楊丹丹，郭勤濤,，張令彌，李海濤，陶言和

(1. 南京航空航天大學(xué) 機電學(xué)院，江蘇 南京 210016； 2. 中車青島四方機車車輛股份有限公司，山東 青島 266111；3. 南京杰弗科機械技術(shù)有限公司，江蘇 南京 210007)

0 引言

在機車的結(jié)構(gòu)動力學(xué)設(shè)計中，轉(zhuǎn)向架等復(fù)雜機械結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性對車體、懸架以及整車的動力學(xué)特性具有重要的影響。有限元模型修正技術(shù)[1-2]基于試驗結(jié)果對有限元仿真模型進行調(diào)整，縮小仿真和試驗對應(yīng)響應(yīng)之間的誤差，已達到提高有限元仿真模型的可行度的目的，現(xiàn)已在機械、土木及航空航天等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。模態(tài)試驗[3]和修正方法[4-5]是有限元模型修正的兩個主要方面?；阱N擊法的試驗?zāi)B(tài)分析是最為常用的方法，通過如頻響函數(shù)交叉檢驗、頻響曲線擬合等可以準(zhǔn)確辨識出結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率、頻響函數(shù)等重要的結(jié)構(gòu)特性。大量的學(xué)者也對修正方法做了研究，主要包括基于靈敏度分析的方法、傳統(tǒng)優(yōu)化算法以及智能優(yōu)化算法。本文建立了轉(zhuǎn)向架的預(yù)修正模型，在錘擊法模態(tài)試驗的基礎(chǔ)上，采用靈敏度分析方法對機車轉(zhuǎn)向架模型中的參數(shù)進行了修正。

1 有限元模型修正技術(shù)的基本理論

基于模態(tài)特征值或模態(tài)特征向量的靈敏度分析[6]是解決大自由度結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型修正的主要方法。該方法的基本理論發(fā)展成熟，主要的步驟和公式如下。

已知結(jié)構(gòu)的有限元模型共有n個設(shè)計參數(shù)，其中前m個為待修正的參數(shù)，則設(shè)計參數(shù)可以表示為：

(1)

則結(jié)構(gòu)的總體剛度陣和質(zhì)量陣可以用設(shè)計參數(shù)P的函數(shù)表達：

K=fK(p)，M=fM(p)

(2)

則對應(yīng)的特征量可以表示為設(shè)計參數(shù)的函數(shù)：

f=F(K,M)=F(fK(p),fM(p))=fp(p)

(3)

其中：f可以是任意的特征量，如模態(tài)頻率、模態(tài)振型等，或者它們之間的組合。模型修正問題轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問題：

(4)

其中fe和fp(p)分別代表結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的實驗值與分析值；R(p)稱之為誤差項；VLB、VUB分布代表結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)變化的上下限；Wf代表結(jié)構(gòu)各個特征量之間的加權(quán)矩陣。

通常情況下，fp(p)為制定設(shè)計參數(shù)的非線性函數(shù)。為將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，在初始設(shè)計點將fp(p)展開成待修正參數(shù)的一階泰勒表達式：

fp(p)=fp(p0)+SΔp

(5)

其中：p0是設(shè)計參數(shù)初始時的值。

(6)

式中的S代表特征量對設(shè)計參數(shù)的靈敏度矩陣，Δp=p-p0代表設(shè)計參數(shù)的誤差。

特征值對參數(shù)的靈敏度如式(7)所示：

(7)

(8)

使用拉格朗日乘數(shù)法將極值問題轉(zhuǎn)化為一個線性問題，如式(9)所示：

WfSΔp=Wf(fe-fp(p0))

(9)

式(9)是一種常見的模型修正方程，且是一個迭代優(yōu)化的過程，一般情況下可以得到合適的結(jié)果。當(dāng)加權(quán)矩陣和靈敏度矩陣的條件數(shù)較少時，需要對式(9)進行正則化。當(dāng)參數(shù)的數(shù)目較大時，需要使用優(yōu)化的搜索方法。本文采用SQP(sequential quadratic programming)的方法搜索置信區(qū)間。

