多連桿機(jī)械臂加速度層最小運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和控制策略*

肖林1，嚴(yán)慧玲2，周文輝1，廖柏林1

(1.吉首大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 吉首 416000;2.吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000 )

摘要：為實(shí)現(xiàn)多連桿機(jī)械臂在加速度層最小運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和控制，提出了一個(gè)基于最小加速度范數(shù)的運(yùn)動(dòng)控制策略.該方案通過二次規(guī)劃的描述，考慮機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角、關(guān)節(jié)速度和關(guān)節(jié)加速度極限約束，在運(yùn)動(dòng)控制過程中規(guī)避了機(jī)械臂的物理極限.為高效地控制機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)，提出計(jì)算復(fù)雜度較低的迭代控制算法.六連桿機(jī)械臂仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了最小加速度方案及其迭代控制算法的有效性.

關(guān)鍵詞：多連桿機(jī)械臂；加速度層；運(yùn)動(dòng)控制方案；控制算法;二次規(guī)劃

文章編號(hào)：1007-2985(2015)06-0044-05

中圖分類號(hào)：TP24文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.cnki.jdxb.2015.06.011

收稿日期：*2015-06-11

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61503152)；吉首大學(xué)校級(jí)課題(15JDX020)；吉首大學(xué)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(JDLF2015013)；湖南省教育廳優(yōu)秀青年項(xiàng)目(15B192)，吉首大學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革研究資助項(xiàng)目(2015SYJG034)；吉首大學(xué)2015年大學(xué)生研究性學(xué)習(xí)和創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)計(jì)劃資助項(xiàng)目

作者簡(jiǎn)介：肖林(1986—)，男，湖南邵陽人，吉首大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院講師，博士，主要從事人工智能、機(jī)器人和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等研究.

社會(huì)的進(jìn)步與科技的發(fā)展，促使人類迫切期望能從重復(fù)、繁重和危險(xiǎn)的勞動(dòng)工作中解放出來.機(jī)器人技術(shù)的出現(xiàn)使得這一切逐漸變?yōu)楝F(xiàn)實(shí).在冗余機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究中，正運(yùn)動(dòng)學(xué)給定關(guān)節(jié)變量，由已知的函數(shù)映射關(guān)系能唯一確定末端執(zhí)行器的位置；逆運(yùn)動(dòng)學(xué)給定機(jī)械臂的末端執(zhí)行器的位置變量r(t)∈Rm，則可求解機(jī)械臂的關(guān)節(jié)變量θ(t)∈Rn.對(duì)對(duì)冗余機(jī)械臂來說，m

作為機(jī)器人技術(shù)中的一個(gè)方向，冗余度機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃與控制研究在國(guó)內(nèi)外都有相應(yīng)的研究與發(fā)展[2-3].傳統(tǒng)的做法是采用基于偽逆的方案，將問題的解變換為一個(gè)最小范數(shù)解加上一個(gè)同類解.該方案的優(yōu)點(diǎn)是形式簡(jiǎn)單，缺點(diǎn)是在處理不等式約束上有困難，而且它會(huì)遇到算法奇異情況而生成不可行解.目前大多數(shù)的研究都是集中在速度層面上，這對(duì)于一些在加速度層面上控制的機(jī)械臂而言，就不再有效了.

考慮到偽逆方法無法在不等式基礎(chǔ)上解析冗余度問題，筆者提出基于二次規(guī)劃的冗余度解析方案.該冗余度方案是在加速度層進(jìn)行解析的，它不僅可以包含角速度關(guān)節(jié)約束和速度關(guān)節(jié)約束，而且可以包含加速度關(guān)節(jié)約束，從而能有效地解決機(jī)械臂在加速度層上運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和控制的問題.

