廖 書(shū), 楊煒明
(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400067)
越來(lái)越多的研究者利用數(shù)學(xué)模型來(lái)構(gòu)造傳染病模型以對(duì)其進(jìn)行定量和定性的研究,參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-6]。為了進(jìn)一步控制水源性傳染病的流行,以霍亂傳染病為代表,首先考慮霍亂弧菌在不潔水源中會(huì)存活一段較長(zhǎng)的時(shí)間,即增加時(shí)滯的考量,其次預(yù)防接種和利用消毒劑消毒不潔水源都是控制霍亂傳播的有效手段,建立并研究一個(gè)同時(shí)含有預(yù)防接種和消毒不潔水源雙重控制策略的霍亂時(shí)滯模型,最后采用2008年津巴布韋霍亂的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值模擬以研究這兩種控制方法的有效性以及時(shí)滯大小對(duì)模型穩(wěn)定性的影響。
設(shè)總?cè)藬?shù)N=S+I+V+R,且總?cè)丝跀?shù)與飲水的供給和成正比,S,I,V和R分別表示易感染者、染病者、接種疫苗者和移出者,W為霍亂病菌濃度,T為消毒劑在水源中的濃度。消毒劑可以很有效地殺死水源中的霍亂弧菌并且控制其傳播,假設(shè)消毒劑的濃度與失效率成正比,也與水源中霍亂病菌濃度成正比。再假設(shè)消毒劑的自然喪失率與其濃度成比例,且消毒劑攝取了霍亂弧菌后,其吸收率是與病毒的密度以及消毒劑的濃度成比例的。模型中其他的參數(shù)βI和βW分別表示環(huán)境與人之間傳播和人與人之間傳播的傳染率系數(shù),μ1和μ分別表示感染者和非感染者不同的死亡率,φ為疫苗接種率,α為消毒劑的失效率,π為霍亂病菌的增長(zhǎng)率,ξ為霍亂病菌的自然喪失率,d為作為安全用水提供給住戶的水源中霍亂病菌的喪失率,χ為當(dāng)使用了消毒劑后霍亂病菌濃度的喪失率,θ為使用消毒劑的濃度,η為消毒劑在水源中的有效吸收率,γ為染病者的復(fù)原率,τ表示病菌在不潔水源中的潛伏期。σ表示疫苗的有效率,當(dāng)σ=0為該疫苗完全有效,σ=1意味著疫苗沒(méi)有效果。所有的參數(shù)都為正數(shù)。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
模型的初始條件如下:
S≥0,I≥0,V≥0,W≥0,T≥0,R≥0
注意到系統(tǒng)方程中R的獨(dú)立性(在式(1)—式(5)中均不含有R),所以為了簡(jiǎn)化計(jì)算,在后面的分析中只考慮式(1)—式(5)即可。
本節(jié)主要研究地方病平衡點(diǎn)X*=(S*,I*,V*,W*,T*)的穩(wěn)定性。首先令s=S-S*,v=V-V*,i=I-I*,w=W-W*以及f=T-T*,其中s,i,v,w和f是圍繞X*的微小擾動(dòng)。令
在地方病平衡點(diǎn)的特征方程可計(jì)算得:
(7)
其中
以及
由Routh-Hurwize判別法,可以證明當(dāng)τ=0時(shí),地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。因此處計(jì)算比較冗長(zhǎng),故省去計(jì)算, 直接得出以下定理:
定理1 當(dāng)R0>0,τ=0時(shí),系統(tǒng)模型式(1)—式(5)的地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。
當(dāng)τ>0時(shí),設(shè)λ=iω是方程式(7)的一個(gè)根, 將λ代入方程式(7)并分離實(shí)部和虛部后,可得到下面的兩個(gè)方程:
(8)
(9)
將方程式(8)和方程式(9)平方相加:
(10)
再令ω2=x得到:
(11)
如果系數(shù)Ci滿足Routh-Hurwitz條件,則方程式(11)不會(huì)有任何正根,因此不會(huì)得到滿足方程式(8)和方程式(9)的正ω。在這種情況下有以下定理:
定理2 當(dāng)R0>0,τ>0時(shí),如果Routh-Hurwitz條件滿足,系統(tǒng)式(1)—式(5) 的地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。
(12)
對(duì)方程式(7)左右兩邊同時(shí)求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)得到:
(13)
化簡(jiǎn)可得:
(14)
因此可以計(jì)算求得:
(15)
又由前面的假設(shè)條件C0<0可知,F(xiàn)'(x)>0,則上述方程一定大于0。即意味著當(dāng)τ>τ0時(shí),至少存在一個(gè)根有一個(gè)正實(shí)部并且從左向右穿過(guò)虛軸。因此當(dāng)τ=τ0時(shí),Hopf分支產(chǎn)生,并在τ=τ0附近產(chǎn)生一簇周期解。由文獻(xiàn)[7,8]的Hopf分支定理,可以得到下面的定理:
定理3 當(dāng)R0>0,時(shí)滯τ∈[0,τ0]時(shí),如果Routh-Hurwitz條件滿足,系統(tǒng)式(1)—式(5)的地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)時(shí)滯τ>τ0時(shí),系統(tǒng)式(1)—式(5)不穩(wěn)定。當(dāng)τ=τ0時(shí),系統(tǒng)在地方病平衡點(diǎn)產(chǎn)生Hopf分支,并在τ=τ0附近產(chǎn)生一簇周期解。
