黃文雅

（湖南工程學(xué)院 管理學(xué)院，湖南 湘潭 411104）

0 引言

雙層規(guī)劃模型是根據(jù)約束條件使用極值算法求最優(yōu)解的一種數(shù)學(xué)模型，模型設(shè)定了上層規(guī)劃（U）和下層規(guī)劃（L）兩類(lèi)關(guān)系結(jié)構(gòu)，其中上層規(guī)劃模型（U）的表達(dá)方式為：

其中F表示上層規(guī)劃的函數(shù)形式，x表示影響上層規(guī)劃的關(guān)鍵因素，G表示上層規(guī)劃的約束條件。下層規(guī)劃（L）的表達(dá)方式為：

其中f表示下層規(guī)劃的函數(shù)形式，g表示下層規(guī)劃的約束條件，x和y是函數(shù)關(guān)系，用于上層規(guī)劃和下層規(guī)劃的作用協(xié)調(diào)：

上層規(guī)劃通過(guò)x作用于下層規(guī)劃，下層規(guī)劃通過(guò)y作用于上層規(guī)劃，該模型能夠綜合考量事物的整體性和系統(tǒng)性，所得出的最優(yōu)算法較為準(zhǔn)確。但由于該模型涉及到NP hard等問(wèn)題使求解過(guò)程異常復(fù)雜，現(xiàn)在學(xué)界常用的求解方法是數(shù)值仿真，此方法降低了上層規(guī)劃的計(jì)算難度，但其運(yùn)行效率和收斂度相對(duì)較低。本文試圖在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上提出利用粒子群優(yōu)化算法對(duì)上層規(guī)劃模型進(jìn)行求解，以得出更為快捷準(zhǔn)確的最優(yōu)化解，并把實(shí)例計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)文獻(xiàn)中的算法進(jìn)行精度比較。

1 改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法由Kennedy和Eberhart于1995年共同提出，之后該算法廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、預(yù)算定額求解等領(lǐng)域。但是粒子群優(yōu)化算法求出的優(yōu)化解很容易受局部范圍的影響，整體性和系統(tǒng)性相對(duì)較差，很多研究者提出改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法試圖盡量克服這一局限，如He的被動(dòng)收斂粒子群優(yōu)化算法、呂振蘇的自適應(yīng)變異粒子群優(yōu)化算法等，這些改進(jìn)在很大程度上提高了粒子群優(yōu)化算法的精度。

粒子群優(yōu)化算法把求解過(guò)程中的每一個(gè)解當(dāng)作一個(gè)“粒子”看待，使用函數(shù)適應(yīng)度來(lái)評(píng)價(jià)“粒子”的優(yōu)劣，根據(jù)迭代算法的基本原理找到最優(yōu)解，假設(shè)“粒子”的空間向量表達(dá)方式為：

粒子群優(yōu)化算法的迭代計(jì)算公式為：

其中w表示權(quán)數(shù)，c1和c2表示學(xué)習(xí)因子，r1和r2表示0到1之間的隨機(jī)數(shù)，P表示粒子的最佳位置，迭代次數(shù)iter的加權(quán)數(shù)w為：

粒子將會(huì)在允許的范圍內(nèi)根據(jù)速度向量不斷的變換位置，即Pi和Pg在不斷的變化，當(dāng)粒子發(fā)現(xiàn)一個(gè)最優(yōu)位置時(shí)其他粒子就會(huì)迅速向該粒子靠攏，如果該最優(yōu)位置屬于局部最優(yōu)位置Pg，則求出的最優(yōu)解是局部最優(yōu)解，將會(huì)導(dǎo)致算法的精度降低，此時(shí)如果使用隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行隨機(jī)干擾，使粒子跳出局部最優(yōu)解繼續(xù)尋找系統(tǒng)最優(yōu)解，將會(huì)在很大程度上解決算法精度問(wèn)題，假設(shè)隨機(jī)變量η服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且其值大于0小于1，則改進(jìn)后的粒子最優(yōu)位置為：