2 組件及半轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)的修正

轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)是高速列車系統(tǒng)動力學(xué)的關(guān)鍵。轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)的精確建模在其振動響應(yīng)加速度分析、結(jié)構(gòu)強度改善等方面至關(guān)重要。根據(jù)高速列車轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特點，可以將整個系統(tǒng)分為3個部分，其中包括輪對子結(jié)構(gòu)(下部支撐)、構(gòu)架子結(jié)構(gòu)以及由剛性質(zhì)量塊模擬的車體。為了獲得高精度的模型，需要依次對構(gòu)架、輪對的子結(jié)構(gòu)模型進行修正，然后對整備狀態(tài)下的轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)(含模擬的車體)進行修正。

2.1 構(gòu)架子結(jié)構(gòu)的有限元模型修正

圖1為構(gòu)架[8]總體的有限元模型圖。其中空氣彈簧支撐梁、側(cè)梁、橫梁、齒輪箱吊座、制動盤吊座、橫梁連接梁采用板單元建模，電機、電機吊座采用四面體單元建模，構(gòu)架上導(dǎo)管、電機與電機吊座之間的螺栓連接采用梁單元建模。

圖1 構(gòu)架總體有限元模型圖

電機下端與電機吊座之間螺栓連接的局部放大圖如圖2所示。

圖2 電機下端與電機吊座之間螺栓連接局部放大圖

對上述有限元模型采用模態(tài)分析模塊的Lanczos方法提取特征值和特征向量。通過試驗獲取構(gòu)架的模態(tài)，以試驗測試的1～12階結(jié)構(gòu)模態(tài)為基準(zhǔn)，選擇有限元模型中的1～20階結(jié)構(gòu)模態(tài)與其匹配。在匹配過程中，取x，y，z3個方向的平動自由度，選取了34個節(jié)點進行MAC計算，其中x向為車長方向，y向為車寬方向，z向為車體豎直方向，下文中提到的方向與此處一致。初始的MAC匹配結(jié)果如圖3所示。

圖3 構(gòu)架MAC匹配三維柱狀圖(修正前)

前3階主要模態(tài)振型圖如圖4-圖6所示，其中內(nèi)部紅色線條為試驗?zāi)Ｐ停{色框架為有限元模型(因本刊為黑白印刷，插圖中有色部分，可咨詢作者，下同)。

圖4 計算與試驗振型匹配圖1

圖5 計算與試驗振型匹配圖2

圖6 計算與試驗振型匹配圖3

從圖4-圖6中可以看出，計算仿真與試驗的振型變化一致。

根據(jù)MAC匹配順序，選擇試驗的9階模態(tài)頻率作為修正目標(biāo)。通過工程經(jīng)驗及嘗試選取了9個參數(shù)，采用QP優(yōu)化方法進行迭代，迭代步長為0.02，迭代18步。各階頻率對9個參數(shù)的靈敏度柱狀圖如圖7所示。

圖7 9階模態(tài)頻率對9個修正參數(shù)的靈敏度柱狀圖

表1列出了構(gòu)架模型修正參數(shù)的名稱及修正前后參數(shù)的變化，參數(shù)的修正范圍由工程經(jīng)驗及材料的屬性聯(lián)合確定。

表1 構(gòu)架修正參數(shù)的選擇及修正前后參數(shù)值的變化

將修正后的模態(tài)結(jié)果與試驗結(jié)果進行對比，發(fā)現(xiàn)修正降低了仿真計算與試驗結(jié)果之間的誤差，修正效果較好。修正過程中的頻率誤差變化曲線如圖8所示，MAC值變化曲線如圖9所示，修正前后3階主要模態(tài)的頻率誤差和MAC值如表2所示。

圖8 修正過程中的頻率誤差變化曲線圖

圖9 修正過程中的MAC值變化曲線圖

表2 構(gòu)架模型修正前后3階主要模態(tài)頻率誤差和MAC值

從表2中可以看出，構(gòu)架模型修正后的頻率誤差由9.57%降至3.90%，修正效果較好，且修正后的MAC均值為0.91，比修正前的MAC略有提高，修正降低了仿真與試驗之間的誤差。

