楊建民，隋顏陽，紀森林

(1.天津大學 建筑工程學院土木工程系，天津 300072； 2.天津大學 濱海土木工程結構與安全教育部重點實驗室，天津 300072)

抽水引起的土層沉降問題是一個已經有很久研究歷史的經典課題，隨著國家工程建設尤其是地下空間開發(fā)興起再次成為一個熱點問題。在地下工程建設中，井點降水是常常采取的一種控制地下水位的施工措施。除了控制地下水位，工程降水時的另一關注點是降水引起的地面沉降和土層分層沉降。土體變形會影響周邊環(huán)境和建筑物、構筑物，變形過大還會引發(fā)工程事故，因此預測或推算抽水導致的土層沉降成為地下工程建設的一個重要問題。

計算抽水引起的土層沉降尤其是地表面沉降，主要可分為3類方法：①分層總和法，該方面的文獻不勝枚舉；②數(shù)值計算方法，它可以考慮復雜的本構關系、邊界條件和多種影響因素，如應用ANSYS、ABAQUS、FLAC、MODFLOW、FEFLOW等；③某些限制條件比較嚴格、適用范圍有限的理論解析解。這些方面的方法列舉如下。

分層總和法類型的文獻，如曹文貴等[1](2013)考慮地基變形的非線性變化特征，引進增量分析方法、胡克定律和Duncan-Chang模型，建立了由附加體積應力和附加偏應力引起的地基壓縮層變形的分析方法，并利用地基沉降分層總和法分析原理，建立了基于Duncan-Chang模型的地基沉降分析新方法。

數(shù)值計算法類型的文獻，如BURBEY等[2-3](2006)在Nevada的Mesquite開展了為期62 d的大型抽水試驗，試驗井深500 m，應用GPS測量地面變形，應用多種數(shù)值計算模型如UCODE、MODFLOW-2000、BIOT軸對稱有限元程序和顆粒流程序，對試驗中監(jiān)測所得地面水平位移、豎直位移進行分析。KIHM等[4](2007)應用有限元地下水化學數(shù)值計算軟件COWADE123D研究了一塊非飽和沖積地層的水位變化和沉降發(fā)展歷史，其中土體變形采用彈性模型。SHI等[5](2008)將地下水三維滲流模型與土體一維沉降模型相耦合，研究了蘇-錫-常地區(qū)和上海市近30年由于抽水導致的區(qū)域地面沉降。其中的土體一維沉降模型可以考慮不同水文地質單元、不同應力期土體變形的彈性、彈塑性和黏彈塑性。HSI等[6](1994)應用有限元方法建立數(shù)學模型，研究土層內某點抽水引起的地面沉降，并比較了抽水時潛水位降低和不降低對地面沉降的影響。陳興賢等[7](2013)建立了深基坑降水三維變參數(shù)非穩(wěn)定滲流與太沙基一維固結理論的地面沉降耦合模型，采用有限元數(shù)值分析方法對模型進行求解，對南京地鐵三號線浦珠路站深基坑降水進行了模擬計算。MIAO等[8](1991)建立了包含潛水層、弱透水層和抽水承壓含水層的VEF模型和計算土體黏彈性變形的VES模型，將兩者耦合并求解得出理論解析解。SU等[9](1998)針對單一潛水層內單井抽水建立柱坐標下的控制方程，其中假設土體應力應變符合線性關系，應用有限元方法求解地表面和土層內各點的變形。LOICIGA[10](2013)將地下水動力學與一維固結理論相結合，得出了單層承壓含水層與潛水層抽水后地面沉降的理論解，對于多含水層情況則需要先借助于數(shù)值計算方法求解各含水層水位降深再累加獲得地面沉降值。

理論解析法類型的文獻，如COOKE[11]針對樁土荷載傳遞時考慮土體摩阻力影響提出了剪切位移法。原華等[12](2013)考慮地連墻和止水帷幕阻止土層變形的作用，提出一種側摩阻力約束下降水引起的地面沉降估算方法。REN等[13](2014)借用礦業(yè)工程中預測地面沉降的影響函數(shù)法研究了潛水層抽水引起的地面沉降問題。

