張民，夏衛(wèi)政，黃坤，陳欣

南京航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院，南京 210016

隨著近年來科技水平的不斷提高，無人機(jī)(Unmanned Aerial Vehicle, UAV)從最初的目標(biāo)識別、通信中繼到偵查監(jiān)視、災(zāi)害評估等，其應(yīng)用領(lǐng)域得到了極大的擴(kuò)展，未來的應(yīng)用前景極其廣闊。無人機(jī)對地面目標(biāo)的自動跟蹤是指無人機(jī)根據(jù)地面運(yùn)動目標(biāo)指示(Ground Moving Target Indication, GMTI)給出的地面目標(biāo)位置、速度、航向等信息并結(jié)合無人機(jī)當(dāng)前的飛行狀態(tài)通過特定的跟蹤算法在無干預(yù)的條件下實現(xiàn)對地面靜止或運(yùn)動目標(biāo)的持續(xù)跟蹤，是當(dāng)前無人機(jī)的一個重要的應(yīng)用方向[1-4]。相對于單架無人機(jī)，多架無人機(jī)組成編隊對地面目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同跟蹤具有更加明顯的優(yōu)勢：① 可以擴(kuò)大單架無人機(jī)傳感器的作用范圍，降低丟失目標(biāo)的概率；② 可以提高對目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)的估計精度，在應(yīng)用上可以提供更高的靈活性[5-8]。無人機(jī)協(xié)同跟蹤地面目標(biāo)制導(dǎo)律設(shè)計的主要難點(diǎn)在于如何使得多架無人機(jī)在自動跟蹤地面目標(biāo)的同時能夠有效維持特定編隊。另一方面，不同于旋翼無人機(jī)，在跟蹤靜止或低速目標(biāo)時，固定翼無人機(jī)為了避免失速必須保持一定的巡航速度，因此最常用的跟蹤策略是采用盤旋跟蹤的方式，這種方式也稱為Standoff跟蹤[9-11]。同時，無論單機(jī)還是編隊，Standoff跟蹤方式由于需要持續(xù)盤旋，因此均存在一個明顯的不足，即這種方式只適合于跟蹤低速目標(biāo)[12-14]，文獻(xiàn)[12]指出，采用Standoff跟蹤方式，地面目標(biāo)運(yùn)動速度不能超過無人機(jī)最大巡航速度的30%。

本文提出了一種新的基于Leader-Follower編隊的固定翼無人機(jī)協(xié)同跟蹤地面目標(biāo)制導(dǎo)方法。首先,設(shè)計一種能夠克服對所跟蹤目標(biāo)速度限制的新型Standoff單機(jī)跟蹤制導(dǎo)律，用于Leader無人機(jī)對地面目標(biāo)的自動跟蹤；然后,設(shè)計用于多架Follower無人機(jī)的Standoff跟蹤制導(dǎo)律和圓編隊相位協(xié)同制導(dǎo)律，使得Follower無人機(jī)均勻分布于圓周上，并且當(dāng)編隊進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時，F(xiàn)ollower無人機(jī)的速度將逐漸收斂于Leader無人機(jī)對應(yīng)的速度、相位角趨近于所要求的角度。仿真試驗表明，本文提出的新型編隊跟蹤策略可以很好地跟蹤不同運(yùn)動狀態(tài)的地面目標(biāo)，并且比基于經(jīng)典李雅普諾夫向量法的制導(dǎo)方法具有更好的性能。

1 問題描述

無人機(jī)飛行控制系統(tǒng)由內(nèi)回路(穩(wěn)定回路)和外回路(制導(dǎo)回路)構(gòu)成，在本文中認(rèn)為內(nèi)回路已經(jīng)設(shè)計完成，能夠很好地響應(yīng)外回路給出的制導(dǎo)指令，并且跟蹤移動目標(biāo)時默認(rèn)無人機(jī)的速度高于目標(biāo)速度。在理想情況下，執(zhí)行Standoff跟蹤任務(wù)的無人機(jī)應(yīng)保持固定高度和轉(zhuǎn)彎半徑,同時圍繞被跟蹤對象做圓周運(yùn)動，因此通?？梢詢H考慮固定高度上的二維制導(dǎo)問題。記ρ為無人機(jī)與目標(biāo)的相對距離，ρ∈[0,∞);ρd為期望距離;vu為無人機(jī)速度。

考察由式(1)描述的無人機(jī)二維質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)模型[15-17]

(1)

(2)

在本文中，Leader無人機(jī)采用Standoff方式對地面目標(biāo)進(jìn)行自動跟蹤，并且保持恒定的巡航速度，其在Frient-Serret坐標(biāo)系[7]下的幾何關(guān)系如圖1所示。

