代 瑩，王蓉華，徐曉嶺

（1.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234；2.上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院，上海 201620）

1 問(wèn)題的提出

非負(fù)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為θ的Lindley分布，則其概率密度函數(shù)f(x)和分布函數(shù)

Lindley分布是由Lindley[1,2]提出的一種分析壽命數(shù)據(jù)的新的分布。該分布在應(yīng)力-強(qiáng)度模型的可靠性研究中具有非常重要的作用，而且Ghitany等人在文獻(xiàn)[3]中指出，Lindley分布具有的很多數(shù)學(xué)性質(zhì)比指數(shù)分布的還要靈活，利用Lindley分布模型來(lái)擬合壽命數(shù)據(jù)在很多方面比用指數(shù)分布模型的效果還要好。Zakerzadeh和Dolai在文獻(xiàn)[4]中提出了廣義Lindley分布。文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]中也分別對(duì)Poisson-Lindley分布和zero-truncated Poisson-Lindley分布進(jìn)行了討論。杜偉娟等在文獻(xiàn)[7]中討論了獨(dú)立同分布樣本情形下Lindley分布參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes（EB）單側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，利用密度函數(shù)的遞歸核估計(jì)構(gòu)造了參數(shù)的EB檢驗(yàn)函數(shù)，在適當(dāng)條件下證明了所提出的EB檢驗(yàn)函數(shù)的漸近最優(yōu)性，并獲得了其收斂速度。龍兵在文獻(xiàn)[8]中研究了Lindley分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，在全樣本場(chǎng)合下給出了參數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域，并通過(guò)Monte-Carlo模擬說(shuō)明了所給方法的應(yīng)用。

Lindley分布有如下基本性質(zhì)：

定理1[3]：設(shè)非隨機(jī)變量X服從參數(shù)為θ的Lindley分布，則：

（6）當(dāng)θ≥1時(shí)，f(x)嚴(yán)格單調(diào)下降；當(dāng) 0＜θ＜1時(shí)，f(x)呈“倒浴盆”形；

2 定時(shí)截尾樣本場(chǎng)合下參數(shù)θ的統(tǒng)計(jì)分析

設(shè)產(chǎn)品壽命X服從參數(shù)為θ的Lindley分布，隨機(jī)從一批產(chǎn)品中抽取n個(gè)樣品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，定時(shí)截尾時(shí)間為t0，若記xk為第k個(gè)樣品的壽命，則第k個(gè)樣品的試驗(yàn)時(shí)間Sk(t0)是如下隨機(jī)變量：

其試驗(yàn)總時(shí)間為：

2.1 Sk(t0)的分布函數(shù)

顯然，S1(t0),S2(t0),…，Sn(t0)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，若記其分布函數(shù)為G(t)，則在t≤0時(shí)，Sk(t0)的分布函數(shù)G(t)=0，當(dāng)t＞0時(shí)有：

上式的第一項(xiàng)為：

上式第二項(xiàng)為：

由此可得Sk(t0)的分布函數(shù)為：

2.2 Sk(t0)的期望和方差

由Sk(t0)的分布函數(shù)可以看出，諸Sk(t0)是既非離散又非連續(xù)的隨機(jī)變量，由于Sk(t0)又都是有界隨機(jī)變量，它的期望與方差總存在，分別為：

容易驗(yàn)證，當(dāng)t0→+∞時(shí)，上述期望和方差分別為L(zhǎng)indley分布的期望和方差。

2.3 Sk(t0)的極限分布：由于諸樣品的試驗(yàn)時(shí)間

S1(t0),S2(t0),…，Sn(t0)是獨(dú)立同分布的有界隨機(jī)變量，所以由中心極限定理知，當(dāng)n很大時(shí)，總試驗(yàn)時(shí)間S(t0)近似服從正態(tài)分布，即：

2.4 參數(shù)θ的近似置信區(qū)間

首先給出定時(shí)截尾下參數(shù)θ的極大似然估計(jì)。設(shè)X1,X2,…,Xn為來(lái)自參數(shù)為θ的Lindley分布總體X的一個(gè)容量為n的樣本，試驗(yàn)進(jìn)行到t0（t0是預(yù)先給定的正數(shù)）時(shí)刻停止。設(shè)在時(shí)刻t0以前有r個(gè)產(chǎn)品失效，記相應(yīng)的失效時(shí)間為x(1)≤x(2)≤…≤x(r)≤t0

似然函數(shù)為：

則上述方程的根即為參數(shù)θ的極大似然估計(jì)。

引 理 ：對(duì)a＞0，θ＞0 的 方 程有唯一正實(shí)根。

則所求方程有唯一正實(shí)根。

下面用所得的參數(shù)θ的極大似然估計(jì)部分替換樞軸量H(θ)中的θ，從而容易得出近似置信區(qū)間和近似置信限。

記Uα2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)α2分位數(shù)，則參數(shù)θ的置信水平為 1-α的近似置信區(qū)間為 [1,2]，其中1,2分別為如下方程的根：