以上分層總和法與數(shù)值計算方法所得土層沉降預測值往往需要通過修正才可以獲得接近沉降實測值的結果，理論解析法因假設條件嚴格而使其適用性有限。如果能像預測地下水位降深一樣，通過若干抽水井周圍區(qū)域實測點土層沉降而直接推算出距抽水井任意距離的地面沉降值，則既方便應用和操作，又提高了準確性，應是一種預測土層沉降的好方法。本文即是基于此目的研究這樣一種方法。

1 理論論證

1.1 控制方程導出

抽水引起沉降的理論分析模型如圖1所示。以抽水井為中心原點的柱坐標系中：變形范圍內土體分為n層;r為距中心原點的距離，m;si為各層頂面位移值(取位移為0的面為第n層底面)，m；dwi為各層內水位降深值；Esi為各層的壓縮模量，MPa；Gi為剪切模量，MPa；Mi為各層的土層厚度，m。

圖1 抽水引起沉降的理論分析模型

基于以下假定，進行后面的理論分析：①各土層內土體均質、各向同性；②土體只發(fā)生豎向位移；③土體徑向相鄰兩點的位移差引起摩阻力；④土體變形之應力應變滿足線性關系。

以上假設③的合理性在于土層側摩阻力在樁基工程中發(fā)揮重要影響。土體因位移差而產生摩阻力,這具有扎實的理論基礎和廣泛的工程應用。

土層壓縮公式為[14]

(1)

式中：s為土層壓縮量，可由土層上下表面位移差獲得，m；M為土層厚度，m;Es為土層壓縮模量，MPa；Δp為土層所受應力增量，kPa。

建筑物在地基中產生的附加應力，因荷載從上向下傳遞，隨地基內深度增加而呈遞減趨勢。與之不同，抽水引起土層壓縮，尤其是深層抽水引起土層壓縮，類似采空區(qū)造成地面沉降。其荷載傳遞方向是從下往上，抽水處有效應力增加最大，而越往地面?zhèn)鬟f，水位降深越小，有效應力增加越小。所以抽水造成地面沉降應該考慮各土層尤其是上部土層摩阻力提供的抵抗下沉的作用。抽水導致土層沉降時若總應力不變，則應力增量Δp應由2部分組成，即水頭降低導致的應力增量和徑向相鄰面相對位移導致的剪應力差值。其中前者導致土層有效應力增加，后者導致有效應力減小。表達式為

(2)

式中：rw為水的重度，kN/m3；dw為水位降深，m；τrz為剪應力，kPa；γrz為剪應變。

剪應力與剪應變及土層位移關系為[16]

τrz=Gγrz

(3)

(4)

當不考慮土體徑向位移ur即土體只發(fā)生豎向沉降位移時，有

(5)

綜合上述各式得土層沉降滿足的公式為

(6)

將抽水區(qū)域土層分成n層，假設各土層上表面的位移值分別為s1,s2,…,sn，第n層下表面的位移值sn+1為0。由式(6)可得第1層、第2層、第i層、第n層的控制方程分別為

(9)

(10)

1.2 控制方程求解

先從第1層式(7)開始求解。該式為非齊次微分方程，先求解其齊次方程的一般解，再解其特解，則可得通解。

當dw1=0，即γwdw1=0，式(7)變?yōu)?/p>

(11)

令

則式(11)變換為

(15)

方程兩邊同乘以x2得

(16)

令

將式(18)—式(23)代入式(16)得

(24)

式(24)為零階Bessel方程，其通解為

y=c1J0(t)+c2Y0(t)

(25)

式中:c1,c2為任意常數(shù);J0(t)為零階第1類Bessel函數(shù);Y0(t)為零階第2類Bessel函數(shù)。

式(27)中ν是歐拉常數(shù)，通常取ν=0.577。

當t→0即井距r較小時

當井距r值較小且土層厚度M1值較大時，可按式(28)和式(29)計算J0(t)和Y0(t)，則通解式(25)變?yōu)?/p>

(30)

又有

(31)

式(31)中:μ為土的泊松比，通常取μ=0.3；E1為第1層土的彈性模量，土體彈性模量E1與壓縮模量Es1之間是倍數(shù)關系[14]，MPa。

將式(12)—式(14),式(17)、式(31)代入式(30)可得

(32)