本文改進(jìn)后的粒子群優(yōu)化算法的步驟可以概括為以下幾個(gè)步驟：

首先，粒子向量初始化處理。根據(jù)約束條件隨機(jī)產(chǎn)生上層規(guī)劃模型和下層規(guī)劃模型的初始解，此時(shí)粒子將從當(dāng)前位置Pi按照速度V進(jìn)行移動(dòng)，當(dāng)Pi移動(dòng)到初始值最佳位置Pg時(shí)進(jìn)行第二步操作。

其次，根據(jù)上層規(guī)劃模型和下層規(guī)劃模型之間的函數(shù)關(guān)系，把x和y相互代入目標(biāo)函數(shù)，求出該粒子的適應(yīng)度F，根據(jù)適應(yīng)度的大小判斷該粒子所處位置是否是最佳位置，如果是局部最優(yōu)位置則繼續(xù)搜索下一位置并進(jìn)行位置更新，直到找到適應(yīng)度最優(yōu)的粒子全局最佳位置為止。

最后，根據(jù)上層規(guī)劃模型輸出粒子群優(yōu)化算法的最優(yōu)解Pg和yPg，把最優(yōu)解帶入起始的目標(biāo)函數(shù)，此后可以根據(jù)目標(biāo)函數(shù)對(duì)所有約束條件下的最優(yōu)解進(jìn)行求解。

2 參數(shù)檢驗(yàn)與文獻(xiàn)對(duì)比

為了檢驗(yàn)本文的粒子群優(yōu)化算法的準(zhǔn)確性，接下來(lái)使用4組文獻(xiàn)參數(shù)對(duì)粒子群優(yōu)化算法和現(xiàn)有文獻(xiàn)的求解結(jié)果進(jìn)行比較研究，這里對(duì)參數(shù)的設(shè)置如下：

參數(shù)1：

參數(shù)2：

參數(shù)3：

參數(shù)4：

基于本文的粒子群優(yōu)化算法使用計(jì)算機(jī)對(duì)上述4組參數(shù)進(jìn)行60次獨(dú)立計(jì)算，并且把相應(yīng)文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果一起列于表1，通過(guò)粒子群優(yōu)化算法和現(xiàn)有文獻(xiàn)算法的比較，可以發(fā)現(xiàn)粒子群優(yōu)化算法計(jì)算的準(zhǔn)確度更高，通過(guò)該方法能夠得出較為精確的全局最優(yōu)解。

表1 粒子群優(yōu)化算法和文獻(xiàn)算法最優(yōu)解

本文粒子群優(yōu)化算法使用了雙層規(guī)劃模型，上層規(guī)劃模型和下層規(guī)劃模型具有極強(qiáng)的相關(guān)性，且上層規(guī)劃模型處于主導(dǎo)地位，為了對(duì)基于上層規(guī)劃模型的粒子群優(yōu)化算法的性能進(jìn)一步檢驗(yàn)，對(duì)上層規(guī)劃模型進(jìn)行60次獨(dú)立運(yùn)算求解，最優(yōu)解列于表2（見(jiàn)下頁(yè)），從上層規(guī)劃最優(yōu)解來(lái)看除了4（2）以外所有實(shí)例均能全局收斂于最優(yōu)解，而且最優(yōu)解的方差非常小，4（2）的最優(yōu)解雖然有誤差但誤差很小，表明本文構(gòu)建的基于粒子群優(yōu)化算法的最優(yōu)預(yù)算雙層規(guī)劃模型非常有效，可信度較高。