根據(jù)圖1幾何關(guān)系，無人機(jī)跟蹤地面目標(biāo)的二維模型可以表示為如式(3)所示的極坐標(biāo)形式：

圖1 無人機(jī)Standoff跟蹤地面目標(biāo)幾何關(guān)系Fig.1 Geometry for Standoff tracking of a ground target

表1 變量定義Table 1 Definitions of variables

變量名含義定義域vu無人機(jī)速度[0,vumax]vt地面目標(biāo)速度[0,vtmax]d1無人機(jī)與點(diǎn)Ps間的距離[0,∞)d2地面目標(biāo)單位時間移動的距離[0,∞)dr無人機(jī)與切點(diǎn)Pt間的距離[0,∞)ρ無人機(jī)與地面目標(biāo)的距離[0,∞)σ1d1與d2的夾角(-π,π]σ2dr與d2的夾角(-π,π]σddr與無人機(jī)-目標(biāo)當(dāng)前連線的夾角(-π,π]σ視線角(-π,π]σ切線dr與水平方向的夾角(-π,π]σmd1與dr的夾角(-π,π]^ψu(yù)無人機(jī)期望航向角(-π,π]χ當(dāng)前航向與期望航向間的夾角(-π,π]P1當(dāng)前無人機(jī)位置N/APt當(dāng)前目標(biāo)圓切點(diǎn)N/APsPt隨地面目標(biāo)移動單位時間后的位置N/A

(3)

2 Leader無人機(jī)制導(dǎo)律設(shè)計

當(dāng)跟蹤地面目標(biāo)時，無人機(jī)有順時針、逆時針2種飛行狀態(tài)，為便于分析，在本文中僅采用順時針飛行方式，逆時針方式可按同樣的方法進(jìn)行分析處理。

本文現(xiàn)提出無人機(jī)Standoff跟蹤制導(dǎo)律：

(4)

式中:

(5)

且

(6)

針對靜止目標(biāo)和運(yùn)動目標(biāo)分別給出該制導(dǎo)律的穩(wěn)定性分析與證明。

2.1 靜止地面目標(biāo)

當(dāng)?shù)孛婺繕?biāo)靜止時，有vt=0，d2=0，d1=dr，σm=0，則制導(dǎo)律式(4)可以簡化為

(7)

在式(7)中

(8)

此時式(3)所示的無人機(jī)二維模型可以簡化為

(9)

定理1無人機(jī)動力學(xué)模型式(9)在制導(dǎo)律式(7)作用下，若滿足k1>0，k2<1，則無人機(jī)跟蹤靜止目標(biāo)的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

證明:

現(xiàn)提出李雅普諾夫方程為

(10)

對L求導(dǎo)可得

(11)

1)ρ≥ρd

由式(7)可得

再分為以下2種情況：

(12)

將式(12)代入式(11)可得

由式(7)可得

綜上所述，若滿足k1>0，k2<1，無人機(jī)Standoff跟蹤靜止地面目標(biāo)時的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定[18]。

2.2 運(yùn)動地面目標(biāo)

首先證明如下引理。

引理1對于式(3)所示的無人機(jī)模型，當(dāng)無人機(jī)跟蹤運(yùn)動地面目標(biāo)時，有如下不等式成立:

(13)

證明:

在圖1中，顯然有如下向量關(guān)系成立：

(14)

兩邊平方得

(15)

即

兩邊求導(dǎo)可得

(16)

(17)

將式(16)代入得

(18)

(19)

對式(19)兩邊同時平方，則

(20)

整理得

(21)

(22)

定理2無人機(jī)動力學(xué)模型式(3)在制導(dǎo)律式(4)作用下，若滿足k1>0，k2<1，則跟蹤運(yùn)動目標(biāo)時的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

證明:

(23)

(24)

以下分3種情況分別證明。

1)ρ≥ρd

由式(4)可得

(25)

再分為如下2種情況：

①χ≥0

此時有

(26)

(27)

(28)

由式(4)可得

(29)

(30)

(31)

因此有

(32)

由式(4)可得

(33)

再分為如下2種情況：

(34)

(35)

綜上所述，若滿足k1>0，k2<1，無人機(jī)Standoff跟蹤運(yùn)動地面目標(biāo)時的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

從上述證明過程可以看出，Leader無人機(jī)的制導(dǎo)律采用了一種使得無人機(jī)航向不斷逼近地面目標(biāo)牽連Standoff跟蹤圓切線方向的策略，通過幾何關(guān)系間接實現(xiàn)對跟蹤距離的控制，從而克服了傳統(tǒng)Standoff跟蹤制導(dǎo)律存在的對可跟蹤地面目標(biāo)的速度限制問題。

