崔穎 黃宇熙 王永亮 孫鵬

(大連海事大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院, 大連 116026)

引言

轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)是航空發(fā)動(dòng)機(jī)的核心部件,其振動(dòng)特性對(duì)整機(jī)的安全可靠運(yùn)行具有重要影響.轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)分岔、混沌等非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象[1-3],危害轉(zhuǎn)子工作的穩(wěn)定性.轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)分析的首要是動(dòng)力學(xué)建模,目前針對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究中,大多建立了較為簡(jiǎn)單的低維單盤(pán)轉(zhuǎn)子模型[4-9],或是考慮聯(lián)軸器、阻尼器、機(jī)匣等部件的高維復(fù)雜模型[10].

滾動(dòng)軸承非線性力是使轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)產(chǎn)生非線性振動(dòng)現(xiàn)象的主要根源.研究發(fā)現(xiàn)：轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生頻率與滾珠通過(guò)載荷作用線頻率相同的振動(dòng),這種振動(dòng)被稱(chēng)為VC振動(dòng)[11-14].顯然,VC振動(dòng)與滾動(dòng)軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān),Sunnersj?[15]開(kāi)展了關(guān)于VC振動(dòng)的數(shù)值與實(shí)驗(yàn)研究,并指出VC振動(dòng)的發(fā)生不受軸承精度影響,Futaka[16]等采用典型的2自由度滾動(dòng)軸承模型進(jìn)行了計(jì)算,結(jié)果顯示系統(tǒng)在臨界轉(zhuǎn)速附近存在VC亞諧振動(dòng),Mevel[17]等試驗(yàn)給出了滾動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)VC振動(dòng)的波形,并分析了系統(tǒng)通過(guò)亞諧振動(dòng)與準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌的路徑.然而,VC振動(dòng)隨轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)參數(shù)變化的規(guī)律還有待深入的研究.

本文采用Timoshenko梁?jiǎn)卧Ｐ徒Y(jié)合滾動(dòng)軸承的非線性支撐力模型,建立了航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)的24自由度高維動(dòng)力學(xué)模型,利用自適應(yīng)步長(zhǎng)Newmark-β法[18,19]對(duì)該系統(tǒng)模型進(jìn)行了計(jì)算,分析了系統(tǒng)非線性動(dòng)力響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律,并著重計(jì)算分析了不平衡量、軸承游隙對(duì)低轉(zhuǎn)速區(qū)VC振動(dòng)的影響.

1 高壓轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

現(xiàn)代典型的航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化模型如圖1.采用有限元法將該模型分為5個(gè)單元6個(gè)結(jié)點(diǎn),結(jié)點(diǎn)1處作用滾動(dòng)軸承1#,結(jié)點(diǎn)6處作用中介軸承2#,模型具體參數(shù)如表1所示.

基于Timoshenko梁?jiǎn)卧?建立考慮系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程組：

(1)

式中,M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；J為陀螺矩陣；K為剛度矩陣；Ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；廣義位移向量U={x1,y1,-θx1,θy1,…,x6,y6,-θx6,θy6}T；Fg為重力；Fb為滾動(dòng)軸承非線性支撐力；Fe為不平衡力.

圖1 高壓轉(zhuǎn)子滾動(dòng)軸承系統(tǒng)模型Fig.1 Model of high pressure rotor-rolling bearing system

表1 航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子模型參數(shù)Table 1 Parameters of high pressure rotor of aero engine

轉(zhuǎn)子阻尼設(shè)定為Rayleigh阻尼,如(2)所示：

C=αM+βK

(2)

式中,

ξ1和ξ2為系統(tǒng)前兩階模態(tài)阻尼系數(shù)；ω1、ω2為系統(tǒng)的一、二階臨界轉(zhuǎn)速.通過(guò)計(jì)算Campbell圖可得系統(tǒng)一、二階臨界轉(zhuǎn)速分別為17212r/min、37296r/min.轉(zhuǎn)子內(nèi)徑為0.0381m,外徑為0.0508m,材料密度ρ為8304kg/m3,彈性模量E為2.069×1011Pa.

