包振華，張 姝

（遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029）

0 引言

保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)因既包含大量小額損失又包含少量的高額損失，從而具有尖峰厚尾的特點(diǎn)。在保險(xiǎn)精算相關(guān)文獻(xiàn)中，很多學(xué)者使用對(duì)數(shù)正態(tài)分布、逆高斯分布、伽馬分布及威布爾分布等單一分布對(duì)此類數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，但對(duì)實(shí)際損失數(shù)據(jù)的尾部擬合往往不足。Cooray和Ananda（2005）[1]提出了一類組合統(tǒng)計(jì)模型，他們用對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合小額損失而用帕累托分布擬合髙額損失，同時(shí)保證對(duì)數(shù)正態(tài)分布和帕累托分布的平滑連接。使用丹麥火災(zāi)損失數(shù)據(jù)擬合實(shí)驗(yàn)表明，該組合模型的擬合效果優(yōu)于單一模型。Scollnik（2007）[2]使用可變權(quán)重系數(shù)代替文獻(xiàn)[1]中組合模型的常系數(shù)，提高了組合模型的擬合效果，并提出對(duì)數(shù)正態(tài)-廣義帕累托組合模型。Scollnik和Sun（2012）[3]按相同的思路設(shè)計(jì)了威布爾-帕累托組合模型，并與對(duì)數(shù)正態(tài)-帕累托組合模型進(jìn)行比較。Bakar等（2015）[4]提出一種新的組合方法，該組合模型依據(jù)組合分布的參數(shù)調(diào)節(jié)混合權(quán)重系數(shù)和閾值，研究了威布爾分布與其他厚尾分布的組合，實(shí)證結(jié)果顯示威布爾-布爾組合模型擬合效果最優(yōu)。

本文采用文獻(xiàn)[4]的方法研究指數(shù)威布爾分布與一類轉(zhuǎn)換貝塔分布族的組合統(tǒng)計(jì)模型，使用R語言對(duì)丹麥火險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并通過似然比檢驗(yàn)比較指數(shù)威布爾組合模型和相應(yīng)的威布爾組合模型。

1 指數(shù)威布爾分布

指數(shù)威布爾分布（以下簡(jiǎn)記為EW分布）通過在威布爾分布中增加一個(gè)形狀參數(shù)得到，最早由Mudholkar和Srivastava（1993）[5]提出，相關(guān)性質(zhì)可參見文獻(xiàn)[6]。設(shè)隨機(jī)變量X服從EW分布，其分布函數(shù)為：

相應(yīng)的概率密度函數(shù)為：

其中α為第一形狀參數(shù)，γ為第二形狀參數(shù)，λ為尺度參數(shù)。圖1和圖2分別展示了EW密度函數(shù)關(guān)于兩個(gè)形狀 參 數(shù)α,γ的 變 化 。 當(dāng)λ=0.5,γ=2時(shí)，分 別 取α=0.5,1,2,4，EW分布密度變化如圖1所示。EW分布的密度曲線都是單峰的，且當(dāng)參數(shù)α＜1時(shí)，概率密度單調(diào)遞減。保持參數(shù)γ,λ不變，隨著α的增加，概率密度的峰值右移且變大，密度曲線形態(tài)越來越相似。當(dāng)λ=0.5,α=2時(shí)，分別取γ=0.5,1,2,4，EW分布密度變化如圖2所示。當(dāng)γ＜1時(shí)，概率密度函數(shù)單調(diào)遞減，且只有尾部形態(tài)。保持參數(shù)α,λ不變，隨著γ的增加，概率密度的峰值越來越大，且尾部越來越薄。

圖1 EW分布關(guān)于參數(shù)α概率密度變化

圖2 EW分布關(guān)于參數(shù)γ概率密度變化

相較于威布爾分布的單調(diào)失效率函數(shù)，EW分布的失效率函數(shù)根據(jù)形狀參數(shù)和尺度參數(shù)取值范圍的不同而呈現(xiàn)出不同的特征。具體的，當(dāng)α=γ=1時(shí)，失效率函數(shù)為一條直線；γ≥1且αγ≥1時(shí)，失效率函數(shù)單調(diào)遞增；γ≤1且αγ≤1時(shí)，失效率函數(shù)單調(diào)遞減；γ＜1且αγ＜1時(shí)，失效率函數(shù)為浴盆型；γ＞1且αγ＞1時(shí)，失效率函數(shù)為反浴盆型。這些獨(dú)特屬性使得EW分布在壽命數(shù)據(jù)分析方面得到了廣泛的應(yīng)用。

