張穎

（濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，濟(jì)南250022）

0 引言

在經(jīng)典的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)參數(shù)回歸分析中，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷之前，一個(gè)最為關(guān)鍵的任務(wù)就是提前預(yù)設(shè)好參數(shù)模型的函數(shù)形式。通常經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的時(shí)變性和復(fù)雜的結(jié)構(gòu)特征，難以確定其分布的具體函數(shù)形式。顯然，對(duì)于同一個(gè)問題，如果設(shè)定不同的函數(shù)形式，會(huì)得到不同的參數(shù)模型，從而估計(jì)得到不同的模型參數(shù)，以及后續(xù)的統(tǒng)計(jì)推斷也是不同的?？梢娞崆斑M(jìn)行的模型設(shè)定會(huì)直接決定所構(gòu)建的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型能否準(zhǔn)確地刻畫所要研究的經(jīng)濟(jì)問題。為此出現(xiàn)了模型設(shè)定檢驗(yàn)的一系列方法，Eubank(1992)[1]指出，在實(shí)際經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的分析中，經(jīng)常會(huì)碰到“檢驗(yàn)不一致性”的問題，即在某些方向上，參數(shù)檢驗(yàn)方法具有較低的檢驗(yàn)效率。

為了回避模型檢驗(yàn)中出現(xiàn)的“不一致性”問題，學(xué)者們開始尋求不需要進(jìn)行模型函數(shù)形式設(shè)定的建模思路，這就是非參數(shù)回歸模型。非參數(shù)回歸分析不需要對(duì)模型的函數(shù)形式進(jìn)行預(yù)設(shè)，從而不需要進(jìn)行所謂的參數(shù)估計(jì)，而是直接對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行推斷，因此非參數(shù)回歸模型是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)型的模型，這種建模方法可以更好地適應(yīng)數(shù)據(jù)的變化，從而具有擬合精度較高、可靠性強(qiáng)、結(jié)果更為穩(wěn)健、適用范圍廣等優(yōu)勢。非參數(shù)回歸模型尤其適用于那些信息獲取較少的情形，比如無法用有限個(gè)參數(shù)刻畫的總體分布，或者僅僅知道分布是連續(xù)的、存在密度函數(shù)等有限信息的情形。

在非參數(shù)回歸模型中，最早出現(xiàn)的是非參數(shù)核回歸方法。Nadaraya(1964)[2]和Watson(1964)[3]提出了Nadaraya-Watson(N-W)核估計(jì)，N-W核估計(jì)方法直接對(duì)抽象的回歸函數(shù)m(x)=E(Y|X=x)進(jìn)行估計(jì)。之后，非參數(shù)回歸核估計(jì)方法獲得了迅速的發(fā)展，Robinson(1983)[4]給出了非參數(shù)模型中條件均值函數(shù)的核估計(jì)量的漸近理論，此后，Collomb(1986)[5]、Masry(1995)[6]和La?b(2000)[7]等分別基于核估計(jì)在不同條件下研究了條件均值函數(shù)的相合性、漸近正態(tài)性和收斂速度以及帶寬選擇的漸近最優(yōu)性等問題。

局部多項(xiàng)式方法在非參數(shù)估計(jì)中也廣為流行，因?yàn)樗哂辛己玫臄?shù)學(xué)性質(zhì)、偏倚的縮減性和邊緣效應(yīng)的適用性，從方法實(shí)施的難易程度來看，NW估計(jì)量的實(shí)施要比局部線性估計(jì)量更為容易，并且回歸函數(shù)的被估計(jì)值總是位于響應(yīng)變量的范圍之內(nèi)。然而，相對(duì)局部線性估計(jì)量來說，NW估計(jì)量具有更大的偏倚、非適應(yīng)性和邊界效應(yīng)。為了同時(shí)獲取NW和局部線性估計(jì)量的優(yōu)點(diǎn)，Cai(2001)[8]和De Gooiger(2003)[9]提出了加權(quán)NW估計(jì)方法。Song Y(2013)[10]提出了再加權(quán)NW估計(jì)方法，并且將其用于二階跳擴(kuò)散過程的估計(jì)中。

雖然加權(quán)NW方法很早就被提出了，但是其中的某些統(tǒng)計(jì)學(xué)性質(zhì)并沒有得到圓滿的解決，為此本文在已有的加權(quán)N-W核估計(jì)量的基礎(chǔ)上，嚴(yán)格證明加權(quán)N-W核估計(jì)量在給定的條件下滿足漸近正態(tài)性，最后利用模擬研究檢驗(yàn)了加權(quán)N-W核估計(jì)量的有效性。

1 非參數(shù)N-W核估計(jì)

其中g(shù)(?)為某個(gè)未知待估的條件期望回歸函數(shù)，εi為相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)誤差項(xiàng)，且滿足E(εi)=0，Var(εi)=σ2＜+∞，條件期望回歸函數(shù)g(x)為：

其中fX(x)為X的邊緣概率密度函數(shù)。

式(2)中包含未知的聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x,y)和邊緣概率密度函數(shù)fX(x)，利用非參數(shù)核密度估計(jì)法，有。其中，h0為變量Y的平滑參數(shù)，h為變量X的平滑參數(shù)，所以有

將式(3)和式(4)同時(shí)代入式(2)，就得到了g(x)的非參數(shù)回歸估計(jì)：

1964年和1965年美國的G.Watson與前蘇聯(lián)的E.Nadaraya分別在《Sankhya》和《Theory of Applied Probability》上各自獨(dú)立發(fā)表了這種直接對(duì)未知函數(shù)形式的回歸函數(shù)g(x)=E(Y|X)進(jìn)行估計(jì)的核函數(shù)估計(jì)方法，因此式(5)被稱為著名的N-W核估計(jì)量。