如圖2,假設(shè)軸承共有Nb個(gè)滾珠,則每個(gè)滾珠在t時(shí)刻的方位角如(3)：

(3)

ωcage為保持架轉(zhuǎn)速；R為軸承外環(huán)半徑；r為軸頸半徑.

圖2 滾動(dòng)軸承結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Structure diagram of rolling bearing

第j個(gè)滾珠的彈性變形如(4)式所示：

δj=δj0H(δj0)

(4)

δj0=xcosθj+ysinθj-V

其中,V為徑向游隙.

由赫茲接觸理論可以求得軸承非線性力表達(dá)式[20]：

(5)

Cb為赫茲接觸剛度,由滾珠與軸承內(nèi)外環(huán)的材料、參數(shù)所確定.本文軸承選用6211型號(hào)軸承,參數(shù)如表2所示,由式(6),可得該軸承VC振動(dòng)頻率與轉(zhuǎn)子工作頻率比Bn為3.55.

表2 6211型滾動(dòng)軸承參數(shù)Table 2 Parameters of 6211 type rolling bearing

(6)

式中,fvc為VC振動(dòng)頻率,fr為轉(zhuǎn)子工作頻率.

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果及分析

采用自適應(yīng)步長(zhǎng)Newmark-β直接積分法對(duì)系統(tǒng)非線性運(yùn)動(dòng)微分方程求解,Newmark-β算法的控制參數(shù)分別取0.25和0.5,采用局部誤差(Local Error)作為步長(zhǎng)調(diào)整依據(jù),將計(jì)算結(jié)果的局部誤差限制在0.75%～1%之間.為著重分析滾動(dòng)軸承非線性力作用的影響,1#軸承選為6211型軸承,采用非線性力模型,而2#軸承為剛度為8.75×106N/m的軸承,計(jì)算得到該轉(zhuǎn)子隨轉(zhuǎn)速升高的響應(yīng)特性,進(jìn)而針對(duì)低轉(zhuǎn)速下出現(xiàn)的VC振動(dòng)現(xiàn)象,計(jì)算分析了在不同轉(zhuǎn)速下不平衡量與軸承游隙對(duì)VC振動(dòng)的影響.

2.1 不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子動(dòng)力響應(yīng)分析

設(shè)定轉(zhuǎn)子不平衡位于1#輪盤(pán)上,偏心距e=181μm.當(dāng)軸承游隙V=20μm時(shí),結(jié)點(diǎn)3在X向的振動(dòng)幅頻特性如圖4所示,可見(jiàn)該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的第一階臨界轉(zhuǎn)速為18800r/min,與線性軸承剛度條件計(jì)算得到的一階固有頻率相接近.

圖4 幅頻特性圖Fig.4 Amplitude-frequency diagram

圖5 分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram

由結(jié)點(diǎn)3處X振動(dòng)響應(yīng)的分岔圖5可知,隨著轉(zhuǎn)速的升高,轉(zhuǎn)子振動(dòng)大致經(jīng)歷了三個(gè)階段,0～10000r/min的低轉(zhuǎn)速區(qū),轉(zhuǎn)子振動(dòng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)；10000～20000r/min的中轉(zhuǎn)速區(qū),轉(zhuǎn)子振動(dòng)較穩(wěn)定；20000～30000r/min的高轉(zhuǎn)速區(qū),轉(zhuǎn)子振動(dòng)再次進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài).

由于重力的作用,軸頸在滾動(dòng)軸承內(nèi)Y方向存在初始彎曲,當(dāng)轉(zhuǎn)子在低轉(zhuǎn)速下工作時(shí)不平衡激勵(lì)力很小,使得滾動(dòng)軸承Y向非線性剛度高于X方向.如圖6所示,結(jié)點(diǎn)1處在200r/min時(shí),Y方向振幅為X方向振幅的1/16.隨著轉(zhuǎn)速升高,不平衡質(zhì)量激勵(lì)力逐漸增大,相比之下重力的作用減弱,當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到5000r/min時(shí),X、Y方向振幅趨于相同,如圖7所示.

