李旭娟，繆炳榮，李國芳，史艷民

(1. 西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室 四川 成都 610031； 2. 蘭州交通大學 機電工程學院 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

工程中的許多實際結構部件都可以簡化為懸臂梁結構模型，對其進行動態(tài)響應分析能夠了解在各種載荷條件下的結構特性，并得到變形、轉矩以及動態(tài)力等設計的必要信息[1]。載荷響應分析屬于振動力學的第一類問題，即已知結構上的載荷和結構系統(tǒng)的參數(shù)，來求系統(tǒng)的動態(tài)響應。在沒有充足數(shù)據(jù)的情況下來開發(fā)一個完整的模型，其屬于振動力學的第二類逆問題，它是在已知結構系統(tǒng)參數(shù)的情況下，根據(jù)結構承受載荷時測得的內(nèi)部有限點的響應，反過來求出作用在結構上的載荷，這類問題被稱為動態(tài)載荷識別或者載荷重構[2-3]。

X. Q. Zhu和S. S. Law[4]研究了從測量的結構振動響應來識別作用在連續(xù)梁上的移動載荷的時域方法 。C.-K. MA等[5]研究了基于Kalman濾波器和回歸最小二乘算法的逆方法來估計了懸臂梁結構的輸入力，仿真結果表明該方法識別效果較好。S.S.Law和Z.R. Lu[6]等研究了將橋面模擬為簡支梁的預應力識別問題，是基于通過模態(tài)疊加法求解預應力的動態(tài)響應，以及系統(tǒng)識別方法和Tikhonov正則化技術解決逆問題病態(tài)的研究。R. Hashemi和M. H. Kargarnovin[7]研究了作用在簡支梁的脈沖力識別，利用遺傳算法來求解被考慮為優(yōu)化問題的力識別問題，其中，目標函數(shù)是分析和測量的響應之差。Z.R. Lu和S.S. Law[8]研究了基于結構響應敏感性來識別結構系統(tǒng)參數(shù)和輸入激勵力的方法，包括正弦的輸入力和脈沖輸入力，并且假設輸入力位置已知。Roza Sieniawska等[9]提出了一種線性結構的彈性剛度識別方法，通過整合輸入和輸出信號將動態(tài)問題轉換成靜態(tài)問題。Tsung-Chien Chen[10]研究了從測量橋梁結構的動態(tài)響應來估計輸入力的逆方法，利用了Kalman濾波器(KF)和回歸最小二乘估計器(RLSE)的算法。

1 理論背景

1.1 動力學方程

以懸臂梁模型為研究對象，基于伯努利-歐拉梁理論，對結構加載隨時間和空間變化的外部動態(tài)激勵f(x,t)。

圖1 懸臂梁結構受力示意圖

在只考慮彎曲變形的情況下，分析其受力情況，如圖1所示，建立懸臂梁結構在受到外部動態(tài)激勵時的彎曲振動方程[12]。

(1)

其中，懸臂梁結構的長度為L，矩形截面面積為A，橫截面尺寸為h×b(b表示梁截面的寬度，h表示梁截面的高度)，截面慣性矩為I，彈性模量為E，梁的密度為ρ，且認為采用的結構材料為均勻線彈性材料。w(x,t)表示在y軸方向x位置、t時刻的梁的撓度響應。具體的材料參數(shù)如表1所示。

表1 懸臂梁結構參數(shù)

1.2 特征值求解及模態(tài)響應

模態(tài)分析是用來確定結構振動特性以及結構固有頻率和陣型，是所有動力學分析的基礎，為結構動態(tài)特性的分析提供了有效的手段。針對懸臂梁結構的模態(tài)分析，其運動學方程為：

(2)

通過求解，得到懸臂梁在彎曲變形下模態(tài)主振型的一般表達為：

(3)

其中：i=1，2，3，...，10，表示模態(tài)的階數(shù)。

根據(jù)模態(tài)主振型表達式，得到系統(tǒng)的模態(tài)響應為：

w(x,t)=

(4)

針對懸臂梁結構的模態(tài)響應分析，通過ANSYS求解出系統(tǒng)的固有頻率和主振型。MATLAB計算得到的準確固有頻率值和ANSYS分析得到的固有頻率值的比較如圖2所示。其中，誤差計算公式為：

(5)