當t取值較大即井距r較大時

(33)

J0(t)→k

(34)

其中k為一常數(shù)且k<<1，則式(27)變?yōu)?/p>

(35)

則通解式(25)變?yōu)?/p>

(36)

(37)

由式(13)、式(14)、式(17)和式(31)可得

(38)

將式(12)、式(38)帶入式(30)并化簡得式(7)齊次方程的一般解

(39)

下面求抽水沉降分層計算公式(7)非齊次方程的特解。令

dw1≠0

(40)

設特解為

s1-s2=d1+d1lnr

(41)

式中:d1,d2為待定系數(shù)。

由式(41)得

(42)

式(7)變?yōu)?/p>

(43)

(44)

抽水時降深與井距間滿足[17]

(45)

式中：sw1為抽水井中心水位降深，m；Q1為井抽水流量，m3/d；T1為導水系數(shù)，m2/d。

將式(45)代入式(44)得式(7)非齊次方程的特解為

(46)

(47)

取

(48)

(49)

得

s1-s2=c11+c12lnr

(50)

采用以上相同的求解方法可得第2層土層方程的解為

s2-s3=c21+c22lnr

(51)

同理可求得各土層方程的解為

(52)

1.3 地面沉降和分層沉降公式

下面進行抽水導致地面沉降及分層沉降分析。由以上分層公式(52)，等號兩邊累加得

s1=(c11+c21+…+cn1)+

(c12+c22+…+cn2)lnr

(53)

令

C11=c11+c21+…+cn1

(54)

C12=c12+c22+…+cn2

(55)

得地面沉降公式為

s1=C11+C12lnr

(56)

式(52)中有

s1-s2=c11+c12lnr

(57)

得

(58)

同理可得各分層沉降值為

(59)

以上式(56)和式(59)表明由抽水引起的土層地面沉降與井距呈半對數(shù)線性關系。

2 工程實例驗證

選取抽水導致土層地面沉降的第三方實測數(shù)據(jù)對本文以上分析結果進行驗證。實例一、實例二和實例三分別為國外文獻[2]、國內臺灣文獻[16]和國內大陸文獻[18]的資料。

2.1 理論解驗證

文獻[15]建立了由于抽水導致區(qū)域性地面沉降的數(shù)學模型，經過一系列推導給出了抽水引起的地面沉降計算的理論解。本文利用其給出的理論解，采用文獻中給出的例子對式(56)進行驗證。

文獻中給出了抽水導致的區(qū)域性地面沉降公式。單井抽水引起的沉降公式為

(60)

群井(分布呈圓形)抽水引起的沉降公式：

當t>0.4r2/Cν且r

(61)

當t>0.4r2/Cν且r>R時

(62)

式中：t為沉降時間；Qw為單位時間內的抽水量；Cν為固結系數(shù)；r為測點到沉降中心的距離；W()為泰斯井流的井函數(shù)；R為抽水井的分布半徑；∑Qw為圓形區(qū)域內所有井單位時間內的總抽水量。

選取文獻中的實例，利用其理論解分別進行單井、群井抽水導致地面沉降的驗證。群井抽水井分布如圖2 所示。抽水井呈圓形分布，分布半徑為R。

圖2 抽水井分布

驗證步驟：①利用上述單井公式式(60)、群井公式式(61)、式(62)分別計算標注線上一系列觀測點的沉降值，列于表1、表2。②擬合直線上的s-lnr半對數(shù)曲線得擬合參數(shù)c1,c2值及相關系數(shù)。相關參數(shù)的取值：Cv=6×103cm2/s;∑Qw=500 L /s;r=3.0 km;R=1.5 km;t=5 a.