圖6 軸心軌跡圖(200r/min)Fig.6 Axle center trajectory diagram(200r/min)

圖7 幅頻特性圖Fig.7 Amplitude-frequency diagram

同時(shí)在轉(zhuǎn)速200r/min時(shí),模擬得到了與Mevel[16]實(shí)驗(yàn)測(cè)得的VC振動(dòng)波形相近的計(jì)算結(jié)果,如圖8(a).由圖8(b)可知,fvc是fr的3.55倍,與VC振動(dòng)頻率的公式(6)計(jì)算結(jié)果一致.在0～1500r/min區(qū)間上,結(jié)點(diǎn)3在X方向響應(yīng)三維譜圖如圖9所示,振動(dòng)的頻率成分主要是fvc、fr以及兩者的倍頻和組合頻率.隨著轉(zhuǎn)速升高,如圖10所示,X方向通頻幅值A(chǔ)x迅速增大,VC振動(dòng)幅值A(chǔ)vcx逐步減小.繼續(xù)升高轉(zhuǎn)速,如圖11,在3000～10000r/min區(qū)間內(nèi),頻率成分主要包含工頻fr及其倍頻,Avcx已經(jīng)基本消失,工頻fr的倍頻在轉(zhuǎn)速接近10000r/min時(shí)基本消失.

圖8 時(shí)域圖、頻譜圖(200r/min)Fig. 8 Time domain chart and spectrogram(200r/min)

圖9 三維頻譜Fig.9 Waterfall of rotor′s run-up

圖10 Ax與Axvc幅值Fig.10 Amplitude of Axand Axvc

圖11 三維譜圖Fig.11 3D spectrogram

隨著轉(zhuǎn)速升高,轉(zhuǎn)子振動(dòng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài),如圖5所示,響應(yīng)以工頻為主的同步振動(dòng),15000r/min轉(zhuǎn)速結(jié)點(diǎn)3的軸心軌跡和X方向頻譜如12所示.

圖12 軸心軌跡、頻譜(25000r/min)Fig.12 Axle center trajectory diagram and spectrogram(25000r/min)

在轉(zhuǎn)速20000～30000r/min區(qū),轉(zhuǎn)子振動(dòng)除了工頻成分之外出現(xiàn)了低頻分量,該低頻分量為轉(zhuǎn)子的一階固有頻率.隨著轉(zhuǎn)速的升高,低頻頻率保持不變,出現(xiàn)“鎖頻”現(xiàn)象,如圖13.并且轉(zhuǎn)速升高工頻fr譜線的幅值減小,固有頻率fc分量的幅值逐漸增大.轉(zhuǎn)速25000r/min時(shí)轉(zhuǎn)子軸心軌跡和X向頻譜如圖14所示,振動(dòng)響應(yīng)中包括多個(gè)頻率分量,而其中工頻和一階固有頻率占比較大.

圖13 三維譜圖Fig.13 3D spectrogram

可見(jiàn),該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由于滾動(dòng)軸承的非線性特性在低、中、高轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)呈現(xiàn)出豐富多樣的非線性響應(yīng)特征.

2.2 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)VC振動(dòng)的影響

除轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速外,轉(zhuǎn)子不平衡量和滾動(dòng)軸承游隙是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中更易改變的參數(shù),本文分析轉(zhuǎn)速、游隙與不平衡量對(duì)低轉(zhuǎn)速區(qū)VC振動(dòng)的影響.由于該模型轉(zhuǎn)子中滾動(dòng)軸承非線性力作用于結(jié)點(diǎn)1處,而在低轉(zhuǎn)速區(qū)Y方向振動(dòng)受到抑制,故采用結(jié)點(diǎn)1處X方向振動(dòng)響應(yīng)來(lái)分析.

