Fan的一個(gè)著名結(jié)果?？刹殚喥渲鱗4]。

引理1 令X是一個(gè)非空間集合，Y是一個(gè)非空緊拓?fù)淇臻g。令F：X×Y→R。在Y上下半連續(xù)。設(shè)F在X類(lèi)凹。在Y上類(lèi)凸。即：

固定x，考慮以r為變量的極小化問(wèn)題P2（λ）：

定理3問(wèn)題P2（λ）必有最優(yōu)解，記為：若。則

這是由于，問(wèn)題P2（λ）是一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃，且原始約束區(qū)域有界。由線(xiàn)性規(guī)劃相關(guān)理論可知，上述問(wèn)題必有最優(yōu)解，對(duì)于最優(yōu)解的求解，還有待進(jìn)一步研究。