表1 單井抽水下不同距離處的沉降

表2 群井抽水下不同距離處沉降

利用經典理論解計算的由于抽水導致的地面沉降s和測點到沉降中心的距離r的關系為：①單井降水下s=180.034-12.589lnr，相關系數(shù)99.92%;②群井降水下s=178.220-12.451lnr，相關系數(shù)99.91%。關系式符合半對數(shù)線性關系，很好地論證了式(56)。

2.2 工程實例一

工程實例一源自文獻[2]，工程地點位于美國西南部(The Mesquite,Nevada)，在一個新建的市政工程井內放置抽水泵進行含水層抽水與地表位移監(jiān)測試驗。試驗井穿過500 m厚的沖積土層，抽水試驗持續(xù)62 d。圖3為抽水井和觀測點布置以及觀測點由于抽水引起的地面水平變形。

圖3 抽水井與沉降監(jiān)測點布置

觀測點的水平位移和地面沉降采用GPS技術測量，地面沉降測量精度達到2 mm。WX31為試驗抽水井，VT01—VT10為觀測點，VT14為試驗參考點即測量基準站。文中所有測量的位移是相對于抽水井西 2 000 m 的基準站(VT14)，經過62 d抽水試驗之后得到各個觀測點地面沉降數(shù)據(jù),列于表3。

表3 地面沉降與到抽水井距離匯總

經擬合得實測沉降值s與距離對數(shù)值lnr間函數(shù)關系,見式(63)，線性相關系數(shù)為99.66%。

s1=3.85lnr-29.83

(63)

2.3 工程實例二

工程實例二源自文獻[16]，試驗場地位于中國臺灣臺中港附近平坦的沙區(qū)，抽水井濾水管段分別穿過砂質粉土層(埋深5～15 m)、淤泥層(埋深15～25 m)、粉砂質黏土層(埋深25～35 m)和砂質粉土層(埋深35 m 以下)等地層。試驗場地距離臺中市21 km，距離彰化市17 km，距離海岸約500 m。該工程為單井抽水試驗，抽水井布置在試驗場地中心，抽水井周圍設置水準測量點以監(jiān)測地面豎向沉降，布置7口水位監(jiān)測井以監(jiān)測地下水位變化。圖4為抽水井和沉降監(jiān)測點布置。

圖4 抽水點與沉降監(jiān)測井布置(據(jù)文獻[16],單位：m)

試驗采用不同的抽水速率Q1=200 L/min,Q2=320 L/min和Q3=400 L/min，待地面沉降穩(wěn)定后獲得各觀測點沉降數(shù)據(jù)，列于表4。經擬合得實測沉降值s與距離對數(shù)值lnr間函數(shù)關系式列于表5，關系曲線見圖5,線性相關度分別為95.89%,94.45%和97.38%。需要說明的是，沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)中距抽水井最近點r=2 m處的沉降值較其他觀測數(shù)據(jù)相差太大，其原因是監(jiān)測點距離抽水井太近，土體水平位移影響地面豎向沉降。

表4 地面沉降與到抽水井距離匯總

表5 沉降值s與距離對數(shù)值ln r間函數(shù)關系式匯總

圖5 s-ln r關系曲線

2.4 工程實例三

工程實例三源自文獻[18]，天津西站交通樞紐建設工程位于紅橋區(qū)。該試驗為承壓水非穩(wěn)定流抽水試驗，試驗中監(jiān)測抽水引起的地面沉降，抽水試驗含水層位于埋深15～46 m土層內。抽水井濾管段穿過粉質黏土層(埋深15～22 m)、粉土層(埋深22～34 m)和黏土層(埋深30～46 m)，試驗場地布置如圖6所示。K1,K2,K3為抽水試驗井并且分布在以D1為圓心的圓周上，D1—D10為地面沉降觀測點。K1,K2,K3群井抽水持續(xù)7 d，每日出水量為799.2 m3。群井抽水試驗開始的同時，對抽水井附近區(qū)域進行了地面沉降監(jiān)測，各測點到井群中心距離與實測地面沉降值見表6。經擬合得實測沉降值s與距離對數(shù)值lnr間函數(shù)關系為式(61)，線性相關系數(shù)為98.10%，見圖7。

圖6 抽水井與沉降監(jiān)測點布置

測點沉降/mm距離/mD1-13.80 D2-15.83.30D3-12.18.74D4-11.313.68D5-9.518.71D6-7.123.81D7-5.729.52D8-4.136.72D9-4.343.54D10-3.650.76

圖7 s-ln r關系曲線

3 結論

本文針對抽水導致地面和土層沉降這一熱點問題，經過合理假設和嚴格數(shù)學推導，得出地面沉降與井距呈半對數(shù)線性關系的規(guī)律，即s1=C11+C12lnr。