圖2 準確值和ANSYS得到的固有頻率值比較

1.3 動態(tài)響應

首先進行正問題研究，即已知系統(tǒng)的外部激勵和結構系統(tǒng)參數(shù)，求解系統(tǒng)響應。載荷識別的一個關鍵是系統(tǒng)的動態(tài)特性(這里指懸臂梁結構系統(tǒng)的動力學方程)，及結構系統(tǒng)所測量的動態(tài)響應[15]。動態(tài)響應關系到輸入的激勵力的識別，因此動態(tài)響應的準確求解也是非常關鍵的。

圖3 兩個輸入力作用的懸臂梁

對懸臂梁結構在x=0.2，x=0.4處同時施加外部垂直動態(tài)激勵力分別為：f1(t)=10sin(10t)，f2(t)=20sin(10t+π/2)，如圖3所示。由于是線性系統(tǒng)，施加的外部動態(tài)激勵可以表示為簡諧載荷：

f(x,t)=f1(t)δ(x-0.2)+f2(t)δ(x-0.4)。

其中，δ(x)表示狄拉克函數(shù)。且δ(x-C)具有以下性質：

(6)

其中：C為常數(shù)。

同樣的，根據(jù)式(1)，應用分離變量法并進行整理，采用振型疊加法求解，且引入模態(tài)坐標，取前10階，得到：

(7)

寫出懸臂梁結構系統(tǒng)的物理參數(shù)模型：

(8)

由單自由度無阻尼系統(tǒng)受迫振動問題相關理論，在零初始條件下，得到[14]：

(9)

(10)

其中：式(10)表示在懸臂梁的長度范圍內(nèi)的積分。將外部激勵力式(10)代入到式(9)中，求解系統(tǒng)在外部動態(tài)激勵的響應：

(11)

2 輸入力識別

根據(jù)懸臂梁結構的動力學方程以及求解的動態(tài)響應，建立系統(tǒng)的動載荷識別模型。力識別問題屬于載荷識別問題研究范疇，而單自由度系統(tǒng)的結構載荷識別則是載荷識別問題中最簡單典型的一種，通常載荷識別問題最終都歸結為單自由度系統(tǒng)的載荷識別模型[15]。

對于懸臂梁結構系統(tǒng)，分別施加2個輸入力載荷，如圖3所示。根據(jù)式(11)，進行傅里葉變換，得到系統(tǒng)動態(tài)響應的頻域表示形式：

(12)

其中：系統(tǒng)輸出、輸入的傅里葉變換式分別為：

(13)

(14)

(15)

且F1(w)、F2(w)表示系統(tǒng)輸入力載荷，W1(w)、W2(w)表示系統(tǒng)的輸出。

令：

(16)

其中：a表示輸入力作用在懸臂梁結構上的位置，取a=0.2、0.4；k表示懸臂梁結構上的響應所研究的位置，取k=0.6、0.8。

系統(tǒng)的輸入(多輸入)輸出(多輸出)關系為：

[T0.2,0.6,T0.4,0.6;T0.2,0.8,T0.4,0.8][F1;F2]=[W1;W2]

(17)

對式(17)直接求逆可得到輸入力的頻域表示式：

[F1;F2]=[T0.2,0.6,T0.4,0.6;T0.2,0.8,T0.4,0.8]-1[W1;W2]

(18)

再對梁結構的頻域外部激勵F1、F2分別進行傅里葉逆變換，得到輸入力載荷的時域表達式分別為：

f1=10sin10t-0.002 818cos10t

(19)

f2=20sin(10t+π/2)+8.72×10-5cos(10t+π/2)

(20)

圖3和圖4所示為識別的力載荷時間歷程，可以看出，這種方法對于正弦波輸入力具有良好的識別效果，誤差約為0.09%，這是因為所建立的載荷識別模型比較好，使得力載荷識別的精度較高。

圖4 識別的外部激勵F1

圖5 識別的外部激勵F2

3 結語

主要研究了基于系統(tǒng)動態(tài)響應來識別結構輸入力的求解方法。對懸臂梁結構施加動態(tài)簡諧載荷，根據(jù)其數(shù)學物理方程求解動態(tài)響應，然后對響應進行傅里葉變換和傅里葉逆變換，獲得輸入力的時間歷程。識別結果表明，這種方法對于正弦波輸入力具有良好的識別效果，識別誤差約為0.09%；建立的載荷識別模型比較好，使得動態(tài)載荷識別的精度較高。對于單自由度系統(tǒng)的載荷識別問題，該方法具有一定的可行性。

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