表2 上層規(guī)劃模型最優(yōu)解

3 實(shí)例分析

通過(guò)4組文獻(xiàn)參數(shù)檢驗(yàn)粒子群優(yōu)化算法，發(fā)現(xiàn)本文構(gòu)建粒子群優(yōu)化算法的最優(yōu)預(yù)算雙層規(guī)劃模型在最優(yōu)求解過(guò)程中效率高、誤差少且抗干擾性強(qiáng)，為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?shí)用性，接下來(lái)引入統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行實(shí)例演算。預(yù)算定額限定在某個(gè)工程事件中消耗造價(jià)成本的極限，屬于約束條件的一種，與本文模型運(yùn)算的約束條件相符。因此利用預(yù)算定額數(shù)據(jù)為樣本，收集20組公司2016年的預(yù)算定額數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源為2016年《中國(guó)上市公司發(fā)展報(bào)告》。運(yùn)用本文構(gòu)建的模型，確定20組公司預(yù)算定額的最優(yōu)解，并與其實(shí)際預(yù)算定額相比較，以期為這些公司提供參考。根據(jù)20組公司的規(guī)模大小來(lái)確定迭代次數(shù)，用預(yù)算定額代表公司規(guī)模，其中預(yù)算定額500萬(wàn)元以下的為1～5組，預(yù)算定額為500～1000萬(wàn)元的公司為6～10組，預(yù)算定額為1000～1500萬(wàn)的為11～15組，預(yù)算定額為1500萬(wàn)以上的為16～20組，參數(shù)及迭代次數(shù)設(shè)定見(jiàn)表3所示。

表3 樣本參數(shù)設(shè)定

把相應(yīng)參數(shù)帶入本文所構(gòu)建的雙層規(guī)劃模型，使用計(jì)算機(jī)軟件SPSS對(duì)20組不同規(guī)模預(yù)算定額的公司進(jìn)行求解，求解結(jié)果見(jiàn)表4所示，從表4的求解結(jié)果來(lái)看，除第10組和第15組稍有誤差以外（第10組誤差為0.2，第15組誤差為0.1），其他所有組別均能收斂于同一最優(yōu)解。

表4的計(jì)算結(jié)果表明有兩組公司出現(xiàn)一定偏差，為了對(duì)這種偏差的大小進(jìn)行檢驗(yàn)，接下來(lái)對(duì)20組的最優(yōu)解、平均最優(yōu)解和最優(yōu)解方差進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5所示。從表5的計(jì)算結(jié)果可以看出最優(yōu)解和平均最優(yōu)解的差別很小，最優(yōu)解的方差也非常小，只有第10組和第15的最優(yōu)解誤差稍大，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文構(gòu)建的雙層規(guī)劃模型的穩(wěn)健性。因此現(xiàn)實(shí)生活中公司可以根據(jù)公司規(guī)模的大小設(shè)定相應(yīng)的參數(shù)和迭代次數(shù)，一般預(yù)算規(guī)模較大的公司可以設(shè)定較高的迭代次數(shù)，以保證估計(jì)結(jié)果的精準(zhǔn)性，用于求出本公司預(yù)算的最優(yōu)解，為公司利潤(rùn)的最大化提供政策建議。

表4 20組預(yù)算定額粒子群優(yōu)化算法的最優(yōu)解結(jié)果

表5 20組預(yù)算定額的上層規(guī)劃模型最優(yōu)解

4 結(jié)束語(yǔ)

雙層規(guī)劃模型是目前較為常用的根據(jù)約束條件使用極值算法求最優(yōu)解的一種數(shù)學(xué)模型，該模型能夠綜合考量事物的整體性和系統(tǒng)性，所得出的最優(yōu)算法較為準(zhǔn)確。但由于該模型涉及到NP hard等問(wèn)題使求解過(guò)程異常復(fù)雜，現(xiàn)在學(xué)界常用的求解方法是數(shù)值仿真，此方法降低了上層規(guī)劃的計(jì)算難度，但其運(yùn)行效率和收斂度相對(duì)較低。本文試圖在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上利用粒子群優(yōu)化算法對(duì)上層規(guī)劃模型進(jìn)行求解，以期得出更為快捷準(zhǔn)確的最優(yōu)化解，并通過(guò)實(shí)例計(jì)算與傳統(tǒng)文獻(xiàn)中的算法進(jìn)行精度比較。