也即：

3 隨機(jī)模擬

首先產(chǎn)生來(lái)自Lindley分布θ=0.5,θ=1,θ=1.5,θ=2,θ=2.5,θ=3的隨機(jī)樣本，其樣本容量分別為10,15,20,25,30，然后取置信水平為α=0.1，根據(jù)上述公式計(jì)算θ的近似置信區(qū)間，如此重復(fù)1000次計(jì)算出各個(gè)樣本量和各種截尾次數(shù)下近似置信區(qū)間的覆蓋率及區(qū)間長(zhǎng)度如表1所示。

表1 近似置信區(qū)間的覆蓋率和平均長(zhǎng)度

從上述模擬結(jié)果可以看出，在置信水平方面該方法還是可行的。

4 實(shí)例分析

例1：取n=35,θ=0.5隨機(jī)產(chǎn)生一組服從Lindley分布的數(shù)據(jù)：

0.0862 ，0.2368，0.5039，0.5777，0.8323，0.9287，1.0101，

1.1329 ，1.1397，1.3328，1.3364，1.3729，1.4431，1.5088，

1.5890 ，1.7558，1.9672，2.0647，2.2915，2.4510，2.5994，

3.0736 ，3.3280，3.4773，3.8549，3.9115，4.5798，5.0378，

5.1388 ，5.7566，6.7986，7.1352，7.3523，9.5156，10.8070

取截尾時(shí)間t0=5，取置信水平為α=0.1，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)U0.05=1.64，在定時(shí)截尾樣本下θ的極大似然估計(jì)為=0.5266，按上述方法得到的近似置信區(qū)間為[0.3656,0.8547]。

例2：文獻(xiàn)[9]中某一型號(hào)坦克維修過(guò)程中，經(jīng)過(guò)47次觀察得到基層Ⅰ級(jí)預(yù)防性維修二級(jí)保養(yǎng)時(shí)間的現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)值如下（單位：小時(shí)）：

0.80 ，1.00，1.00，1.41，1.50，1.50，1.50，2.00，2.00，2.00

2.00 ，2.50，2.50，2.75，3.20，3.30，3.70，3.80，3.80，4.00

4.00 ，4.00，4.00，4.00，4.00，4.10，5.00，5.00，5.50，5.50

5.50 ，6.00，6.50，7.00，7.16，7.75，8.00，8.00，9.50，9.73

10.00 ，11.40，12.00，12.00，14.00，15.21，15.50

先對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合檢驗(yàn)，檢驗(yàn)其是否服從Lindley分布：

在文獻(xiàn)[9]中對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，按照文獻(xiàn)[9]的分組方法對(duì)樣本進(jìn)行分組，假設(shè)H0：該型坦克的基層Ⅰ級(jí)預(yù)防性維修二級(jí)保養(yǎng)時(shí)間服從艾拉姆伽分布，參數(shù)t0的極大似然估計(jì)為：t?0=5.4598，檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 原假設(shè)H0的 χ2檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果

χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的自由度取值為：區(qū)間數(shù)-未知參數(shù)個(gè)數(shù)-1，在文獻(xiàn)[9]中將樣本分成了6個(gè)區(qū)間，艾拉姆伽分布的分布函數(shù)中含有一個(gè)未知參數(shù)θ，但其檢驗(yàn)的自由度取3，這是不正確的，所以此處取自由度為4更為妥當(dāng)。

χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)依賴于區(qū)間的劃分，即使原假設(shè)H0:F(x)=F0(x)不成立，在某種劃分下還是可能有F(ai)-F(ai-1)=F0(ai)-F0(ai-1)=pi0,i=1,2,…,m，從 而不影響統(tǒng)計(jì)量的值。所以，下面用柯?tīng)柲缏宸驒z驗(yàn)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。

柯?tīng)柲缏宸驒z驗(yàn)：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)未知，X1,X2,…,Xn為從中抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，F(xiàn)0(x)為給定的某個(gè)分布函數(shù)。檢驗(yàn)問(wèn)題H0:F(x)=F0(x)。首先，將樣本觀測(cè)值從小到大排列為x(1),x(2),…,x(n)，求出F(x)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為：

給出檢驗(yàn)水平α，查表得到檢驗(yàn)的臨界值Dn,α，在n較大時(shí)可近似的決定檢驗(yàn)的臨界值，其中，當(dāng)α給定時(shí)，λ可查表求出。若Dn＞Dn,α則拒絕原假設(shè)H0，否則就接受原假設(shè)H0。

柯?tīng)柲缏宸驒z驗(yàn)此樣本是否服從Lindley分布：取置信水平為α=0.05 ，查表得λ1-α=1.36，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

故接受原假設(shè)H0，即認(rèn)為這批產(chǎn)品的壽命服從Lindley分布。

如取定時(shí)截尾時(shí)間為t0=9，置信水平為α=0.1，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)U0.05=1.64，在定時(shí)截尾樣本下θ的極大似然估計(jì)為=0.3137，按上述方法得到的近似置信區(qū)間為[0.1714,0.5058]。

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[9]呂會(huì)強(qiáng),高連華,陳春良.艾拉姆咖分布及其在保障性數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用[J].裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報(bào),2000,16(3).