周曦嬌，劉 誠(chéng)

（中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410012）

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)全球化的到來(lái)，企業(yè)之間的競(jìng)爭(zhēng)越來(lái)越激烈，不僅存在同一級(jí)企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)，也存在供應(yīng)鏈系統(tǒng)中上游企業(yè)和下游企業(yè)之間的博弈。企業(yè)在追求各自利潤(rùn)最大化的同時(shí)，不同的企業(yè)關(guān)系、合作與否以及采取的營(yíng)銷(xiāo)策略對(duì)企業(yè)的收益有著至關(guān)重要的作用。

Abad P L論述了在非變質(zhì)商品的供應(yīng)鏈系統(tǒng)中不同博弈模型中供應(yīng)商和零售商的利潤(rùn)分配的差異[1]，本文在其基礎(chǔ)上引入了退化率，探究供應(yīng)商和零售商對(duì)于變質(zhì)商品的銷(xiāo)售策略。而在供應(yīng)鏈中存在延期支付的情況，一些學(xué)者在算法上也做了深入的研究，Gupta D等[2]研究了存在延期支付的隨機(jī)存儲(chǔ)模型，闡述了如何確定最優(yōu)存儲(chǔ)水平以及延期支付中的相關(guān)參數(shù)。國(guó)內(nèi)學(xué)者邱昊[3]討論了延期支付期限的確定，但本文和他在模型的構(gòu)建上有很大的差異，比如在他的論文中需求和零售商價(jià)格都是已經(jīng)確定的，而本文中需求是價(jià)格的函數(shù)，銷(xiāo)售價(jià)格是目標(biāo)優(yōu)化當(dāng)中要確定的變量。在供應(yīng)鏈博弈的方面，也參考了江世英[4]研究的綠色供應(yīng)鏈博弈模型，比較了不同模型中供應(yīng)鏈上下游企業(yè)利潤(rùn)分配的差異。由于變質(zhì)商品的退化率的引入，模型的計(jì)算復(fù)雜了許多，本文借鑒了文曉巍[5]的算法，使用泰勒展開(kāi)式進(jìn)行近似化簡(jiǎn)，使得計(jì)算簡(jiǎn)便了許多。

1 模型的參數(shù)設(shè)置和假設(shè)

1.1 參數(shù)設(shè)置

本文中參數(shù)的設(shè)置情況如表1所示。

1.2 模型的假設(shè)

（1）只考慮一種產(chǎn)品。

表1 參數(shù)對(duì)照表

（2）需求只受價(jià)格影響，D(P)=K·P-E，K＞0，E為需求的價(jià)格彈性，該商品富有彈性，即E＞1。

（3）不允許缺貨。

（4）每周期終止時(shí)刻，系統(tǒng)的存貨量為0。

（5）忽略從發(fā)出訂貨到商品到達(dá)的時(shí)間。

（6）供應(yīng)商對(duì)提前付款沒(méi)有折扣，在最后期限前必須付款。

（7）Ie=Ip，Ih+Ip=I。

（8）Is=a+bM，a＞0，b＞0，即銷(xiāo)售商的機(jī)會(huì)成本率是關(guān)于延期支付期限的線(xiàn)性增長(zhǎng)函數(shù)。

（9）固定訂貨費(fèi)A在零售商購(gòu)買(mǎi)商品當(dāng)時(shí)消費(fèi)，延期支付的是應(yīng)付給供應(yīng)商的購(gòu)買(mǎi)商品的成本，即VQ。

（10）供應(yīng)商采取按需訂貨的策略，因此不會(huì)產(chǎn)生庫(kù)存費(fèi)用。

2 零售商問(wèn)題

零售商的目標(biāo)是確定零售價(jià)格P和銷(xiāo)售周期T（即確定訂貨量Q），使得利潤(rùn)最大化。由于庫(kù)存的變動(dòng)與顧客需求和其本身的存貨退化率有關(guān)，故有下式：

2.1 T≥M

（1）每周期的銷(xiāo)售收入=PDT

（2）每周期的購(gòu)貨成本=VQ

其中除去VDT的部分為存貨的退化成本，即購(gòu)貨成本包括退化成本。

（3）每周期的訂貨成本=A

（4）每周期的利息收入（機(jī)會(huì)增長(zhǎng)）

當(dāng)存在延期支付時(shí)，由于供應(yīng)商對(duì)提前付款沒(méi)有折扣，為了增加收益，零售商不會(huì)提前付款。在零售商支付貨款前，[0,M]這段時(shí)間內(nèi)，為維持信貸平衡，零售商賣(mài)出貨物的同時(shí)，會(huì)因?yàn)橐奄u(mài)出和已退化的貨物產(chǎn)生對(duì)供應(yīng)商的負(fù)債，但是零售商會(huì)從這筆屬于供應(yīng)商的貨款中獲得利息。一些學(xué)者將零售商得到的所有貨款帶來(lái)的利息算作利息收入，本文參照Abad P L的算法[1]，不考慮貨款中從原本屬于零售商的資金而獲得的利息收入，該收入不屬于零售商從該供應(yīng)鏈系統(tǒng)中獲得的收益，即利息收入為從應(yīng)支付給供應(yīng)商的賣(mài)掉和退化的商品的貨款中取得的利息。

