復(fù)合優(yōu)化問題的Farkas引理和Lagrange強(qiáng)對偶*

龔鑫，方東輝

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

摘要：在函數(shù)不具有連續(xù)性的情況下，利用共軛函數(shù)的上圖性質(zhì)，引進(jìn)新的約束規(guī)范條件，等價(jià)刻畫了復(fù)合優(yōu)化問題與其對偶問題之間的強(qiáng)對偶、穩(wěn)定強(qiáng)對偶及Farkas引理等，并將相關(guān)結(jié)論應(yīng)用于復(fù)合錐規(guī)劃的研究之中.

關(guān)鍵詞：復(fù)合優(yōu)化；強(qiáng)對偶；Farkas引理；復(fù)合錐優(yōu)化

文章編號：1007-2985(2015)06-0008-06

中圖分類號：O224文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.cnki.jdxb.2015.06.003

收稿日期：*2015-06-05

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11461027)；湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(13B095)；湖南省研究生創(chuàng)新科研基金資助項(xiàng)目(CX2015B548)

作者簡介：龔鑫(1989—),女,河南周口人,吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院碩士研究生,主要從事最優(yōu)化理論與方法研究 通信作者：方東輝(1979—),男,湖南洞口人,吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授,博士,主要從事最優(yōu)化理論與方法研究.

由于許多優(yōu)化問題，例如凸約束優(yōu)化問題、極大極小問題、錐規(guī)劃等，都可以看成復(fù)合優(yōu)化問題的特例，因此復(fù)合優(yōu)化問題的對偶理論引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[7-10].筆者在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，研究如下復(fù)合優(yōu)化問題(P)：

筆者在函數(shù)不一定具有連續(xù)性、集合不一定是閉集的假設(shè)下，研究復(fù)合優(yōu)化問題(P)的對偶理論及Farkas引理.利用共軛函數(shù)的上圖性質(zhì)，引進(jìn)一個(gè)新的約束規(guī)劃條件，建立了問題(P)與其對偶問題之間的強(qiáng)對偶、穩(wěn)定強(qiáng)對偶定理及問題(P)的Farkas引理成立的等價(jià)刻畫.由于凸約束優(yōu)化問題是問題(P)的特例，因此推廣了凸優(yōu)化中的相關(guān)結(jié)論.

1預(yù)備知識

設(shè)X，Y是實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g，X*和Y*是X和Y的共軛空間，分別賦予弱拓?fù)洇?X*,X)和ω(Y*,Y).表示泛函x*∈X*在點(diǎn)x∈X的值，即=x*(x).非空集合Z?X的示性函數(shù)和對偶錐分別定義為

Z⊕∶={x*∈X*:≥0,?z∈Z}.

f*(x*)=sup{-f(x):x∈X}?x*∈X*,

epif∶={(x,r)∈X×R:f(x)≤r}.

epif*+epih*?epi (f+h)*,

f≤h?f*≥h*?epif*?epih*.

2 Farkas引理和Lagrange強(qiáng)對偶

設(shè)p∈X*，考慮帶線性擾動的復(fù)合優(yōu)化問題(Pp)

及其Lagrange對偶問題(Dp)

注意到，當(dāng)p=0時(shí)，問題(Pp)即是前述問題(P)，而問題(Dp)則轉(zhuǎn)化為問題(D)

令A(yù)表示不等式系統(tǒng){x∈C;ht(x)≤0,?t∈T}的解集，即A∶={x∈C;ht(x)≤0,?t∈T}.令v(Pp)和v(Dp)分別表示問題(Pp)和(Dp)的最優(yōu)值.易證問題(P)和(D)之間的弱對偶成立，即v(P)≥v(D).若v(P)=v(D)且問題(D)有最優(yōu)解，則稱問題(P)和(D)之間的強(qiáng)對偶成立.若對?p∈X*，問題(Pp)和(Dp)之間的強(qiáng)對偶成立，則稱問題(P)和(D)之間的穩(wěn)定強(qiáng)對偶成立.

受文獻(xiàn)啟發(fā)，定義復(fù)合優(yōu)化問題的Farkas引理如下：

若對?p∈X*和α∈R，下面等價(jià)關(guān)系成立:

[(f1°f2)(x)- ≥α,?x∈AFZ(]μ∈domf*1,(λt)t∈T∈R(T)+

(1)

則稱問題(P)滿足穩(wěn)定Farkas引理.特別地，當(dāng)p=0時(shí)(1)式成立，則稱問題(P)滿足Farkas引理，即

[(f1°f2)(x) ≥α,?x∈AFZ(]μ∈domf*1,(λt)t∈T∈R(T)+

(2)

注1由共軛函數(shù)定義可知，對?p∈X*和α∈R，

[(f1°f2)(x)-≥α,?x∈A]?-(f1°f2+δA)*(p)=v(Pp)≥α,

因此，(1)式成立當(dāng)且僅當(dāng)(1)式中的“?”成立.

