陳建宇

（石家莊市第一中學(xué)，河北石家莊050010）

0 引言

二次函數(shù)圖像和斜面平拋運動性質(zhì)的知識點是高中數(shù)學(xué)、物理學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，傳統(tǒng)的基于教材的學(xué)習(xí)方式無法呈現(xiàn)出函數(shù)的運動和變化過程，更難以繪制出準(zhǔn)確的函數(shù)圖像，使得函數(shù)圖像與函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系難以理解[1]。為此，采用基于軟件工具的圖形化顯示研究方法，輔助直觀深入理解這些內(nèi)容。國際上，數(shù)學(xué)類軟件工具主要有Matlab、Mathematica和Maple，其中Matlab是美國Math Works公司出品的數(shù)學(xué)軟件，因其提供計算、圖形和文字處理的統(tǒng)一環(huán)境而深受中學(xué)生歡迎[2]。利用其數(shù)學(xué)分析以及可視化性能的優(yōu)越性，可以將抽象的問題形象化，從而加深對問題相關(guān)結(jié)論的理解，使學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的聯(lián)系更為突出。

1 二次函數(shù)圖像性質(zhì)研究

二次函數(shù)的定義是一個二次多項式，一般式為=2+ +(≠0)，其中 為二次項系數(shù)且不等于零。在二次函數(shù)性質(zhì)中，開口方向、大小與二次項系數(shù)的關(guān)系可以通過Matlab編程調(diào)整參數(shù)，實現(xiàn)一次性繪制多組二次項系數(shù)的二次函數(shù)曲線[3-5]。主要過程為：針對需要研究的問題確定參數(shù)，實現(xiàn)含參數(shù)變量的二次函數(shù)，確定繪圖范圍，按給定參數(shù)值調(diào)用繪圖函數(shù)，改變參數(shù)值循環(huán)執(zhí)行上述步驟。為簡化問題，固定 和 的值，設(shè)定5組不同的 值，如表1所示。

表1二次函數(shù)參數(shù)設(shè)置

按照參數(shù)設(shè)置，采用Matlab的繪圖函數(shù)，可一次繪制出5組二次函數(shù)曲線，如圖1所示。

圖1二次函數(shù)圖像

從圖1中可以看出，＞0時，二次函數(shù)圖像開口向上；＜0時，二次函數(shù)圖像開口向下；隨著||的增大，二次函數(shù)圖像開口變大，隨著||的減小，二次函數(shù)圖像開口變小。

Matlab主要程序如下[3]：

for=[1,2,3,4,5]；%循環(huán) 5組

plot(,)； %繪制函數(shù)曲線

grid on

axis([-6,6,0,30])；

pause(1) %間隔1 s

hold on

end

2 斜面平拋運動性質(zhì)研究

利用上述二次函數(shù)圖像性質(zhì)研究方法可以進(jìn)一步研究斜面平拋運動性質(zhì)問題，在理論證明末速度方向與平拋初速度無關(guān)的基礎(chǔ)上，采用Matlab編程顯示不同平拋初速度情況下的拋物軌跡，計算并繪制拋物落點的速度方向，提供形象化研究支撐[3-5]。

（1）原理證明

設(shè) 為位移偏向角，由于小球從斜面頂端平拋且落在斜面上，這里 也就等于斜面與水平面夾角，故 為定值；

為速度偏向角；_0是平拋初速度，_是末速度在豎直方向上的分量；、分別代表水平、豎直方向位移；表示平拋全過程所用時間，證明如下：

式中，因 為定值，所以 為定值，末速度方向始終相同，與平拋初速度無關(guān)。

（2）斜面及拋物軌跡繪制

在Matlab中通過繪制一次函數(shù)模擬斜面，使之過定點（0，50），可根據(jù)一次函數(shù)斜率大小調(diào)整斜面陡緩。在Matlab中通過繪制二次函數(shù) =2+ + 圖像中部分曲線模擬小球由斜面頂端平拋下落至斜面的運動軌跡，通過固定一次項系數(shù)和常數(shù)項 的值，將二次函數(shù)對稱軸鎖定在 軸處，并使之過定點（0，50），這樣可保證小球從斜面頂端平拋，圖像中對稱軸右半段單調(diào)遞減部分為小球由斜面頂端平拋下落的運動軌跡，計算與繪圖方法與二次函數(shù)相同。

（3）參數(shù)調(diào)整

可根據(jù)二次項系數(shù)（＜0）絕對值大小的改變模擬該實驗中不同的平拋初速度：隨著||的增大，二次函數(shù)圖像開口變大，平拋初速度增大；||減小，圖像開口變小，平拋初速度減小。為簡化問題，固定 和 的值，設(shè)定3組不同的平拋二次項系數(shù)模擬不同的平拋初速度，如表2所示。

表2平拋二次函數(shù)參數(shù)設(shè)置

（4）末速度方向繪制

①利用Matlab中求解方程組的功能，計算出小球在斜面上落點處的坐標(biāo)；

②根據(jù)物理學(xué)中常用的微元法，可以從小球在斜面上的落點處附近的二次函數(shù)圖像上取間隔極近的2點，利用這2點求出落點處的一條二次函數(shù)圖像切線，即為末速度方向。

這里需要說明的是，由于小球必須從斜面頂端拋下，才能使此推論成立，所以上文所述一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點會出現(xiàn)2個，即平拋初始位置和落點處，由此引發(fā)的問題是：若僅依據(jù)兩函數(shù)交點坐標(biāo)繪制切線，那么其中一條將始終過點（0，50），而這條切線沒有實際意義。

為了排除這個問題，對Matlab求解方程組時用到的Solve函數(shù)進(jìn)行深入分析，發(fā)現(xiàn)其輸出是一個數(shù)組，確知2組解的話，取出其中某一組應(yīng)是[(1)，(1)]、[(2)，(2)]，所以可以直接取[(2)，(2)]進(jìn)行切線的計算和繪制，運行結(jié)果如圖2所示。

圖2斜面平拋運動

圖2中，虛線即繪制出的切線，表示小球末速度方向，可以看出，隨著平拋初速度的增大，小球落在斜面上的位置不斷變化，但切線相互平行，末速度方向始終不變。

Matlab主要程序如下：

for=[-0.05,-0.02,-0.01]；

%繪制平拋曲線%

plot(,1,'',1,,'',,,'black')；

grid on

hold on

%繪制落點切線%

[,]=solve([num2str(a),'? ? +50-=0'],'50-0.5? -=0','','')；

plot(,,'-.') %繪制切線

end

3 結(jié)束語

利用Matlab進(jìn)行函數(shù)及應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)探究，可以化抽象為具體，為培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想提供方便易用的工具。除本文主要利用的Matlab對函數(shù)性質(zhì)分析的圖形化顯示和求解方程組的功能外，還探索了其他諸如繪制馬鞍形曲線和三角函數(shù)曲線等人們難以理解和繪制的圖像，體會到了其優(yōu)越的可視化性能。

[1]董雪瑤,鄭春香.MATLAB在高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中的應(yīng)用研究[J].信息技術(shù)與信息化,2016,9(9):92-95.

[2]李冰,吳迪.將MATLAB軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行推廣的幾點設(shè)想[J].計算機(jī)教學(xué)與教育信息化,2014,10(5):3033-3036.

[3]劉浩,韓晶.MATLAB R2012a完全自學(xué)一本通[M].北京:電子工業(yè)出版社,2013.

[4]王亞芳,等.MATLAB仿真及電子信息應(yīng)用[M].北京:人民郵電出版社,2011.

[5]王中鮮,等.MATLAB建模與仿真應(yīng)用教程(第2版)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2014.