故利息收入如下：

（5）每周期的庫(kù)存費(fèi)用（除去存貨融資）

（6）每周期存貨的機(jī)會(huì)成本（存貨融資）

在延期支付到期時(shí)零售商將所有貨款支付給供應(yīng)商，在[M,T]的時(shí)間段里，零售商還有存貨，他將資金投入到這些存貨中，在存貨還沒(méi)賣(mài)出時(shí)會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的機(jī)會(huì)成本。計(jì)算如下：

零售商的利潤(rùn)為：

Πb(P,T)=年銷(xiāo)售收入-年購(gòu)貨成本-年訂貨成本+年利息收入-年庫(kù)存費(fèi)用-庫(kù)存的機(jī)會(huì)成本

2.2 T≤M

在這種情況下，銷(xiāo)售收入、購(gòu)貨成本、訂貨成本、庫(kù)存費(fèi)用與M＜T的情況是相同的，而由于零售商在支付貨款時(shí)已經(jīng)賣(mài)出了所有商品，故不存在投資資金在存貨上，沒(méi)有機(jī)會(huì)成本，存貨融資為0。

利息收入：

經(jīng)計(jì)算得到，T≤M和M＜T兩種情況下零售商利潤(rùn)的表達(dá)式是相同的。

3 供應(yīng)商問(wèn)題

供應(yīng)商的目標(biāo)是設(shè)定延期支付的期限M和賣(mài)給零售商單位貨物的價(jià)格V，使得利潤(rùn)最大化。供應(yīng)商的利潤(rùn)構(gòu)成如下：

（1）每周期的銷(xiāo)售收入=VQ

（2）每周期的產(chǎn)品成本=CQ

（3）每周期的訂貨成本=S

（4）每周期的機(jī)會(huì)成本

在供應(yīng)商收到貨款之前，即[0,M]的時(shí)間段內(nèi)，會(huì)因?yàn)橄蛄闶凵烫峁┭悠谥Ц叮瑳](méi)收到貨款，產(chǎn)生相應(yīng)的機(jī)會(huì)成本，表示如下：

供應(yīng)商的年利潤(rùn)Πs=銷(xiāo)售收入-產(chǎn)品成本-固定成本-機(jī)會(huì)成本

考慮到一般情況下θT遠(yuǎn)小于1，根據(jù)泰勒展開(kāi)式，將eθT展開(kāi)到第三項(xiàng)，即eθT≈1+θT+θ2T2/2，那么：

4 博弈模型

4.1 Stackelberg模型

在領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者模型（即Stackelberg模型）中，供應(yīng)商作為領(lǐng)導(dǎo)者，決定延期支付的期限M和賣(mài)給零售商單位貨物的價(jià)格V，零售商作為跟隨者，根據(jù)供應(yīng)商的銷(xiāo)售方案，決定零售價(jià)格P和銷(xiāo)售周期T（即確定訂貨量Q），使得獲得最大利潤(rùn)。

根據(jù)泰勒展開(kāi)式，將eθT展開(kāi)到第三項(xiàng)，即eθT≈1+θT+θ2T2/2，那么：

對(duì)上式分別關(guān)于P和T求一階偏導(dǎo)取0，得到：

根據(jù)式（5）可以得到：

再根據(jù)式（4）可以得到：

故將式（6）和式（7）代入供應(yīng)商的利潤(rùn)表達(dá)式，可以得到只關(guān)于T和M的二元函數(shù)，求該函數(shù)的最大值也就是在該模型下的利潤(rùn)最大化。

4.2 Pareto最優(yōu)方案

帕累托最優(yōu)也稱(chēng)為帕累托效率，供應(yīng)商和零售商通過(guò)協(xié)調(diào)他們的銷(xiāo)售方案，使得雙方的利潤(rùn)都不減少，且至少有一方利潤(rùn)增加，這是一種合作博弈。參考Friedman解決帕累托最優(yōu)的方法[6]，求下述目標(biāo)函數(shù)最大化來(lái)解決。

