劉玉忠, 馮 巖(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

切換系統(tǒng)作為一類重要的混雜動力系統(tǒng),是由一系列連續(xù)(離散)時間子系統(tǒng)以及決定子系統(tǒng)間如何切換的規(guī)則組成。隨著科學(xué)和工程技術(shù)的快速發(fā)展,對于切換系統(tǒng)的H∞濾波設(shè)計,已經(jīng)引起了國內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注,在通訊、電力、環(huán)境、機(jī)械控制和系統(tǒng)工程以及航空航天等多個領(lǐng)域都具有極其廣泛的應(yīng)用,因此成為研究的熱點問題。在實際切換系統(tǒng)中,描述系統(tǒng)的模型很難直接被設(shè)計,為了方便解決就需要簡化模型,所以模型本身帶有很多的參數(shù)不確定性和非線性動態(tài)。切換系統(tǒng)不但需要考慮無干擾的工作狀態(tài)下的控制切換性能,還需要考慮處理相關(guān)的噪音干擾時滯等情況。

近些年,對于模型的魯棒故障分析,特別是切換系統(tǒng)的魯棒H∞故障診斷濾波器設(shè)計問題,引起了更多學(xué)者的興趣,并取得了豐碩的研究成果[1-5]。對于范數(shù)有界參數(shù)不確定的情況,文獻(xiàn)[6]給出了基于Riccati方程的設(shè)計,是早期研究參數(shù)不確定魯棒分析的處理方法。但在實施此方法之前,需要提前確定好一些待定參數(shù),這些參數(shù)直接影響結(jié)果的好壞,也會影響結(jié)果的可解性,并且缺少尋求其參數(shù)最佳值的辦法。文獻(xiàn)[7]提出狀態(tài)觀測器設(shè)計問題,但沒有考慮參數(shù)不確定性。文獻(xiàn)[8]給出了基于LMI的研究辦法,但沒有直接應(yīng)用于時滯切換系統(tǒng)。文獻(xiàn)[9]就參數(shù)不確定性給出Kalam濾波器設(shè)計。但對于Kalam濾波器的設(shè)計方法,當(dāng)運(yùn)動目標(biāo)長時間被遮擋時會存在目標(biāo)跟蹤丟失的情況。關(guān)于時滯切換系統(tǒng)的魯棒H∞濾波問題,文獻(xiàn)[10-11]研究了濾波器的LMI設(shè)計方法,得出結(jié)論推廣到非線性擾動的情況。切換系統(tǒng)動態(tài)行為更加的復(fù)雜,由于存在干擾時滯以及不確定性,對于時滯切換系統(tǒng)將設(shè)計濾波器對其改善與研究。本文就同時帶有不確定性和線性時滯的切換系統(tǒng),給出魯棒H∞濾波設(shè)計。應(yīng)用Lyapunov方法,采取線性矩陣不等式方法獲得系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件,并利用積分不等式方法,直接解決在處理二重積分時出現(xiàn)的計算問題,使得增廣濾波誤差切換系統(tǒng)穩(wěn)定,且具有H∞性能水平。

1 問題描述及預(yù)備工作

考慮如下參數(shù)不確定的線性切換系統(tǒng)

(1)

其中:Ai,Adi,Bi,Hi,EAi,EAdi,EBi是已知適維矩陣;Hi,EAi,EAdi,EBi是切換系統(tǒng)中的不確定參數(shù)對切換系統(tǒng)模型的影響,代表了不確定切換系統(tǒng)的不確定性結(jié)構(gòu)。

Fi(t)是具有李普希茲可測元的未知不確定矩陣,并且滿足范數(shù)有界條件:

?t≥0,i∈N

設(shè)計濾波器時,總是假定切換系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定的,而且不確定結(jié)構(gòu)適用廣泛。由此來設(shè)計如下的具有H∞性能的濾波器:

(2)

(3)

對應(yīng)其濾波誤差系統(tǒng)矩陣分別為

引理1[11]假設(shè)a(·)∈Rna,b(·)∈Rnb,N(·)∈Rna×nb時間間隔為Ω,對于任意矩陣X∈Rna×na,Y∈Rna×nb,Z∈Rnb×nb,則下列式子成立:

1)S<0;

定義若對給定標(biāo)量γ>0系統(tǒng)滿足‖e(t)‖2≤γ‖w(t)‖2,?w(t)∈L2[t0,∞)則稱濾波誤差系統(tǒng)(6)穩(wěn)定且具有H∞性能水平γ。

2 主要結(jié)果

首先給出系統(tǒng)的穩(wěn)定性和滿足系統(tǒng)線性矩陣不等式H∞性能的充分條件,這是后文設(shè)計濾波器的前提,然后來證明系統(tǒng)滿足H∞性能指標(biāo)。

2.1 濾波誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性和H∞性能分析

定理1 對于切換系統(tǒng),若存在對稱正定矩陣Pi,Q,X,Z和矩陣Y,有

(4)

證明 對于第i個子系統(tǒng),選取適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)Vi=V(x1(t))+V(x2(t))+V(x3(t))。其中

Vi2關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)為

(6)

Vi3關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)為

其中

(9)

則濾波誤差系統(tǒng)穩(wěn)定并具有魯棒H∞性能水平γ

證明 因

定義

(10)

現(xiàn)在對切換系統(tǒng)進(jìn)行時間t的分割,在零初始條件同樣滿足,即

所以:

即

因此

所以‖ze(t)‖≤γ‖w(t)‖,因此能保證濾波誤差系統(tǒng)(3)穩(wěn)定并滿足給定的H∞性能指標(biāo)。

2.2 魯棒H∞濾波器設(shè)計

本節(jié)中,根據(jù)定理1的濾波誤差系統(tǒng)具有H∞性能指標(biāo)的穩(wěn)定條件,提出切換系統(tǒng)的魯棒H∞濾波器設(shè)計方法。

(11)

其中

則存在如(2)的切換系統(tǒng)濾波器以及濾波誤差系統(tǒng)(3)具有魯棒H∞性能γ并且是漸近穩(wěn)定的。

其中P11i∈Rn×n,S11i∈Rn×n。

令

整理矩陣得

(12)

其中

根據(jù)假設(shè)1,式(12)可以轉(zhuǎn)化為

(14)

其中:

令

ΔTi=ΔTi1+ΔTi2+ΔT13+ΔT14+ΔT15+ΔT16,

根據(jù)假設(shè)1,處理不確定項可以得ΔTi1,ΔTi2,ΔT13,ΔT14,ΔT15,ΔT16,分別為

由引理3可知

進(jìn)一步可解得

定理3證畢。

3 結(jié) 論

本文研究了一類具有不確定時滯的切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并對其設(shè)計了H∞濾波器問題。通過設(shè)計狀態(tài)濾波器,選取適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)對轉(zhuǎn)換后的系統(tǒng)進(jìn)行研究,并采取LMI方法獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件,并且使得不確定線性時滯切換系統(tǒng)具有H∞性能水平。

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