通過(guò)本文的研究可以得出以下主要啟示，粒子群優(yōu)化算法廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、預(yù)算定額求解等領(lǐng)域。但是粒子群優(yōu)化算法求出的優(yōu)化解很容易受局部范圍的影響，整體性和系統(tǒng)性相對(duì)較差，很多研究者提出改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法盡量克服這一局限，這些改進(jìn)在很大程度上提高了粒子群優(yōu)化算法的精度。本文使用隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行隨機(jī)干擾，使粒子跳出局部最優(yōu)解繼續(xù)尋找系統(tǒng)最優(yōu)解，在很大程度上提高了算法的精度，并使用實(shí)例對(duì)粒子群優(yōu)化算法和現(xiàn)有文獻(xiàn)的求解結(jié)果進(jìn)行比較研究，發(fā)現(xiàn)粒子群優(yōu)化算法計(jì)算的準(zhǔn)確度更高，通過(guò)該方法能夠得出較為精確的全局最優(yōu)解。本文對(duì)基于上層規(guī)劃模型的粒子群優(yōu)化算法的性能進(jìn)一步檢驗(yàn)，求解結(jié)果認(rèn)為基本所有實(shí)例均能全局收斂于最優(yōu)解，而且最優(yōu)解的方差非常小，表明本文構(gòu)建的基于粒子群優(yōu)化算法的最優(yōu)預(yù)算雙層規(guī)劃模型可信度較高。公司可以根據(jù)預(yù)算規(guī)模的大小設(shè)定相應(yīng)的參數(shù)和迭代次數(shù)，一般來(lái)說(shuō)預(yù)算規(guī)模較大的公司可以設(shè)定較高的迭代次數(shù)，從而保證估計(jì)結(jié)果的精準(zhǔn)性，用于求出本公司預(yù)算的最優(yōu)解，為公司利潤(rùn)的最大化提供政策建議。

[1]Nye K S.The Effect of Finance Risk CPI in the City Analsis of Cargo Hanling Operatins[J].Physica-Verlag HD,2013,(4).

[2]Weber J.Theory of the Travel Indasty Location of City[M].Chicago:The University of Chicago Press,2014

[3]Moiuer E M.The Location of Travel in Economic Activity of Inflation.[M].New York:Mc Graw-Hill,2015,(4).

[4]Wardman K.Interurban Travel Demand Elasticities and Employment Risk Competition in Great Britain:Evidence From Direct Demand Models of City[J].Transportation Research,2015,5(4).

[5]Hoonoum M.Zhang A,Zhang Y M.Optimal Demand for Travel Lease of City Eco-tourism[J].Transportation Research,2013,(6).

[6]Lally D A.Is Employment Travel Risk Expenditure Productive?[J].Journal of Monetary Economics,2014,(23).

[7]Monkhouse.Is Travel Risk Expenditure Stimulative?[J].Contemporary Policy Issues,2013,(7).

[8]Warlkejtn P.Travel Risk Economic Activity Demand Elasticities and Risk Inflation Competition in United States:Evidence From Direct Demand Models of Inflation[J].Transportation Research,2013,24(3).

[9]梁銀海,蔡承智.基于粒子群優(yōu)化算法的分散式廢水處理網(wǎng)絡(luò)的綜合[J].經(jīng)濟(jì)研究,2015，(10).

[10]高自友,張好智,孫會(huì)君.城市交通網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問(wèn)題中雙層規(guī)劃模型、方法及應(yīng)用[J].中國(guó)工業(yè)經(jīng)濟(jì),2015，(8).

[11]趙志剛.求解雙層規(guī)劃模型的粒子群優(yōu)化算法[J].世界經(jīng)濟(jì),2016，(4).

[12]張曉敏,張躍勝.基于GVAR模型的我國(guó)裝備制造業(yè)貨幣政策效應(yīng)研究[J].管理學(xué)刊，2016，(3).