徐 兵，尹冠生，佘 斌，徐桂中,吳發(fā)紅，荀 勇

(1.鹽城工學(xué)院 土木學(xué)院，江蘇 鹽城 224055；2.長(zhǎng)安大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710064)

大多數(shù)工科專業(yè)的學(xué)生，都把力學(xué)課程作為一門必須學(xué)習(xí)和掌握的基礎(chǔ)課程，通過(guò)力學(xué)課程的學(xué)習(xí)，為后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的力學(xué)分析基礎(chǔ)。力學(xué)課程對(duì)學(xué)生分析能力要求較高，課程的概念多，抽象的力學(xué)概念和深?yuàn)W的力學(xué)公式使得學(xué)生感到困難。并且，力學(xué)所研究的內(nèi)容多涉研究對(duì)象的內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變及強(qiáng)度準(zhǔn)則等概念，一般物理現(xiàn)象不能直觀表達(dá)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)難度加大[1-2]。

有限元技術(shù)是一種集力學(xué)、融合數(shù)學(xué)、物理及計(jì)算機(jī)等多學(xué)科為一體，以求解力學(xué)問(wèn)題為目標(biāo)，利用圖形界面展示計(jì)算結(jié)果的科學(xué)技術(shù)，該技術(shù)在土木、機(jī)械、物理及電子等科學(xué)研究領(lǐng)域有著良好的應(yīng)用。借助其特有的圖形顯示方法，可以將抽象的應(yīng)力、應(yīng)變等力學(xué)概念直觀地顯示出來(lái)[3]。實(shí)際工程應(yīng)用中常借助于有限元工具計(jì)算應(yīng)力、應(yīng)變、能量、溫度、速度等參數(shù)及其變化規(guī)律。有限元是基于力學(xué)理論的一門新興的技術(shù)，基于力學(xué)和相關(guān)物理學(xué)科的理論發(fā)展而來(lái)，借助它可以用圖形、圖像來(lái)良好地展示抽象的力學(xué)概念。將其引入教學(xué)環(huán)節(jié)，在教學(xué)中采用相關(guān)軟件，可以將力學(xué)中應(yīng)力、應(yīng)變及位移等數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為形象的云圖或動(dòng)畫(huà)，有助于提高學(xué)生對(duì)課程概念的理解程度，幫助學(xué)生深化課程知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及其性能研究提供保障[4-7]。

1 材料力學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容

教育部對(duì)高等學(xué)校理工科非力學(xué)專業(yè)力學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求中指出，材料力學(xué)是變形體力學(xué)的重要基礎(chǔ)分支之一，是一門為設(shè)計(jì)工程實(shí)際構(gòu)件提供必要理論基礎(chǔ)的重要技術(shù)基礎(chǔ)課，也是一門理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的課程。材料力學(xué)的任務(wù)是研究桿件在承受各種荷載時(shí)的變形等力學(xué)性能。通過(guò)學(xué)習(xí)本課程，使學(xué)生掌握將工程實(shí)際構(gòu)件抽象為力學(xué)模型的方法；掌握研究桿件內(nèi)力、應(yīng)力、變形分布規(guī)律的基本原理和方法；掌握分析桿件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題的理論與計(jì)算；具有熟練的計(jì)算能力和一定的實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?；為后續(xù)相關(guān)課程的學(xué)習(xí)及進(jìn)行構(gòu)件設(shè)計(jì)和科學(xué)研究打好力學(xué)基礎(chǔ)，培養(yǎng)構(gòu)件分析、計(jì)算和實(shí)驗(yàn)等方面的能力[8]。

在對(duì)于學(xué)生能力培養(yǎng)方面有以下4個(gè)重點(diǎn)。1)建模能力：具有建立工程構(gòu)件力學(xué)模型的能力，能夠根據(jù)具體問(wèn)題選擇合理的計(jì)算模型。2)計(jì)算能力：具有對(duì)桿件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題的計(jì)算能力，并對(duì)計(jì)算結(jié)果的合理性進(jìn)行定性判斷的能力。3)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Α?)自學(xué)能力[8]。

伴隨科技進(jìn)步和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，更多的新材料和新方法被引入到力學(xué)領(lǐng)域。新時(shí)期的材料力學(xué)教學(xué)除去經(jīng)典力學(xué)理論的講解和力學(xué)的基本概念外，還需結(jié)合現(xiàn)有材料科學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展，尤其是新型材料的力學(xué)性質(zhì)，將力學(xué)教學(xué)內(nèi)容的進(jìn)行有目的地拓展。同時(shí)，由于不同行業(yè)、國(guó)家或地區(qū)對(duì)于材料力學(xué)性能都編有各自使用的相關(guān)規(guī)范，在教學(xué)尤其是面向應(yīng)用型本科教學(xué)的過(guò)程中，尤其要注意教學(xué)和行業(yè)的結(jié)合[9]。