2.2 輪對子結(jié)構(gòu)的有限元模型修正

采用商用有限元軟件對輪對幾何模型進行網(wǎng)格劃分，得到的輪對有限元模型包含34 819個節(jié)點和22 948個單元，多數(shù)是六面體單元，計算精度較高，輪對有限元模型示意圖如圖10所示。為了獲得與試驗結(jié)果相一致的模型，軸承、齒輪軸和軸箱的參振質(zhì)量以集中質(zhì)量的形式添加，如圖11所示。采用BUSH單元描述車輪和制動盤之間的螺栓連接，同時將BUSH單元的剛度作為待修正參數(shù)?？紤]到輪盤外輪、輪轂內(nèi)部和彈性軸等所采用的材料的差異以及模型簡化造成的誤差，將這3部分的材料屬性定義為3種不同的材料參數(shù)。

圖10 輪對有限元模型示意圖

圖11 集中質(zhì)量的局部放大圖

對輪對有限元模型進行模態(tài)計算，同樣與試驗測試結(jié)果進行振型相關(guān)分析。以試驗測試的1～8階結(jié)構(gòu)模態(tài)為基準(zhǔn)，選擇有限元模型的1～20階結(jié)構(gòu)模態(tài)與其匹配。在匹配過程中，取x，y，z3個方向的平動自由度，選取了34個節(jié)點進行MAC計算，初始的MAC匹配結(jié)果如圖12所示。

圖12 輪對MAC匹配三維柱狀圖(修正前)

輪對前3階主要模態(tài)振型圖如圖13-圖15所示，其中內(nèi)部紅色線條為試驗?zāi)Ｐ?，藍色框架為有限元模型。

圖13 計算與試驗振型匹配圖1

圖14 計算與試驗振型匹配圖2

圖15 計算與試驗振型匹配圖2

輪對有限元模型的修正思路與構(gòu)架一致，以試驗的7階模態(tài)頻率作為修正目標(biāo)，通過工程經(jīng)驗及靈敏度分析計算選取了6組待修正參數(shù)，采用QP優(yōu)化方法進行迭代。

迭代結(jié)束后各階頻率誤差及MAC值均取得了較好的結(jié)果，迭代過程此處不再一一贅述。取模型修正前后3階主要模態(tài)的頻率誤差和MAC值列入表3中。

表3 輪對模型修正前后3階主要模態(tài)頻率誤差及MAC值

從表3中可以看出輪對結(jié)構(gòu)的初始有限元模型有著較高的精度，頻率誤差的絕對值均值為10.17%，MAC均值為0.86。修正后的輪對有限元模型中，頻率誤差的絕對值均值降到3.87%，MAC數(shù)值有所提高。

3 模擬整備轉(zhuǎn)向架有限元模型修正

基于修正后的構(gòu)架與輪對模型，及連接組件的剛度參數(shù)初值，建立轉(zhuǎn)向架有限元模型，如圖16所示。在此前提下模擬車體質(zhì)量，建立的模擬整備轉(zhuǎn)向架有限元模型如圖17所示，該模型共119 994個節(jié)點，116 262個單元。模擬車體質(zhì)量32t，轉(zhuǎn)向架質(zhì)量7t。其中軸箱垂向減震器、軸箱定位節(jié)點、空氣彈簧等都采用BUSH單元進行模擬[9]。

圖16 轉(zhuǎn)向架有限元模型圖

圖17 模擬整備轉(zhuǎn)向架有限元模型圖

基于商用有限元軟件，將輪對固定后的模擬整備轉(zhuǎn)向架有限元模型進行模態(tài)分析，提取特征值，初始有限元模型計算的前3階模態(tài)結(jié)果如圖18-圖20所示。

圖18 構(gòu)架浮沉(剛體模態(tài))

圖19 構(gòu)架側(cè)移(剛體模態(tài))

圖20 構(gòu)架點頭(剛體模態(tài))