2 加權(quán)N-W核估計(jì)量

雖然N-W核估計(jì)是核回歸估計(jì)中特別重要的一種方法，但它卻存在一定的缺點(diǎn)。如利用N-W核估計(jì)量對(duì)邊界點(diǎn)處的回歸函數(shù)進(jìn)行估計(jì)將會(huì)出現(xiàn)較大的偏差。為了提高回歸估計(jì)的精度，減少估計(jì)偏差，需要對(duì)N-W估計(jì)量進(jìn)行了局部修正，構(gòu)造加權(quán)N-W估計(jì)量。

加權(quán)N-W核估計(jì)量定義為：

概率權(quán)函數(shù)τi(x)滿足以下條件：

3 加權(quán)N-W核估計(jì)量的漸近正態(tài)性

為了證明加權(quán)N-W核估計(jì)量的漸近正態(tài)性，首先給出下面的一些基本假設(shè)條件。

條件1：核函數(shù)k(?)是一個(gè)對(duì)稱有界的密度函數(shù)，滿足∫uk(u)du=0，∫u2k(u)du＜∞。

條件2：對(duì)于固定的x，f(x)＞0，f(?)和σ2(?)在x處連續(xù)，g(?)在x的鄰域有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)。

條件3：給定X=x時(shí)，Y的條件密度函數(shù)有界。

記uj=∫ujk(u)du，νj=∫ujk2(u)du，σ2(x)=Var(Yi|Xi=x)。

在這些假設(shè)條件下，加權(quán)N-W核估計(jì)量的極限分布由下面的定理給出。

定理：在條件1至條件5成立的條件下，有：

De Gooijer(2003)[9]證明了當(dāng)滿足條件1、條件2、條件5時(shí)，τi(x)=φi(x)(1+op(1))，其中

令εi=Yi-g(Xi)，則：

利用泰勒公式，可以得到：

由式(6)和式(7)，有：

又因?yàn)镋(εi|Xi)=0,E(Θi)=0，故E(U1)=0。

由條件3：

利用李亞普諾夫定理，對(duì)δ＞0，當(dāng)n→∞時(shí)，有：

由條件4：

因此，ξn→0，U1的漸近正態(tài)分布性質(zhì)得證。定理得證。

4 模擬

本文使用擬合優(yōu)度和均方誤差（MSE）來評(píng)價(jià)估計(jì)效果，其中利用R軟件由以下兩個(gè)模型分別模擬容量為200的兩個(gè)樣本，來比較加權(quán)N-W核估計(jì)量與N-W核估計(jì)量估計(jì)的精度。

模型1：Y=Xcos2πX+ε，其中ε～N(0,0.1),X～U[0,1]。

模型2：Y=sin2πX+ε，其中ε～N(0,0.1),X～U[0,1]。

計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 加權(quán)N-W核估計(jì)和N-W核估計(jì)的擬合優(yōu)度和均方誤差

由表1可以看出，模型1和模型2的加權(quán)N-W核估計(jì)同N-W核估計(jì)相比較，均方誤差均較小，而擬合優(yōu)度都有所提高。

圖1 模型1的加權(quán)N-W核估計(jì)和N-W核估計(jì)

圖2 模型2的加權(quán)N-W核估計(jì)和N-W核估計(jì)

由圖1和圖2可以看出，從整體擬合效果上觀察，發(fā)現(xiàn)加權(quán)N-W核回歸估計(jì)曲線幾乎與回歸曲線重合，估計(jì)效果明顯優(yōu)于N-W核回歸估計(jì)，特別是在稀疏樣本點(diǎn)和邊界點(diǎn)處，表現(xiàn)得更為明顯。通常，使用N-W核回歸分析方法擬合曲線時(shí)，邊界點(diǎn)的估計(jì)偏差較大，即存在邊界效應(yīng)，而用加權(quán)N-W核回歸分析方法卻能很好地減少邊界效應(yīng)。

5 結(jié)論

對(duì)于非參數(shù)核回歸方法NW方法的一個(gè)實(shí)質(zhì)性的改進(jìn)就是加權(quán)NW方法，該方法可以用于估計(jì)獨(dú)立抽樣條件下的回歸函數(shù)，也可以用于估計(jì)時(shí)序數(shù)據(jù)的條件分布和用于估計(jì)條件分位數(shù)。但是，對(duì)于時(shí)序數(shù)據(jù)的樣本的非參數(shù)回歸設(shè)定下，這些方法沒有得到理論的支持。本文深入探索了加權(quán)NW方法和漸進(jìn)正態(tài)性，在給定的條件下，嚴(yán)格證明了加權(quán)N-W核估計(jì)量的漸近正態(tài)性。證實(shí)了無論是在內(nèi)點(diǎn)還是邊界點(diǎn)上，加權(quán)NW都滿足漸進(jìn)正態(tài)性。最后，通過模擬研究進(jìn)行對(duì)比性研究。模擬結(jié)果表明，利用非參數(shù)核估計(jì)法估計(jì)回歸函數(shù)時(shí)，加權(quán)N-W核估計(jì)量要優(yōu)于N-W核估計(jì)量。

本文雖然嚴(yán)格證明了加權(quán)NW方法的漸進(jìn)正態(tài)性，但是限于理論方法的限制，本文沒有對(duì)于加權(quán)NW方法的一致性和有效性進(jìn)行證明。本文只是進(jìn)行了隨機(jī)模擬試驗(yàn)研究，而沒有將該方法用于實(shí)際數(shù)據(jù)，利用該方法解決實(shí)際經(jīng)濟(jì)和金融中的應(yīng)用問題是下一步研究的方向。

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