丁 松, 黨耀國(guó), 徐 寧, 王俊杰

(1. 南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 江蘇 南京 211106; 2. 滑鐵盧大學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)工程系, 安大略 滑鐵盧 N2L 3G1; 3. 南京審計(jì)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院, 江蘇 南京 211815)

0 引 言

多變量灰色預(yù)測(cè)模型是灰色系統(tǒng)理論中最重要的模型之一,該模型包含了一個(gè)系統(tǒng)行為特征序列和N-1個(gè)影響因子(又稱驅(qū)動(dòng)因素)序列,通過(guò)將已知因素作為驅(qū)動(dòng)項(xiàng)和將未知因素作為灰作用量,建立微分方程描述驅(qū)動(dòng)因素、灰作用量與系統(tǒng)行為間的關(guān)系,對(duì)系統(tǒng)行為進(jìn)行預(yù)測(cè)。多變量灰色預(yù)測(cè)模型能夠相對(duì)準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)與因素之間的關(guān)系,更符合灰色系統(tǒng)“部分信息已知,部分信息未知”的“小樣本”“貧信息”不確定性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征。因此,該模型一直受到眾多學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[1]提出了把驅(qū)動(dòng)項(xiàng)作為灰常量來(lái)處理的思路,解決了傳統(tǒng)GM(1,N)模型的模擬預(yù)測(cè)問(wèn)題,并獲得了廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[2]利用灰色關(guān)聯(lián)度探討了GM(1,N)模型的擬合度與變量的選擇關(guān)系,說(shuō)明變量選擇在灰色模型建模過(guò)程中的重要性。文獻(xiàn)[3]將自記憶性準(zhǔn)則融入到多變量模型構(gòu)建中,提出了SMGM(1,m)模型。文獻(xiàn)[4]利用采樣定理和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣分析了GM(1,N)模型差分方程和微分方程的關(guān)系,探索該模型的離散化結(jié)構(gòu)解。文獻(xiàn)[5]對(duì)傳統(tǒng)模型的背景值進(jìn)行了優(yōu)化,并利用遺傳算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行求解,提升了模型的適應(yīng)能力。文獻(xiàn)[6]利用非線性優(yōu)化方法對(duì)GM(1,N)模型進(jìn)行了拓展研究,結(jié)合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化求解,取得較好的應(yīng)用效果。文獻(xiàn)[7]對(duì)傳統(tǒng)模型的背景值和殘差進(jìn)行了優(yōu)化,使得新模型能夠適應(yīng)多種建模序列,豐富了灰色建模理論。文獻(xiàn)[8]構(gòu)建了新型GMC(1,N)模型,利用非線性優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì),進(jìn)一步提升模型的可靠性和適應(yīng)性。文獻(xiàn)[9]將系統(tǒng)變化趨勢(shì)融入到GM(1,N)建模,使得新模型具有更強(qiáng)的適應(yīng)能力和外推能力,進(jìn)一步提升了模型對(duì)小樣本系統(tǒng)的管控能力。

為了進(jìn)一步改善模型的建模預(yù)測(cè)效果,提升傳統(tǒng)GM(1,N)的適應(yīng)能力和可靠性,許多學(xué)者從模型結(jié)構(gòu)、參數(shù)估計(jì)、融合其他方法等角度開(kāi)展了研究,已經(jīng)取得一系列有價(jià)值的應(yīng)用成果。文獻(xiàn)[10]將影響因素的變化趨勢(shì)融入到傳統(tǒng)模型建模,構(gòu)建了TGM(1,N)模型。文獻(xiàn)[11]分析了傳統(tǒng)模型的缺陷,并通過(guò)引入線性修正項(xiàng)和灰作用量項(xiàng),構(gòu)建了較為合理的建模過(guò)程和結(jié)構(gòu),并在實(shí)例中證明了其有效性和實(shí)用性。文獻(xiàn)[12]對(duì)該新模型的性質(zhì)進(jìn)行了拓展研究,并利用該模型對(duì)北京市機(jī)動(dòng)車數(shù)量進(jìn)行了預(yù)測(cè)。文獻(xiàn)[13]針對(duì)傳統(tǒng)模型背景值選取存在的問(wèn)題,構(gòu)建含有插值系數(shù)的背景值,并利用遺傳方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì),取得了較好的建模效果。文獻(xiàn)[14]提出了反向累加多變量預(yù)測(cè)模型,并結(jié)合滾動(dòng)機(jī)理對(duì)金磚國(guó)家的CO2排放量與能源消費(fèi)、城市人口和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的關(guān)系進(jìn)行了系統(tǒng)分析和預(yù)測(cè)。文獻(xiàn)[15]充分利用卷積積分技術(shù)的優(yōu)勢(shì),提出了GMC(1,N)模型。文獻(xiàn)[16-17]針對(duì)多種應(yīng)用場(chǎng)景,提出了兩種改進(jìn)模型,拓展了GMC(1,N)模型的應(yīng)用領(lǐng)域。文獻(xiàn)[18]基于索洛余值法提出了FDGM(1,h)模型,并給出了反饋控制方程和參數(shù)估計(jì)方法?？v觀以上文獻(xiàn)可知,其對(duì)傳統(tǒng)模型改進(jìn)和拓展的方面還是以系統(tǒng)行為特征序列和驅(qū)動(dòng)因素序列同期變化為基礎(chǔ)。