特別地，當(dāng)α=1時(shí)，EW分布退化為經(jīng)典的威布爾分布；當(dāng)γ=1時(shí)，EW分布退化為廣義指數(shù)分布（以下簡(jiǎn)記為EE分布）。EE分布的形態(tài)與威布爾和伽馬分布相似，相關(guān)性質(zhì)參見文獻(xiàn)[7]。

2 指數(shù)威布爾組合模型

考慮Bakar等（2015）[4]提出的組合方法，組合模型的密度函數(shù)具有如下形式：

為某個(gè)概率密度函數(shù)，F(xiàn)i(x)為相應(yīng)的累積分布函數(shù)。為保證概率密度的連續(xù)性，組合模型在閾值θ處滿足以下兩個(gè)條件：

根據(jù)約束條件（2），可以給出參數(shù)φ的具體表達(dá)式：

其中(?)=1-Fi(?)。根據(jù)約束條件（3），參數(shù)θ可由式（5）確定：

以下假設(shè)f1(x)由式（1）確定，而f2(x)屬于轉(zhuǎn)換的貝塔分布族，其密度函數(shù)由下式確定：

其中β，φ和τ是三個(gè)形狀參數(shù)，σ是尺度參數(shù)，且所有參數(shù)均大于零，貝塔函數(shù)B(?)定義為：

本文將考慮轉(zhuǎn)換的貝塔分布族中如下六種形式的分布，詳細(xì)介紹參見文獻(xiàn)[8]：

（1）當(dāng)φ=1時(shí)，f2(x)退化為廣義帕累托分布；

（2）當(dāng)β=1時(shí)，f2(x)退化為逆布爾分布；

（3）當(dāng)β=1,φ=τ時(shí)，f2(x)退化為逆Paralogistic分布；

（4）當(dāng)φ=1,τ=1時(shí)，f2(x)退化為帕累托分布；

（5）當(dāng)τ=1,φ=β時(shí)，f2(x)退化為Paralogistic分布；

（6）當(dāng)τ=1時(shí)，f2(x)退化為布爾分布，具體表達(dá)式如下：

本文僅以EW-布爾組合模型為例，即f2(x)由式（6）確定，其他組合模型的構(gòu)造過程類似。根據(jù)式（4），φ的表達(dá)式可寫成如下形式：

盡管閾值θ沒有一個(gè)確切的表達(dá)式，但它可以根據(jù)式（5）求出數(shù)值解。經(jīng)過化簡(jiǎn)，最終EW-布爾組合模型共由六個(gè)未知參數(shù)α,γ,λ,β,φ,σ確定。EW分布、布爾分布及EW-布爾組合模型的密度函數(shù)如圖3所示，其中EW分布參數(shù)取為α=4,γ=2,λ=0.5，布爾分布參數(shù)為β=1.5,φ=0.5,σ=1。EW-布爾組合模型的密度峰值比EW分布更小，尾部比EW分布更厚，說明EW-布爾組合模型可以更好的擬合低頻高額損失數(shù)據(jù)。

圖3 EW-布爾組合模型密度函數(shù)圖

3 丹麥火災(zāi)損失數(shù)據(jù)的實(shí)證分析

本文引用丹麥火災(zāi)損失數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析。該數(shù)據(jù)記錄了1980—1990年由火災(zāi)引起的保險(xiǎn)索賠數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)調(diào)整到1985年的物價(jià)水平，以排除通貨膨脹和價(jià)格指數(shù)等因素的影響，單位是百萬克朗，共2492個(gè)數(shù)據(jù)，其中損失低于1百萬克朗的數(shù)據(jù)有325個(gè)。該數(shù)據(jù)集可在R語言的SMPracticals包中找到。丹麥火險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)的相關(guān)描述性統(tǒng)計(jì)量如表1所示。

表1 丹麥火災(zāi)損失數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)量

由表1可知，該組數(shù)據(jù)的峰度為546.13，偏度為19.88，且1/4分位數(shù)與3/4分位數(shù)離最大值很遠(yuǎn)，具有明顯的正偏性，如圖4所示。圖5的損失數(shù)據(jù)直方圖顯示該組數(shù)據(jù)在1左右處達(dá)到密度峰值，并有很長(zhǎng)的右拖尾，說明數(shù)據(jù)具有明顯的尖峰厚尾特征。