∏s和∏b分別為式（2）和式（1）。

對(duì)上式關(guān)于V，P，T，M求偏導(dǎo)，得到如下等式：

假定V是經(jīng)零售商和供應(yīng)商協(xié)調(diào)達(dá)成一致后確定的數(shù)值，那么可以根據(jù)以上四個(gè)等式將λ、P、T、M解出。

4.3 納什均衡

納什均衡是一種策略組合，使得同一時(shí)間內(nèi)每個(gè)參與人的策略是對(duì)其他參與人策略的最優(yōu)反應(yīng)。

在零售商與供應(yīng)商的博弈中，如果某情況下無(wú)一參與者可以獨(dú)自行動(dòng)而增加收益（即為了自身利益的最大化，沒(méi)有任何單獨(dú)的一方愿意改變其策略），則此策略組合被稱(chēng)為納什均衡。

參考Friedman求解納什均衡的方法[6]，該供應(yīng)鏈的納什均衡通過(guò)求下述目標(biāo)函數(shù)最大化來(lái)解決。

Ss和Sb分別為在Stackelberg模型中供應(yīng)商和零售商的利潤(rùn)額。

5 算例

5.1 Stackelberg模型算例

參數(shù)設(shè)置如下：S=300美元，K=400000，Ih=0.12，Ie=Ip=0.16，E=2.5，a=0.08，b=0.06，A=40美元，c=3美元，將退化率設(shè)置為θ=0.02。調(diào)用MATLAB中的用于求解非線(xiàn)性有約束目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化函數(shù)fmincon求解Stackelberg模型。運(yùn)行結(jié)果如下：T=0.1702年，M=0.5578年，∏s=2182.1美元/年，∏b=5551美元/年，V=5.861美元/件，P=9.1444美元/件，Q=270件/次，D=1582件/年。

5.2 參數(shù)的靈敏度分析（在Stackelberg模型下）

由表2可知，在其他參數(shù)不變的情況下，當(dāng)Ie較小時(shí)延期支付期限M為0（即供應(yīng)商不提供延期支付），同時(shí)供應(yīng)商提供一個(gè)相對(duì)較低的售價(jià)V給零售商。對(duì)于零售商來(lái)說(shuō)，Ie較小時(shí)提供延期支付，零售商得到的利息收入較小；另一方面，對(duì)于供應(yīng)商來(lái)說(shuō)提供延期支付會(huì)增加其機(jī)會(huì)成本，故不提供延期支付。隨著Ie增大，延期支付期限增加。另外，訂貨周期和訂貨量也在減少，其原因在于Ie越大存貨的融資成本相對(duì)較大，減少訂貨量可以降低庫(kù)存水平,從而降低庫(kù)存的融資成本。

表2 Ie的靈敏度分析表（E=2.5，θ=0.02）

由表3可知，價(jià)格彈性系數(shù)E越大，說(shuō)明當(dāng)價(jià)格增加時(shí)消費(fèi)者需求的下降幅度遠(yuǎn)大于價(jià)格增加的幅度。因此為了保證年需求維持一定的水平，零售商的銷(xiāo)售價(jià)格會(huì)伴隨著彈性系數(shù)的增大而降低，但是受價(jià)格彈性系數(shù)的影響，需求還是會(huì)有所減少，從而導(dǎo)致訂貨量以及零售商和供應(yīng)商的利潤(rùn)減少。另一方面，為減少年訂貨費(fèi)用，再加上需求量降低，訂貨周期會(huì)延長(zhǎng)。

表3 E的靈敏度分析表（Ie=0.16，θ=0.02）

由表4可知，在其他參數(shù)不變的情況下，退化率較高的商品訂貨周期和訂貨量較小，其原因在于，退化率的增加會(huì)引起退化成本增加，減小訂貨量可以降低庫(kù)存水平使得商品的變質(zhì)消耗減少。另一方面，隨著退化成本的提高，也會(huì)使得零售商向消費(fèi)者的要價(jià)相對(duì)有所提高。顯然，退化率增大，會(huì)使得零售商利潤(rùn)和供應(yīng)商利潤(rùn)減少。

表4 θ的靈敏度分析表（Ie=0.16，E=2.5）

5.3 Pareto最優(yōu)方案

假定供應(yīng)商和零售商通過(guò)協(xié)商，將供應(yīng)商向零售商的要價(jià)V定在一個(gè)相對(duì)較低的金額（4.4美元/件）。參數(shù)的設(shè)置跟上文中的相同，同樣使用MATLAB軟件中的fmincon進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)行結(jié)果為：T=0.2786年，M=0.6541年，λ=0.5024，P=5.0871美元/件，∏s=6185.7美元/年，∏b=6368.2美元/年，D=6853件/年，Q=1915件/次，Z=6275。