1加速度層運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和控制方法

1.1 前向運(yùn)動(dòng)學(xué)理論

f(θ)=r(t)，

(1)

其中f(·)：Rn→Rm為一個(gè)連續(xù)的、非線性的多對(duì)一映射.對(duì)于一個(gè)給定的冗余機(jī)械臂，函數(shù)f(·)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)是已知的.因此，對(duì)(1)式求微分就可以得到在速度層上求解冗余度解析問題的一階微分方程：

(2)

1.2 最小加速度方案

考慮機(jī)械臂的物理約束，在加速度層提出基于二次規(guī)劃的冗余度解析方案.該方案對(duì)于冗余機(jī)械臂而言，既可以實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的最小加速度運(yùn)動(dòng)控制，也能夠保證機(jī)械臂的關(guān)節(jié)變量保持在它的極限范圍內(nèi).

最小化問題(Ⅰ)：

其受約束條件為

(3)

θ-≤θ(t)≤θ+，

(4)

(5)

(6)

1.3 方案等效轉(zhuǎn)換策略

(7)

η±的第i對(duì)元素分別定義為

經(jīng)過以上等效變換，最小加速度運(yùn)動(dòng)控制方案問題(Ⅰ)，(3)—(6)式就可以轉(zhuǎn)換成為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃：

最小化問題(Ⅱ)：

其受約束條件為

Ax=b，

(8)

η-≤x≤η+，

(9)

2迭代控制算法的開發(fā)

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃問題，可以調(diào)用Matlab里面的“quadprog”函數(shù)直接求解，但因其包容面太廣，求解效率不是特別高.筆者開發(fā)一個(gè)更加有效的離散時(shí)間迭代控制算法來求解標(biāo)準(zhǔn)二次規(guī)劃問題(Ⅱ)和(8)，(9)式.

在對(duì)偶決策變量的輔助下，根據(jù)對(duì)偶理論，對(duì)偶二次規(guī)劃問題可以從標(biāo)準(zhǔn)的原二次規(guī)劃問題(Ⅱ)和(8)，(9)式推導(dǎo)而來.為了減少離散時(shí)間迭代控制算法的計(jì)算復(fù)雜程度，僅需要定義(8)式的對(duì)偶決策變量.由文獻(xiàn)[4-5]可以得到如下2個(gè)結(jié)論：

(1)若二次規(guī)劃問題存在最優(yōu)解，則求解二次規(guī)劃問題(Ⅱ)和(8)，(9)式等效于求解如下的線性變分不等式：

(u-u*)T(Mu*+p)≥0.

(10)

原對(duì)偶決策變量u∈Rn+m和它的雙端u±∈Rn+m定義為

其中：y∈Rm為(8)式的對(duì)偶變量，1v=(1,…,1)T代表的是由“1”組成的向量，常數(shù)?=1010∈R可用來在數(shù)值上取代+∞.增廣矩陣M和增廣向量p定義為

(2)若二次規(guī)劃問題存在最優(yōu)解，則求解線性變分不等式(10)等效于求解如下的分段線性投影方程：

PΩ(u-(Mu+p))-u=0.

(11)

其中PΩ(·):Rn+m→Ω是空間RN到集合Ω的一個(gè)分段投影算子，其第i個(gè)元素定義為

至此，求解二次規(guī)劃問題(Ⅱ)和(8)，(9)式就可以等效于求解分段線性投影方程(11).為了求解分段線性投影方程(11)，受文獻(xiàn)[4-5]中算法的啟發(fā)，定義一個(gè)向量取值的誤差函數(shù)

e(u)=u-PΩ(u-(Mu+p)).

(12)

顯然，求解分段線性投影方程(11)就等效于求方程(12)的一個(gè)零點(diǎn).

(13)

由(13)式迭代控制算法產(chǎn)生的序列{uk}，對(duì)所有的u*∈Ω*，須滿足

且序列{uk}能全局收斂到解u*上，它的前n個(gè)元素構(gòu)成了二次規(guī)劃問題(Ⅱ)和(8)，(9)式的最優(yōu)解x*∈Rn.通過分析迭代控制算法(13)的計(jì)算復(fù)雜度，不難發(fā)現(xiàn)，在1次迭代內(nèi)，它僅需要2N2+3N+1個(gè)乘法和2N2+5N-2加法操作，可以大大降低計(jì)算復(fù)雜度.