圖4 丹麥火險(xiǎn)數(shù)據(jù)箱線圖

圖5 丹麥火險(xiǎn)數(shù)據(jù)柱狀圖

使用最大似然估計(jì)法對(duì)組合模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，以NLL、AIC和BIC作為檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，并借助R語言實(shí)現(xiàn)具體運(yùn)算。如前所述，本文將考察轉(zhuǎn)換貝塔分布族中的六種分布，包括帕累托分布、廣義帕累托分布、布爾分布、逆布爾分布、Paralogistic分布以及逆Paralogistic分布?；贓W組合模型的估計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 EW組合模型的估計(jì)結(jié)果

根據(jù)表2結(jié)果顯示，各EW組合模型中參數(shù)α,γ,λ的估計(jì)值十分相似，說明EW組合模型的擬合差異主要取決于閾值后分布的擬合效果。其中EW-布爾組合模型的NLL和AIC在所有組合模型中最小，意味著在這兩個(gè)準(zhǔn)則下EW-布爾組合模型的擬合效果最好。由于布爾分布比逆Paralogis分布多一個(gè)參數(shù)，EW-布爾組合模型的BIC比EW-逆Paralogis組合模型大0.841，意味著在BIC準(zhǔn)則下EW-逆Paralogis組合模型的擬合效果最好。

由于EW-帕累托組合模型和EW-布爾組合模型是分級(jí)的巢式模型，且前者是后者的特例，下面采用似然比檢驗(yàn)來判斷EW-布爾組合模型擬合效果是否有顯著性提高。檢驗(yàn)量似然比表達(dá)式如下：

其中L(θ0)和L(θ1)分布表示EW-帕累托組合模型和EW-布爾組合模型的最大對(duì)數(shù)似然值。根據(jù)表2可知LR=2[3821.889-3815.202]=13.374，根據(jù)Wilks提出的理論，LR近似符合自由度為1的卡方分布，根據(jù)卡方檢驗(yàn)臨界值表，顯著性水平為0.001時(shí)對(duì)應(yīng)臨界值為9.500，說明LR相應(yīng)p值應(yīng)小于0.001，且EW-布爾組合模型與EW-帕累托組合模型比顯著性提高。

特別地，當(dāng)EW分布中的形狀參數(shù)α=1時(shí)，EW組合模型即轉(zhuǎn)化為威布爾組合模型，基于威布爾組合模型的估計(jì)結(jié)果如表3所示。

表3 威布爾組合模型的估計(jì)結(jié)果

根據(jù)表3結(jié)果顯示，威布爾-布爾組合模型的NLL和AIC最小，說明在這兩個(gè)準(zhǔn)則下威布爾-布爾組合模型的擬合效果最優(yōu)，這個(gè)結(jié)論與Bakar等(2015)[4]的研究結(jié)果一致。與表2結(jié)果對(duì)比，威布爾組合模型與相應(yīng)EW組合模型閾值后分布擬合結(jié)果相似，說明兩種組合模型擬合效果差異主要取決于閾值前的分布擬合效果。

注意到威布爾組合模型是相應(yīng)EW組合模型的特例，并且根據(jù)表2和表3結(jié)果可知EW組合模型的NLL值比相應(yīng)的威布爾組合模型小2至3。以比較EW-布爾組合模型和威布爾-布爾組合模型擬合效果為例，根據(jù)式(7)可得LR=2[3817.57-3815.202]=4.736，當(dāng)自由度為1顯著性水平為0.05時(shí)，卡方臨界值為3.841，說明LR相應(yīng)p值應(yīng)小于0.05，EW-布爾組合模型的擬合效果與威布爾-布爾組合模型相比有顯著性提高。類似地可知每個(gè)EW組合模型相較于威布爾組合模型有顯著性提高。

4 結(jié)論

保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)往往呈現(xiàn)尖峰厚尾的特點(diǎn)，相比于單一分布，組合模型可以明顯提高這類數(shù)據(jù)的擬合效果。本文基于指數(shù)威布爾分布構(gòu)建了一類組合統(tǒng)計(jì)模型，其中閾值之后的分布取自轉(zhuǎn)換的貝塔分布簇，當(dāng)參數(shù)取特殊值時(shí)獲得六種具體的組合分布。使用R語言對(duì)丹麥火險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)做擬合分析，給出六種組合模型的參數(shù)估計(jì)及擬合優(yōu)度比較，結(jié)果表明EW-布爾組合模型在NLL和AIC準(zhǔn)則下擬合效果最好。根據(jù)似然比檢驗(yàn)，EW組合模型擬合效果相較于威布爾組合模型有顯著性提高，意味著在尖峰厚尾損失數(shù)據(jù)建模中，EW組合模型具有較大優(yōu)勢(shì)。

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