顯然，在合作的情況下相對(duì)于領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者模型來(lái)說(shuō)，供應(yīng)商和零售商的利潤(rùn)都增加了。其原因在于，雖然雙方的銷(xiāo)售價(jià)格都減少了，但由于價(jià)格的變動(dòng)使需求量大幅增加，從而使雙方利潤(rùn)都增加。

5.4 納什均衡

參數(shù)的設(shè)置跟上文中的相同，使用MATLAB軟件中的求解非線(xiàn)性無(wú)約束目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化函數(shù)fminsearch進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)行結(jié)果為：T=0.301年，M=0.5705年，P=5.1134美元/件，∏s=4599.9美元/年，∏b=7997.9美元/年，D=6765件/年，Q=2043件/次，W=6093700。

雖然與Stackelberg模型的方案對(duì)比，零售商和供應(yīng)商的賣(mài)價(jià)大幅下降，但是在Stackelberg模型中零售商的利潤(rùn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)供應(yīng)商利潤(rùn)，在納什均衡中零售商同樣維持在供應(yīng)鏈中獲利的主導(dǎo)地位。

5.5 特殊情況

Stackelberg模型的特殊情況如表5所示。

表5 Stackelberg模型的特殊情況對(duì)照表（E=2.5，Ie=0.16）

由表5可知，在其他各參數(shù)不變的情況下，當(dāng)供應(yīng)商提供延期支付，且商品不變質(zhì)時(shí)，供應(yīng)商和零售商的利潤(rùn)最大。無(wú)論商品是否退化率為零，在此種情況下，供應(yīng)商提供合適的延期支付期限可以使供應(yīng)鏈中的兩方都受益。

6 結(jié)論

本文針對(duì)變質(zhì)商品的供應(yīng)鏈上、下游企業(yè)的博弈行為、協(xié)調(diào)關(guān)系問(wèn)題，建立了三種博弈模型進(jìn)行比較分析，在此基礎(chǔ)上討論了供應(yīng)商向零售商在一定情況下提供合理的延期支付的必要，為供應(yīng)商和零售商的營(yíng)銷(xiāo)提供決策分析。研究表明：

（1）Stackelberg模型中雙方的利潤(rùn)都較低，Pareto最優(yōu)和Nash均衡中利潤(rùn)較高，而Pareto最優(yōu)中供應(yīng)商采取與零售商合作協(xié)商的方法，確定合適的交易價(jià)格，可以將自己的收益顯著提高。故在市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)中上游企業(yè)和下游企業(yè)應(yīng)該避免損壞雙方利益的惡性競(jìng)爭(zhēng)，通過(guò)合作實(shí)現(xiàn)共贏(yíng)。

（2）當(dāng)零售商的短期資本增長(zhǎng)率（或資本成本率）小于某個(gè)較小的值時(shí)（不同參數(shù)設(shè)置下該最大值不同），供應(yīng)商向零售商提供延期支付會(huì)使得雙方利潤(rùn)減小。

（3）在一定情況下，即零售商的短期資本增長(zhǎng)率大于那個(gè)較小的值，供應(yīng)商向零售商提供合理的延期支付期限，雖然會(huì)增加其機(jī)會(huì)成本，但是延期支付會(huì)對(duì)零售商有促銷(xiāo)的作用，提高產(chǎn)品的銷(xiāo)售量，會(huì)使得雙方利潤(rùn)都有所提高。

（4）對(duì)于變質(zhì)商品來(lái)說(shuō)，退化率越高，供應(yīng)鏈中的每一方都將遭受越大的損失，因此針對(duì)變質(zhì)商品采取一系列的降低其退化率的措施是必要的。

[1]Abad P L,Jaggi C K.A Joint Approach for Setting Unit Price and the Length of Credit Period for a Seller When the Demand is Price Sensitive[J].Int.J.Production Economics,2003,83(5).

[2]Gupta D,Wang L.A Stochastic Inventory Model With Trade Credit[J].Manufacturing&Service Operations Management,2009,11(1).

[3]邱昊.基于延期支付的供應(yīng)鏈庫(kù)存協(xié)調(diào)[D].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士論文,2007.

[4]江世英,李隨成.考慮產(chǎn)品綠色度的綠色供應(yīng)鏈博弈模型及收益共享契約[J].中國(guó)管理科學(xué)，2015,23(6).

[5]文曉巍.變質(zhì)商品的供應(yīng)鏈庫(kù)存策略研究[D].南京:東南大學(xué)博士論文,2005.

[6]Friedman J W.Game Theory With Application to Economics[M].New York：Oxford University Press,1986.