李五明，劉桂仙

（河南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 焦作 454000）

引言

柱面方程的求解是高等院校數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)核心課程《解析幾何》中一個(gè)很重要的內(nèi)容。按照呂林根、許子道所編教材[1]，欲求一個(gè)柱面的方程，只需要知道準(zhǔn)線的方程以及母線的方向數(shù)，根據(jù)“消參數(shù)法”，即可得到柱面的方程。圓柱面作為一種特殊的柱面，由于其特殊的性質(zhì)，在求解其方程時(shí)，如果不知道其準(zhǔn)線方程，可以不按照常上述規(guī)方法進(jìn)行求解；同時(shí)也可以根據(jù)已知條件求出其準(zhǔn)線方程，再按照“消參數(shù)法”求解。很多學(xué)生對(duì)教材[1]147頁(yè)第3題圓柱面方程的求解非常困惑，主要是因?yàn)轭}設(shè)條件并沒(méi)有給出圓柱面準(zhǔn)線的方程，按照常規(guī)方法表面上看好像無(wú)法求解。文章針對(duì)這個(gè)非典型幾何問(wèn)題，同時(shí)考慮到圓柱面的特殊性質(zhì)，給出其兩種求解方法。

1 圓柱面方程的兩種求解方法

原題如下：

求過(guò)三條平行直線 x=y=z，x+1=y=z-1與x-1=y+1=z-2的圓柱面的方程。

解：方法一（非常規(guī)方法）：因?yàn)閳A柱面是三維空間中到軸線距離相等的點(diǎn)的集合，故可根據(jù)已知條件求出軸線的方程，進(jìn)而求出圓柱面方程。設(shè)P（x，y，z）為軸上任意一點(diǎn)，則P到三條母線的距離相等，分別設(shè)為 d1，d2，d3，即有：

由點(diǎn)到直線的距離相等可得：

將式（1）（2）（3）代入式（4）化簡(jiǎn)后即為

即為圓柱面軸上的點(diǎn)所滿足的方程（軸線方程），化為標(biāo)準(zhǔn)方程即為

化簡(jiǎn)整理得

即為所求圓柱面的方程。

方法二（常規(guī)方法）：根據(jù)教材[1]，欲求柱面方程，需要知道其一個(gè)準(zhǔn)線方程。圓柱面的準(zhǔn)線有很多，但是在這里我們考慮求其中與母線垂直的一個(gè)準(zhǔn)線方程，從幾何上來(lái)說(shuō)，該準(zhǔn)線是一個(gè)圓，我們用一個(gè)球面和一個(gè)平面的交線來(lái)表示這個(gè)圓。已知圓柱面的一條母線為 x=y=z，其過(guò)原點(diǎn)（0，0，0）且母線的方向數(shù)為1，1，1；容易得到過(guò)原點(diǎn)且與母線x=y=z垂直的平面方程為：

該平面與母線x+1=y=z-1與x-1=y+1=z-2的交點(diǎn)分別為（-1，0，1）和。容易知道，點(diǎn)（1，0，0）與點(diǎn)（0，0，0），（-1，0，1），不共面，所以過(guò)這四點(diǎn)存在一個(gè)球面，設(shè)這個(gè)球面的方程（經(jīng)過(guò)原點(diǎn)）為

從而圓柱面的一個(gè)準(zhǔn)線方程為

而母線的方向數(shù)1，1，1為已知。設(shè)M1（x1，y1，z1）為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M1的母線為

將式（22）代入式（19）和（20）得

由式（24）得到

將式（25）代入式（23），整理化簡(jiǎn)即得圓柱面方程（10）。

應(yīng)當(dāng)注意，對(duì)于方法二，所求的球面方程（16）不是惟一的，也就是說(shuō)，當(dāng)我們?cè)跊Q定球面方程時(shí)，點(diǎn)（1，0，0）的選擇具有隨機(jī)性，只要所選擇的這個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)（0，0，0），（-1，0，0），不共面，均可作為決定球面方程四個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)，雖然得到的球面方程不同，但并不影響最終的圓柱面方程。特別地，根據(jù)教材[2]，也可以求出平面（11）截圓柱面所得圓的圓心和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出柱面的準(zhǔn)線方程，具體為

根據(jù)上述方法也可以得到柱面方程（10），具體細(xì)節(jié)可參考教材[2]。

2 結(jié)束語(yǔ)

柱面方程的求解是解析幾何中的一個(gè)重要內(nèi)容，它充分體現(xiàn)了解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題這一數(shù)學(xué)思想，具有重要的研究意義。文章針對(duì)一個(gè)具體的柱面-圓柱面，根據(jù)其特殊的幾何性質(zhì)，采用兩種不同的思想方法求解其方程，對(duì)于擴(kuò)展學(xué)生的思維以及理解柱面方程的求解都具有極其重要的意義。