圖14 軸心軌跡、頻譜(25000r/min)Fig.14 Axle center trajectory diagram and spectrogram(25000r/min)

2.2.1 滾動(dòng)軸承徑向游隙對(duì)VC振動(dòng)影響

設(shè)定轉(zhuǎn)子不平衡位于1#輪盤(pán)上,偏心距e=0.181mm,軸承游隙變化范圍為10～100μm,轉(zhuǎn)速的變化范圍為200～3000r/min.結(jié)點(diǎn)1處X向振動(dòng)響應(yīng)中VC振動(dòng)頻率fvc的幅值隨轉(zhuǎn)速和游隙變化的三維圖.可見(jiàn),不同的游隙條件下,隨著轉(zhuǎn)速升高VC振動(dòng)幅值總體上呈現(xiàn)先減小再增大,然后再次減小的趨勢(shì)規(guī)律.

討論不同轉(zhuǎn)速下VC振動(dòng)幅值在游隙10～100μm條件下的變化情況,200～850r/min區(qū)間內(nèi),隨著滾動(dòng)軸承游隙的增大VC振動(dòng)幅值不斷增大；轉(zhuǎn)速位于850～1600r/min區(qū)間時(shí),在低游隙范圍內(nèi)VC振動(dòng)幅值隨著游隙增大而增大,當(dāng)游隙增大至一定大小后,VC振動(dòng)幅值隨著游隙增大基本保持不變；而當(dāng)轉(zhuǎn)速高于1600r/min,VC振動(dòng)基本消失,系統(tǒng)VC振動(dòng)消失轉(zhuǎn)速不受軸承游隙的影響.

圖15 fvc幅值Fig.15 Amplitude offvc

2.2.2 轉(zhuǎn)子不平衡量對(duì)VC振動(dòng)影響

選取滾動(dòng)軸承游隙V=50μm,同樣設(shè)定轉(zhuǎn)子不平衡位于結(jié)點(diǎn)3處的1#輪盤(pán)上,偏心距e的變化范圍為0.05～0.2mm,圖15(a)為VC振動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)速和不平衡量變化的三維譜圖,可見(jiàn)：在不同偏心距下,VC振動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)速的升高總體也呈現(xiàn)先減小再增大,然后再次減小直至消失的趨勢(shì)特征.觀察不同轉(zhuǎn)速下VC振動(dòng)幅值在偏心距0.05～0.2mm范圍下的變化情況,轉(zhuǎn)速在0～1000r/min區(qū)間時(shí),轉(zhuǎn)子VC振動(dòng)幅值隨著不平衡量增大卻基本不變；轉(zhuǎn)速高于1000r/min時(shí),VC振動(dòng)幅值隨著不平衡量增大而略有降低.系統(tǒng)VC振動(dòng)基本消失時(shí)的轉(zhuǎn)速隨不平衡量的增大而降低.

圖16 fvc幅值Fig.16 Amplitude offvc

3 結(jié)論

1)建立了考慮滾動(dòng)軸承非線性力的典型航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,采用Newmark-β自適應(yīng)步長(zhǎng)法計(jì)算得到了低轉(zhuǎn)速區(qū)轉(zhuǎn)子的VC振動(dòng)現(xiàn)象,模擬的VC振動(dòng)時(shí)域波形與Mevel實(shí)驗(yàn)測(cè)得VC振動(dòng)波形相近,驗(yàn)證了本文所采用的模型與算法在預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)中的有效性.

2)在寬廣的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi),利用幅頻特性、分岔圖、頻譜圖計(jì)算分析得到了該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有低轉(zhuǎn)速區(qū)出現(xiàn)VC振動(dòng),中轉(zhuǎn)速區(qū)出現(xiàn)同步工頻振動(dòng)、高轉(zhuǎn)速區(qū)出現(xiàn)低頻分量“鎖頻”的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征.

3)對(duì)VC振動(dòng)幅值的影響參數(shù)分析表明,隨轉(zhuǎn)速的升高,VC振動(dòng)幅值具有先減小再增大,然后再減小至基本消失這一趨勢(shì)特征.增大游隙會(huì)使VC振動(dòng)的幅值增大,轉(zhuǎn)子不平衡量對(duì)VC振動(dòng)幅值影響較小.并且,系統(tǒng)VC振動(dòng)基本消失時(shí)的轉(zhuǎn)速隨不平衡量增大而降低,但基本不受軸承游隙的影響.