3仿真試驗(yàn)

其中：fx(θ(0))，fy(θ(0))分別為初始位置向量f(θ(0))的x軸和y軸的元素分量；ψ表示該方程的設(shè)計(jì)參數(shù)，且ψ=8cm.六連桿機(jī)械臂跟蹤∞類型的路徑跟蹤任務(wù)仿真試驗(yàn)結(jié)果如圖1—5所示.

圖1　平面六連桿機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)跟蹤軌跡

平面六連桿機(jī)械臂的整個(gè)運(yùn)動(dòng)跟蹤過程如圖1所示.從圖1可知，平面六連桿機(jī)械臂完成了一個(gè)∞類型的路徑跟蹤任務(wù).平面六連桿機(jī)械臂實(shí)際的跟蹤軌跡和期望路徑的對(duì)比如圖2所示.通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，跟蹤軌跡和期望路徑是完全重合的.跟蹤軌跡和期望路徑對(duì)應(yīng)的位置誤差和速度誤差如圖3，4所示.從圖3，4可知，位置誤差和速度誤差的x軸和y軸取值都小于4×10-5m，這個(gè)誤差值說明文中所提出來的控制算法十分有效.平面六連桿機(jī)械臂的末端執(zhí)行器在整個(gè)過程中的角速度ω變化如圖5所示.從圖5可知，在最后時(shí)刻，末端執(zhí)行器的最終速度為0.如果最終速度不為0，那么機(jī)械臂的末端執(zhí)行器在任務(wù)執(zhí)行的最后時(shí)刻不會(huì)立即停下來.

圖2　實(shí)際跟蹤軌跡和期望路徑的對(duì)比

圖3　實(shí)際跟蹤軌跡和期望路徑的位置誤差對(duì)比

圖4　實(shí)際跟蹤軌跡和期望路徑的速度誤差對(duì)比

圖5　平面六連桿機(jī)械臂的末端執(zhí)行器速度變化曲線

4結(jié)論

最小加速度范數(shù)的運(yùn)動(dòng)控制方案考慮到各種關(guān)節(jié)的物理極限，采用離散時(shí)間迭代控制算法求解了標(biāo)準(zhǔn)二次規(guī)劃問題.平面六連桿串聯(lián)機(jī)械臂的試驗(yàn)仿真結(jié)果表明，最小加速度運(yùn)動(dòng)方案在控制規(guī)劃中行之有效，且實(shí)際的跟蹤軌跡和期望的路徑的位置誤差控制在一個(gè)非常低的數(shù)量級(jí)內(nèi)(4×10-5m).

參考文獻(xiàn)：

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MinimumMotionPlanningandControlofAcceleration-Velocity

LevelforMulti-LinkRobotArms

XIAOLin1,YAN Huiling2,ZHOU Wenhui1,LIAO Bolin1

(1.CollegeofInformationScienceandEngineering,JishouUniversity,Jishou416000,HunanChina;2.Collegeof

MathematicsandStatistics,JishouUniversity,Jishou416000,HunanChina)

Abstract:To realize the minimum motion planning and control of multi-link robot arms at the acceleration-velocity level,a norm-based minimum acceleration movement control scheme is proposed and investigated.Different from other schemes,the proposed scheme involves the joint-angle,joint-velocity,and joint-acceleration constraints via using quadratic program formulation.Thus,the redundant robot arms can avoid the physical constraints during motion control process.In addition,in order to control the movement of robot arms effectively,an iterative control algorithm with less computation complexity is developed.Finally,a planar six-link manipulator is employed as an experimental platform to track an ∞-type path task.Simulative results verify the effectiveness of the minimum acceleration scheme and the corresponding iterative control algorithm.

Keywords:multi-linkmanipulators;acceleration-velocitylevel;motioncontrolscheme;controlalgorithm;quadraticprogram

(責(zé)任編輯陳炳權(quán))