利用經典理論解計算的由于抽水導致的地面沉降s和測點到沉降中心的距離r的關系在單井降水下相關度為99.92%，在群井降水下為99.91%，符合半對數(shù)線性關系。經美國、臺灣和天津3個實際抽水的5組地面沉降監(jiān)測實例數(shù)據(jù)擬合，抽水引起的地面沉降和井距間半對數(shù)線性規(guī)律亦得到極好驗證，線性相關度分別為99.66%,95.89%,94.45%,97.38%和98.10%。該規(guī)律可用于預測距抽水井任意距離區(qū)域的地面沉降值，具有廣泛應用價值。

需要說明，如果土層條件不滿足本文假設條件，尤其是工程場地地下結構物較多、干涉較大時，將影響以上規(guī)律的使用。另本文方法主要應用于抽水引起的地面豎向沉降計算，當抽水導致地下水力梯度較大時，土層存在水平向變形。該方法不適用于水平向變形計算。

[1]曹文貴,鄧湘君,張超.基于Duncan-Chang 模型的地基沉降分層總和分析方法探討[J].巖土工程學報,2013,35(4):643-649.

[2]BURBEY T J,WARNER S M,BLEWITT G,et al.Three-dimensional Deformation and Strain Induced by Municipal Pumping,Part 1:Analysis of Field Data[J].Journal of Hydrology,2006,319(1-4):123-142.

[3]BURBEY T J.Three-dimensional Deformation and Strain Induced by Municipal Pumping,Part 2:Numerical Analysis[J].Journal of Hydrology,2006,330(3-4):422-434.

[4]KIHM J H,KIM J M,SONG S H,et al.Three-dimensional Numerical Simulation of Fully Coupled Groundwater Flow and Land Deformation due to Groundwater Pumping in an Unsaturated Fluvial Aquifer System[J].Journal of Hydrology,2007,335(1):1-14.

[5]SHI X Q,WU J C,YE S J,et al.Regional Land Subsidence Simulation in Su-Xi-Chang Area and Shanghai City,China[J].Engineering Geology,2008,100(1-2):27-42.

[6]HSI J P,CARTER J P,SMALL J C.Surface Subsidence and Drawdown of the Water Table due to Pumping[J].Geotechnique,1994,44(3):381-396.

[7]陳興賢，駱祖江，安曉宇，等.深基坑降水三維變參數(shù)非穩(wěn)定滲流與地面沉降耦合模型[J].吉林大學學報(地球科學版)，2013，43(5)：1572-1578.

[8]MIAO J F,WU L G.Mathematical Modelling of Land Subsidence due to Pumping of a Multi-aquifer System with Viscoelastic Properties[C]//Proceedings of the Fourth International Symposium on Land Subsidence,IAHS,1991.

[9]SU M B,SU C L,CHANG C J,et al.A Numerical Model of Ground Deformation Induced by Single Well Pumping[J].Computers and Geotechnics,1998,23(1-2):39-60.

[11]史佩棟.樁基工程手冊[M].北京:人民交通出版社,2008.

[12]原華,張慶賀,張建偉.側摩阻力約束下降水引起的地面沉降估算方法[J].上海交通大學學報,2013,47(8):1329-1334.

[13]REN G,BUCKERIDGE J,LI J.Estimating Land Subsidence Induced by Groundwater Extraction in Unconfined Aquifers Using an Influence Function Method[J].Journal of Water Resources Planning and Management,2014,141(7):1-10.

[14]東南大學，浙江大學，湖南大學，等.土力學[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社,2008.

[15]BEAR J,CORAPCIOGLU M Y.Mathematical Model for Regional Land Subsidence due to Pumping:1.Integrated Aquifer Subsidence Equations Based on Vertical Displacement Only[J].Water Resources Research,1981,17(4):937-946.

[16]SU M B,SU C L,CHANG C J,et al.A Numerical Model of Ground Deformation Induced by Single Well Pumping[J].Computers and Geotechnics,1998(23):39-60.

[17]徐芝綸.彈性力學[M].北京：高等教育出版社,2002.

[18]羅建軍,瞿成松,武永霞,等.天津西站交通樞紐配套市政公用工程水文地質抽水試驗報告[R].上海：上海長凱巖土工程有限公司,2009.