3 Follower無人機(jī)制導(dǎo)律設(shè)計

假設(shè)在編隊中有N架Follower無人機(jī), 則第i(i=1,2,…,N) 架無人機(jī)的Dubins模型可描述為[19]

(36)

Follower無人機(jī)對Leader無人機(jī)Standoff跟蹤的幾何關(guān)系如圖2所示(以3架Follower無人機(jī)為例)。

圖2 Leader-Follower無人機(jī)編隊幾何模型Fig.2 Guidance geometry model of leader-follower UAVs

在本文中，多架Follower無人機(jī)需要維持一個以Leader無人機(jī)為中心的圓型編隊并且均勻分布于圓周上。同時，要求Follower無人機(jī)的速度及航向角逐漸收斂于Leader無人機(jī)對應(yīng)的速度及航向角，其相對運(yùn)動模型可描述為

(37)

式中：下標(biāo)‘0’表示Leader無人機(jī)。

同時，假設(shè)Follower無人機(jī)通過通訊鏈路能夠獲取Leader無人機(jī)的飛行狀態(tài)信息，并且在Follower無人機(jī)之間具備基本的環(huán)形通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，本文現(xiàn)提出如下的Follower無人機(jī)制導(dǎo)律。

角速度制導(dǎo)律：

(38)

加速度制導(dǎo)律：

(39)

由式(38)和式(39)可以看出，F(xiàn)ollower無人機(jī)制導(dǎo)律除了對Standoff跟蹤距離和編隊相位角的控制外，還分別包含對Leader無人機(jī)航向角與速度偏差的控制，這是與經(jīng)典Standoff協(xié)同跟蹤制導(dǎo)律的主要差異所在。

定理3無人機(jī)編隊動力學(xué)模型式(37)在制導(dǎo)律式(38)和式(39)作用下，若滿足kω>0，kv>0，則Follower無人機(jī)與Leader無人機(jī)之間的距離將逐漸趨近于ρd，F(xiàn)ollower無人機(jī)之間的相位差將逐漸趨近于2π/N,并且Follower無人機(jī)的速度與航向?qū)⒅饾u趨近于Leader無人機(jī)的速度與航向。

證明:

現(xiàn)提出李雅普諾夫方程為

(40)

對式(40)求導(dǎo)得

(41)

(42)

則有

(43)

4 仿真驗證

為了驗證本文提出的基于Leader-Follower編隊的跟蹤地面目標(biāo)架構(gòu)和制導(dǎo)律設(shè)計的合理性與有效性，以1架Leader無人機(jī)、3架Follower無人機(jī)組成的4機(jī)編隊為例，分別針對靜止目標(biāo)和運(yùn)動目標(biāo)的跟蹤問題進(jìn)行仿真驗證，其中在變速目標(biāo)跟蹤問題中不再將地面目標(biāo)的速度限制在無人機(jī)巡航速度的30%以內(nèi)。

在仿真開始時，無人機(jī)與地面目標(biāo)的初始狀態(tài)設(shè)定為：

1) Leader無人機(jī)(UAV #0)

① 位置為(0，-1 500) m；② 航向角為30°;③ 巡航速度為40 m/s；④ 制導(dǎo)指令輸出量限幅為0.1 rad/s。

2) Follower無人機(jī)

UAV #1

① 位置為(50，-1 150) m；② 航向角為-5°；③ 巡航速度為38 m/s；④ 制導(dǎo)指令輸出量限幅為0.1 rad/s。

UAV #2

① 位置為(-350，-1 750) m；② 航向角為120°；③ 巡航速度為41 m/s；④ 制導(dǎo)指令輸出量限幅為0.1 rad/s。

UAV #3

① 位置為(300，-1 700) m；② 航向角為60°；③ 巡航速度為40.5 m/s；④ 制導(dǎo)指令輸出量限幅為0.1 rad/s。

3) 地面目標(biāo)

① 位置為(0，0) m；② 航向角為30°；③ 巡航速度為0～36 m/s。

制導(dǎo)增益設(shè)定為

k1=1，k2=0.2，kv=1.5，kω=1.28。

4.1 靜止目標(biāo)

無人機(jī)編隊對靜止目標(biāo)跟蹤的軌跡、速度、航向角、相位角與相對距離分別如圖3～圖5所示。圖5(a)中Follower 2-1表示Follower 2與Follower 1間的相位角差。

圖3 協(xié)同跟蹤靜止目標(biāo)軌跡Fig.3 Trajectory of cooperative tracking of a static target

圖4 協(xié)同跟蹤靜止目標(biāo)的速度和航向角Fig.4 Speed and heading angle of cooperative tracking of a static target