2 有限元方法的基本流程

圖1 有限元計(jì)算流程

現(xiàn)有有限元軟件的一般流程如圖1所示?，F(xiàn)有軟件中，用戶可以根據(jù)實(shí)際的物理結(jié)構(gòu)或者物理模型，通過(guò)力學(xué)方法簡(jiǎn)化其邊界條件后，對(duì)模型離散化，得到有限元網(wǎng)格后，利用數(shù)值計(jì)算方法，計(jì)算得出各個(gè)單元節(jié)點(diǎn)位置的應(yīng)力、應(yīng)變及位移等物理參數(shù)變化情況。利用后處理程序，讀入計(jì)算結(jié)果中的各種數(shù)據(jù)，生成結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的各種云圖及動(dòng)畫(huà)；此外，借助后處理程序還可以得到結(jié)構(gòu)的變性規(guī)律曲線，如荷載-位移曲線和能量曲線等。

3 教學(xué)改革案例介紹

3.1 課程教學(xué)案例

3.1.1 拉伸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系學(xué)習(xí)案例

材料拉伸是材料力學(xué)中較為經(jīng)典的研究?jī)?nèi)容，在拉力作用下材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表達(dá)式[10]如下：

σ=Eε

(1)

授課中，可以根據(jù)實(shí)際需要建立有限元模型取材料尺寸20 mm×4 mm，網(wǎng)格數(shù)量為20×4。模型和分析結(jié)果如圖2所示。

圖2 拉伸試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

圖3 拉伸變形示意圖

計(jì)算結(jié)果在變形條件下的應(yīng)力和應(yīng)變?cè)茍D如圖3所示，不同色彩表示不同的數(shù)值，按照由藍(lán)到紅，由小到大。其中虛線顯示的網(wǎng)格為變形前的網(wǎng)格，帶色彩的網(wǎng)格為變形后的網(wǎng)格。通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，由于受到拉力的作用，網(wǎng)格明顯被拉長(zhǎng)。此外，通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)構(gòu)件邊緣位置應(yīng)力分布不均勻，此時(shí)可以結(jié)合課本中圣維南原理[10]解釋造成這種不均勻的原因。

表1參數(shù)變換后應(yīng)力計(jì)算結(jié)果

外力/N截面積/mm2應(yīng)力1/MPa應(yīng)力2/MPa相對(duì)誤差率/%200450049.9963-0.0074300475074.9945-0.00735004125124.993-0.0056200450049.9943-0.0114300475074.998-0.00275004125124.996-0.0032

2)相對(duì)誤差為應(yīng)力2和應(yīng)力1的差值比率。

可以通過(guò)外力調(diào)整的方法重新計(jì)算得到材料承受的應(yīng)力2，由于計(jì)算方法的差異，應(yīng)力2和理論應(yīng)力1之間存在有一定的誤差如表1所示。通過(guò)表1，發(fā)現(xiàn)調(diào)整外力數(shù)值后計(jì)算應(yīng)力和理論值之間的誤差率最大為-0.011 4%，其結(jié)果可信。同時(shí)也證明了有限元方法計(jì)算結(jié)果的可靠性。

由于材料力學(xué)的知識(shí)體系的基本假設(shè)是材料作用在彈性階段，即影響材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系最大的因素為材料的彈性模量，利用現(xiàn)有計(jì)算模型調(diào)整計(jì)算模型彈性模量參數(shù)后，可以得到如圖4所示的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系圖。從圖4中可以看出：1)當(dāng)材料彈性模量不變時(shí)，應(yīng)力和應(yīng)線性相關(guān)，隨著應(yīng)變的增大，應(yīng)力也相應(yīng)增加；2)由于應(yīng)力-應(yīng)變的線性相關(guān)，影響直線走勢(shì)的直接因素就是材料的彈性模量，即隨著彈性模量的增加，應(yīng)力隨應(yīng)變關(guān)系直線斜率增大。

圖4 拉伸仿真實(shí)驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系圖

3.1.2 梁的彎曲正應(yīng)力學(xué)習(xí)案例

彎曲是材料力學(xué)課程研究的幾個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，由于構(gòu)件彎曲截面內(nèi)必然內(nèi)存在彎曲正應(yīng)力，對(duì)于純彎構(gòu)件其截面彎曲正應(yīng)力計(jì)算方法為[10]：

(2)

以純彎梁為研究對(duì)象，按照梁?jiǎn)卧卣鹘⒂邢拊Ｐ筒⑦M(jìn)行分析，其計(jì)算云圖如圖5所示。

圖5 彎曲試驗(yàn)?zāi)Ｐ图胺抡嬖茍D

有限元模型計(jì)算截面為8 mm×20 mm的矩形，梁長(zhǎng)為200 mm，計(jì)算中設(shè)彈模為2.2×1011Pa，純彎段彎矩為2 N·m，有理論計(jì)算可得邊緣處最大拉應(yīng)力為：

而有限元計(jì)算結(jié)果中最大拉應(yīng)力為0.003 64 MPa，兩者誤差不超過(guò)1%，認(rèn)為有限元計(jì)算結(jié)果有效。