采用世界衛(wèi)生組織發(fā)布的2008年—2009年津巴布韋霍亂的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的數(shù)值模擬。津巴布韋的總?cè)丝诖蠹s12 347 240人, 為了計(jì)算方便,本節(jié)按比例減少1 200倍系數(shù)使得其總?cè)丝跒? 000,模型中所用到的其他參數(shù)值為
N=10 000,μ=0.000 442,π=70
ξ=0.233 3,d=0.000 014,χ=0.99
α=1,θ=0.001,γ=1.4,σ=0.2
φ=0.003,βI=0.00 012,ψ=0.05
βW=0.000 000 42,η=0.000 4
同時(shí)初始條件在相應(yīng)降低1 200倍之后為S0=9 890,I0=10,V0=100,T0=10和W0=0。
把所有的參數(shù)代入R0的表達(dá)式,可求得R0=1.7,即在這種情況下,霍亂會(huì)在津巴布韋流行開(kāi)來(lái),并且最終地方病平衡點(diǎn)的值也可求得為(S*,I*,V*,R*) = (4 938.65, 0.442, 2 960.5, 2 100.2),這與津巴布韋的霍亂傳播實(shí)際情況相符合。圖1和圖2表示S*,I*,V*和R*隨時(shí)間的變化趨勢(shì)。
從圖1可以觀察到染病者人數(shù)在27周的時(shí)候達(dá)到最高峰72(除以1 200倍系數(shù)后的值),然后直接下降到接近0,說(shuō)明在進(jìn)行有效的防疫之后,此次疫情已消除。考慮長(zhǎng)期的情況,從圖2可知,在第一次疫情爆發(fā)結(jié)束之后,還會(huì)有若干次疫情再度爆發(fā),但最高峰值會(huì)越來(lái)越小,直到約384年后S*,V*和R*最終達(dá)到自己穩(wěn)定值分別為4 938.65、2 960.5和2 100.2,此時(shí)在津巴布韋的霍亂才最終徹底消除。
圖1 當(dāng)τ=0時(shí),隨著時(shí)間的變化I的變化趨勢(shì)
圖2 當(dāng)τ=0時(shí),隨著時(shí)間的變化S,V,R的變化趨勢(shì)
圖3和圖4分別表示在沒(méi)有預(yù)防接種和沒(méi)有進(jìn)行水源消毒的情況下染病者人數(shù)隨時(shí)間變化的趨勢(shì)。可以明顯看出,在缺失預(yù)防接種或者水源消毒后,染病者人數(shù)明顯高于圖1中的染病者人數(shù),說(shuō)明這兩種預(yù)防控制措施非常有效,都可以極大降低霍亂傳播。
圖3 缺失預(yù)防接種時(shí),隨著時(shí)間的變化I的變化趨勢(shì)
圖4 缺失水源消毒時(shí), 隨著時(shí)間變化I的變化趨勢(shì)
圖5 當(dāng)τ=2時(shí),隨著時(shí)間的變化I的變化趨勢(shì)
圖6 當(dāng)τ=4時(shí),隨著時(shí)間的變化I的變化趨勢(shì)
在本節(jié)采用和上節(jié)同樣的參數(shù)值和初始條件對(duì)τ≠0的情況進(jìn)行數(shù)值模擬,此時(shí)時(shí)滯臨界值τ0可求得為2.88。從圖5可知,當(dāng)取τ=2時(shí),I*的振動(dòng)逐漸降低并最終趨于它們分別的穩(wěn)定值。然后當(dāng)時(shí)滯大于闕值時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)定性會(huì)發(fā)生變化。
圖6中,時(shí)滯取值為4時(shí),可以看出I*開(kāi)始發(fā)生不穩(wěn)定的變化。說(shuō)明對(duì)傳染病進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)時(shí),在時(shí)滯變大的情況下,對(duì)未來(lái)的預(yù)測(cè)會(huì)變得更加困難。
建立并分析了一個(gè)同時(shí)含有預(yù)防接種和水源消毒的霍亂時(shí)滯模型。研究了模型地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,并通過(guò)分析相應(yīng)特征方程根的分布,得出當(dāng)時(shí)滯大小超過(guò)一個(gè)闕值的時(shí)候,穩(wěn)定性發(fā)生變化,產(chǎn)生了Hopf分支,系統(tǒng)產(chǎn)生波動(dòng)。結(jié)果說(shuō)明了時(shí)滯模型比一般的ODE模型具有更大的現(xiàn)實(shí)意義,但計(jì)算上也更加困難。沒(méi)有對(duì)地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性進(jìn)行證明,這將是未來(lái)工作之一。最后要注意盡管大劑量地進(jìn)行水源殺毒可以在短時(shí)間內(nèi)有效控制霍亂疫情的流行,但在現(xiàn)實(shí)生活中,大劑量的殺毒劑使用又會(huì)對(duì)人體健康造成巨大危害,因此要同時(shí)考量對(duì)人體健康和安全的因素,合理控制殺毒劑的使用。
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