以試驗測試的1～6階模態(tài)為基準(zhǔn)(包含3階剛體模態(tài)及3階結(jié)構(gòu)模態(tài))，選擇有限元模型中的1～10階模態(tài)與其進行MAC匹配。在匹配過程中，取x，y，z3個方向的平動自由度，選取了16個節(jié)點進行MAC計算，初始的MAC匹配結(jié)果如圖21所示。

選擇試驗的6階模態(tài)頻率作為修正目標(biāo)，通過工程經(jīng)驗及嘗試先選取了12個參數(shù)，此時一般選為連接參數(shù)[10]，各階頻率對12個參數(shù)的靈敏度柱狀圖如圖22所示。

圖21 轉(zhuǎn)向架MAC匹配三維柱狀圖(修正前)

圖22 各階頻率對12個參數(shù)的靈敏度柱狀圖

考慮到修正參數(shù)的實際物理意義，最終將參數(shù)篩選合并后分為6組，采用QP優(yōu)化方法進行迭代，迭代步長為0.02，迭代50步。修正參數(shù)的名稱及修正前后參數(shù)的變化如表4所示。。

表4 修正參數(shù)的選擇及修正前后參數(shù)值的變化

將修正后的模態(tài)結(jié)果與試驗結(jié)果進行對比發(fā)現(xiàn)修正降低了仿真計算與試驗結(jié)果之間的誤差，修正效果較好。將主要關(guān)注的3階剛體模態(tài)修正前后的模態(tài)頻率誤差及MAC值匯入表5中。

表5 轉(zhuǎn)向架模型修正前后3階剛體模態(tài)頻率誤差及MAC值

從表5中可以看出前3階剛性模態(tài)頻率誤差修正后顯著降低，修正后最大的頻率誤差絕對值由10.88%降至4.48%，頻率絕對值均值也由5.98%降至1.63%，MAC數(shù)值變化不大，但MAC均值偏低?？傮w結(jié)果滿足模型修正的目的。

4 結(jié)語

本文利用模型修正的方法，對構(gòu)架、輪對、連接部件的剛度參數(shù)等子結(jié)構(gòu)部件進行修正，將修正后的子結(jié)構(gòu)模型組合最終得到了與實際物理模型相似度較高的模擬整備轉(zhuǎn)向架有限元模型，在此研究基礎(chǔ)上可以進一步展開軌道車輛整車動力學(xué)模型的修正與確認工作，進而進行整車動力學(xué)特性的分析計算。

[1] Mottershead J E, Friswell M. I. Model Updating in Structural Dynamics: A Survey Journal of Sound and Vibration[J]. Mechamical and Signal Processing, 1993, 167(2): 347-375.

[2] R. Kenigbuch and Y. Halevi. Model Updating in Structural Dynamics: A Generalized Reference Basis Approach[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 1998,12(1):75-90.

[3] M Link, MI Friswell. Generation of Validated Structural Dynamic Models - Results of a Benchmark Study Utilising the GARTEUR SM-AG19 Testbed[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2003,17(1), 9-20.

[4] W. L. Oberkampf, C.J. Roy: Verification and Validation in Scientific Computing[D]. Cambridge University Press:2010: 559-625.

[5] Friswell M I , Mottershead J. E., Model updating using robust estimation[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2002, 16(1): 169-183.

[6] 李效法. 基于靈敏度分析的模型修正研究及其實現(xiàn)[D]. 南京：南京航空航天大學(xué)，2007.

[7] 郭勤濤, 張令彌, 費慶國. 結(jié)構(gòu)動力學(xué)有限元模型修正的發(fā)展-模型確認[J]. 力學(xué)進展, 2006(1):36-42.

[8] 徐慕達. 機車轉(zhuǎn)向架相似結(jié)構(gòu)的模型修正及參數(shù)不確定性分析[D]. 南京: 南京航空航天大學(xué), 2014.

[9] 陶言和. 整備狀態(tài)動車相似結(jié)構(gòu)的連接參數(shù)有限元模型修正[D]. 南京：南京航空航天大學(xué),2015.

[10] 費慶國, 張令彌, 李愛群,等. 基于不同誤差的動態(tài)有限元模型修正的比較研究[J]. 振動與沖擊, 2005(4):24-26.