從計(jì)算結(jié)果中提取構(gòu)件同一截面內(nèi)各計(jì)算點(diǎn)應(yīng)力和應(yīng)變并作圖如表3和圖6所示。從圖6中可以看出，截面內(nèi)個(gè)點(diǎn)應(yīng)力-應(yīng)變處于同一直線，應(yīng)力應(yīng)變呈線性變化，并且對(duì)應(yīng)曲線的斜率2.193 05e11，接近輸入的彈性模量2.2e11，亦驗(yàn)證了純彎階段的變化也服從胡克定律這一基本特征。

由于計(jì)算中梁的橫截面為矩形截面，并且所選用的材料為各向同性的均值材料，截面是一個(gè)嚴(yán)格的中心對(duì)稱截面，因此梁的中心軸在梁的幾何中心。如表2所示，對(duì)比彎曲應(yīng)力圖或者彎曲應(yīng)變圖可以發(fā)現(xiàn)，梁的應(yīng)力分布是關(guān)于中性軸對(duì)稱的，其應(yīng)力大小與距離中性軸的距離y是成正比的，這也驗(yàn)證了課本所述的平截面假定。

表2彎曲模型中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

材料應(yīng)力/MPa結(jié)構(gòu)應(yīng)變y/mm3.64×10-21.66×10-79.713.03×10-21.38×10-78.092.43×10-21.11×10-76.471.82×10-28.29×10-84.851.21×10-25.53×10-83.246.07×10-32.76×10-81.62-6.07×10-3-2.76×10-8-1.62-1.21×10-2-5.53×10-8-3.24-1.82×10-2-8.29×10-8-4.86-2.43×10-2-1.11×10-7-6.47-3.03×10-2-1.38×10-7-8.09-3.64×10-2-1.66×10-7-9.71

注：y為應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)至中性軸距離

3.2 自主創(chuàng)新學(xué)習(xí)案例

由于材料力學(xué)相關(guān)理論的前提是以材料在彈性階段受力為前提的，相關(guān)的理論都遵從胡克定律。但實(shí)際作用中，材料的受力可以涵蓋彈性、彈塑性和塑性，直至破壞。并且由于結(jié)構(gòu)形式和工作狀態(tài)的不同，構(gòu)件的實(shí)際受力形式很復(fù)雜。

圖6 純彎仿真實(shí)驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系圖

實(shí)驗(yàn)室狀態(tài)只能單一或者有限地模擬個(gè)別情況。有限元軟件具有成本低、速度快、效率高的優(yōu)勢(shì)。在掌握材料力學(xué)相關(guān)理論的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以按照自己的想法調(diào)整多方面參數(shù)，進(jìn)行材料非線性、幾何大變形、多物理場(chǎng)符合分析等多方面分析研究。本段以3.1.1中的算例為例，演示材料非線性分析及其結(jié)論。

以屈服極限為235 MPa的鋼材位計(jì)算材料，彈性模量為2.2×1011Pa，泊松比0.3，通過(guò)計(jì)算可以得到如圖7所示的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線。

圖7 非線性計(jì)算得出的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

將計(jì)算的有限元技術(shù)引入材料力學(xué)課程的教學(xué)中是一種教學(xué)手段的創(chuàng)新，借助有限元方法可以使得學(xué)生加深對(duì)材料力學(xué)等力學(xué)課程的理解，掌握科學(xué)計(jì)算的一般流程和方法，為深入學(xué)習(xí)研究打好基礎(chǔ)。通過(guò)有限元法在材料力學(xué)案例教學(xué)中的運(yùn)用研究，可以得到以下4個(gè)結(jié)論。

1)借助有限元方法，可以將枯燥的力學(xué)概念直觀地顯示，同時(shí)由于相關(guān)軟件操作的便利性，各種云圖和各種關(guān)系曲線可以直接由軟件生成，省去人為操作帶來(lái)的錯(cuò)誤。

2)有限元技術(shù)是在科學(xué)研究基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，依賴于力學(xué)等多學(xué)科的理論和實(shí)踐，因此，所研究的內(nèi)容或者所執(zhí)行的案例必須要符合物理實(shí)際，所顯示的云圖或者相關(guān)曲線必須和物理現(xiàn)實(shí)相一致。在教學(xué)中，應(yīng)作為教學(xué)的輔助，而不是引導(dǎo)教學(xué)，因?yàn)橛邢拊碚撌切枰罅繑?shù)學(xué)、物理和力學(xué)知識(shí)作準(zhǔn)備的。

3)借助有限元軟件在授課中的輔助應(yīng)用，學(xué)生可以加深對(duì)課本理論知識(shí)的理解，對(duì)所接觸到的應(yīng)力、應(yīng)變、復(fù)雜受力狀態(tài)等知識(shí)有較好的形象思維，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

4)相關(guān)的應(yīng)用也證明有限元方法可以作為教學(xué)過(guò)程中的必要補(bǔ)充。但是，有限元方法是一個(gè)多學(xué)科融合的方法，需要使用者進(jìn)行大量的知識(shí)準(zhǔn)備。教師授課過(guò)程中，需要結(jié)合工程實(shí)際將課本的知識(shí)融合提煉，對(duì)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，找出適合有限元方法的材料力學(xué)案例以充分發(fā)揮有限元的優(yōu)勢(shì)。

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