為等價(jià)刻畫問題(P)和(D)之間的強(qiáng)對偶及問題(P)的Farkas引理，引入以下約束規(guī)范條件：

定義1若

(3)

故(3)式成立當(dāng)且僅當(dāng)

定理1下面的命題等價(jià):

(ⅰ)問題(P)滿足Farkas引理；

(ⅱ)對?α∈R；

(0,-α) ∈epi (f1°f2+δA)*?FZ(](λt)t∈T∈R(T)+,μ∈domf*1

(4)

(ⅲ)

(ⅳ) 問題(P)和(D)之間的Lagrange強(qiáng)對偶成立.

證明首先證明(ⅰ)?(ⅱ).由共軛函數(shù)的上圖定義知，(2)式的左邊等價(jià)于(4)式的左邊，(2)式的右邊與(4)式的右邊等價(jià)，因此(ⅰ)?(ⅱ).

所以(ⅲ)成立.

所以(4)式中的“?”成立.

為刻畫問題(P)的穩(wěn)定Farkas引理及問題(P)和(D)之間的穩(wěn)定強(qiáng)對偶，先證明以下命題：

(5)

證明對?p∈X*，由引理1可得

epi(f1°f2-p+δA)*=epi(f1°f2+δA)*+epi(-p)*=epi(f1°f2+δA)*+(-p,0)，

因此,

epi(f1°f2-p+δA)*∩({0}×R)=epi(f1°f2+δA)*∩({p}×R)+(-p,0).

類似地,

于是，(5)式成立當(dāng)且僅當(dāng)對?p∈X*,

即

因此結(jié)論成立.

由定理1和命題1可得下面的結(jié)論：

定理2下面命題等價(jià):

(ⅰ)問題(P)滿足穩(wěn)定Farkas引理；

(ⅱ)問題(P)和(D)之間的穩(wěn)定Lagrange強(qiáng)對偶成立；

注3近來，文獻(xiàn)研究了如下經(jīng)典的約束優(yōu)化問題(P1):

利用(WEHP)f條件，等價(jià)刻畫了問題(P1)與其對偶問題(D1)

之間的強(qiáng)對偶及問題(P1)的Farkas引理，即對?α∈R,

注意到，當(dāng)X=Y,f1:X→R為真凸函數(shù)，f1為單位算子時(shí)，問題(P)恰為凸約束優(yōu)化問題(P1)，而問題(D)即為(D1).因此，定理1和定理2分別推廣了文獻(xiàn)中的定理4.4和定理4.5.

3復(fù)合錐規(guī)劃中的應(yīng)用

對?λ∈S⊕，定義[2,5-6]

設(shè)A∶={x∈C:(λg)(x)≤0,?λ∈S⊕}={x∈C:g(x)∈-S},則由定理1和定理2可得如下結(jié)論：

定理3下面的命題等價(jià):

(ⅰ)問題(P(S))滿足Farkas引理，即對?α∈R，

[f(1°f2)(x)≥α, ?x∈A?FZ(]μ∈domf*1,λ∈S⊕

(ⅱ)對?α∈R,

(ⅲ)

(ⅳ)問題(P(S))和(D(S))之間的Lagrange強(qiáng)對偶成立.

定理4下面的命題等價(jià):

(ⅰ)問題(P(S))滿足穩(wěn)定Farkas引理，即對?α∈R及p∈X*,

[f(1°f2)(x)-p,x≥α,?x∈A]?FZ(μ∈domf*1,λ∈S⊕

(ⅱ)問題(P(S))和(D(S))之間的穩(wěn)定Lagrange強(qiáng)對偶成立；

注4當(dāng)X=Y,f2為單位算子時(shí)，問題(P(S))和(D(S))等價(jià)于文獻(xiàn)中的問題(Pf(S))和(Df(S))，因此定理3和定理4分別推廣了文獻(xiàn)中的定理6.6和定理6.7.

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Farkas Lemmas and Lagrange Dualities for

Composite Optimization Problems

GONG Xin,FANG Donghui

(College of Mathematics and Statistics，Jishou University，Jishou 416000，Hunan China)

Abstract:Under the assumption that the functions are not necessarily continuous，by using the epigraph technique of conjugated functions，we introduce some new constraint qualifications，which completely characterize the Farkas lemma，the strong duality and the stable strong duality between the composite problem and its dual problem.Applications to the composite conical optimization problem are also given.

Key words:composite optimization;strong duality;Farkas lemma;composite conical optimization

(責(zé)任編輯向陽潔)