圖5 協(xié)同跟蹤靜止目標(biāo)時無人機(jī)相位角與相對距離Fig.5 Inter-UAV angle and relative range of cooperative tracking of a static target

4.2 勻速運(yùn)動目標(biāo)

設(shè)定以40 m/s速度巡航的無人機(jī)編隊協(xié)同跟蹤以36 m/s速度移動的地面目標(biāo)，跟蹤軌跡、速度、航向角、相位角與相對距離分別如圖6～圖8所示。

圖6 協(xié)同跟蹤勻速運(yùn)動目標(biāo)軌跡Fig.6 Trajectory of cooperative tracking of a constant speed target

圖7 協(xié)同跟蹤勻速目標(biāo)時無人機(jī)速度與航向角Fig.7 Speed and heading angle of cooperative tracking a constant speed target

圖8 協(xié)同跟蹤勻速目標(biāo)時無人機(jī)間相位角與相對距離Fig.8 Inter-UAV angle and relative range of cooperative tracking a constant speed target

4.3 變速運(yùn)動目標(biāo)

設(shè)定地面目標(biāo)的速度剖面如圖9所示，無人機(jī)編隊對目標(biāo)跟蹤的軌跡、速度、航向角、相位角與相對距離分別如圖10～圖12所示。

圖9 地面目標(biāo)速度剖面Fig.9 Profile of ground target speed

圖10 協(xié)同跟蹤變速目標(biāo)軌跡Fig.10 Trajectory of cooperative tracking of a variable speed target

圖11 協(xié)同跟蹤變速目標(biāo)的速度和航向角Fig.11 Speed and heading angle of cooperative tracking of a variable speed target

圖12 協(xié)同跟蹤變速目標(biāo)時無人機(jī)間相位角及相對距離Fig.12 Inter-UAV angle and relative range of cooperative tracking of a variable speed target

4.4 仿真性能分析與比較

由4.1～4.3節(jié)中無人機(jī)編隊對不同運(yùn)動狀態(tài)地面目標(biāo)的跟蹤結(jié)果可以看出，本文設(shè)計的無人機(jī)Leader-Follower編隊架構(gòu)及跟蹤制導(dǎo)律能夠很好地對包括高速運(yùn)動目標(biāo)在內(nèi)的地面目標(biāo)進(jìn)行自動跟蹤，同時編隊與地面目標(biāo)的距離以及編隊內(nèi)無人機(jī)間相對位置的控制完全滿足設(shè)計要求。為了進(jìn)一步分析本文無人機(jī)Leader-Follower編隊協(xié)同跟蹤地面目標(biāo)的性能，選取文獻(xiàn)[20]中的經(jīng)典李雅普諾夫向量法(Lyapunov Vector Fields Guidance, LVFG)協(xié)同跟蹤制導(dǎo)方法，在相同條件下對勻速和變速運(yùn)動地面目標(biāo)的跟蹤問題進(jìn)行了仿真。

對變速運(yùn)動目標(biāo)的跟蹤以Follower無人機(jī)中的UAV #1為比較對象，兩者的速度和相位角對比結(jié)果如圖14所示。

從圖14可以看出，無人機(jī)協(xié)同跟蹤地面目標(biāo)時， 本文中的協(xié)同制導(dǎo)律總能使得Follower無人機(jī)的速度趨向于Leader無人機(jī)，無人機(jī)的速度與相位角的穩(wěn)定性優(yōu)于LVFG方法。

圖13 采用LVFG方法跟蹤高速目標(biāo)軌跡Fig.13 Trajectory of tracking of a high speed target by LVFG

圖14 2種方法得到的UAV #1速度與相位角對比Fig.14 Comparison of speed and inter-UAV angle between UAV #1 between two methods

5 結(jié) 論

本文提出了一種用于多無人機(jī)協(xié)同跟蹤地面目標(biāo)的新型制導(dǎo)方法，主要貢獻(xiàn)為：

1) 設(shè)計了Leader無人機(jī)Standoff跟蹤地面目標(biāo)的制導(dǎo)律，解決了傳統(tǒng)Standoff跟蹤方法存在的對地面目標(biāo)運(yùn)動速度的限制問題。

2) 設(shè)計了Follower無人機(jī)Standoff跟蹤Leader無人機(jī)的制導(dǎo)律，并使得Follower無人機(jī)的速度與航向角逐漸與Leader無人機(jī)的速度與航向角一致。

3) 采用李雅普諾夫直接法對所提出制導(dǎo)律的穩(wěn)定性進(jìn)行了嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明。

4) 仿真表明本文提出的新型編隊跟蹤策略可以很好地跟蹤不同運(yùn)動狀態(tài)的地面目標(biāo)，具有工程應(yīng)用價值。

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