另外,對(duì)于多變量系統(tǒng)的建模預(yù)測(cè),其影響因素對(duì)系統(tǒng)行為特征序列產(chǎn)生作用效果可能會(huì)存在一定時(shí)滯現(xiàn)象,例如從城市交通擁堵到環(huán)境污染的產(chǎn)生、從科技投入到產(chǎn)出等均存在延遲。針對(duì)這類問(wèn)題,一些學(xué)者也進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[19]針對(duì)輸入和輸出存在時(shí)滯現(xiàn)象的系統(tǒng)建模問(wèn)題,構(gòu)建了GM(1,N|τ,r)模型。文獻(xiàn)[20]在此基礎(chǔ)上利用分?jǐn)?shù)階累加算子,提出了基于分?jǐn)?shù)階累加的時(shí)滯GM(1,N,τ)模型。文獻(xiàn)[21]將時(shí)滯控制因子引入到多變量離散模型的驅(qū)動(dòng)因素控制項(xiàng)中,利用灰色擴(kuò)維識(shí)別方法和灰色關(guān)聯(lián)分析工具研究時(shí)滯參數(shù)的估計(jì),具有十分重要的研究意義。文獻(xiàn)[22]從時(shí)滯累積角度研究相關(guān)因素對(duì)主系統(tǒng)行為序列的累積影響效果,構(gòu)建了時(shí)滯GM(1,N)的基本模型和拓展模型。

上述模型的改進(jìn)與拓展在很大程度上提升了GM(1,N)模型的建模精度和動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)能力,但考察多變量灰色預(yù)測(cè)模型的研究現(xiàn)狀可以發(fā)現(xiàn),現(xiàn)有模型往往只考慮了多個(gè)驅(qū)動(dòng)因素對(duì)系統(tǒng)的獨(dú)立影響,而忽略了多個(gè)因素之間的相互作用對(duì)系統(tǒng)特征的影響。事實(shí)上,兩個(gè)系統(tǒng)影響因素同時(shí)作為驅(qū)動(dòng)變量時(shí),某一因素的變化會(huì)影響另外一因素對(duì)系統(tǒng)的作用,它們之間存在相互制約、相互依賴的關(guān)系。如對(duì)于高新技術(shù)企業(yè)產(chǎn)出而言,研究人力和研究經(jīng)費(fèi)投入是企業(yè)持續(xù)發(fā)展的基本動(dòng)力,兩者之間有著密不可分的交互關(guān)系；對(duì)于研究人力投入而言,其對(duì)企業(yè)產(chǎn)值的影響依賴研究經(jīng)費(fèi)的持續(xù)投入來(lái)保障研究人員的全身心投入;對(duì)于研究經(jīng)費(fèi)投入而言,其對(duì)企業(yè)產(chǎn)值的影響受到研究人員的調(diào)控。再如,CO2的排放量受到GDP增長(zhǎng)和能源使用量的影響,一方面GDP的增長(zhǎng)受能源使用量的制約,另一方面能源使用量的需求來(lái)源于GDP的增長(zhǎng),兩者之間有著相互調(diào)控的作用,這類實(shí)例在經(jīng)濟(jì)生活中還有很多。因此,兩者之間的交互關(guān)系需要引入模型的構(gòu)建當(dāng)中去。本文在對(duì)傳統(tǒng)多變量模型基本原理研究的基礎(chǔ)上,不僅考慮各影響因素的獨(dú)立作用效果,還將它們之間的交互作用項(xiàng)引入模型構(gòu)建當(dāng)中去,針對(duì)不同數(shù)據(jù)特征,構(gòu)建基于交互作用的GM(1,N)模型,最后通過(guò)案例說(shuō)明本文建模的有效性。

1 傳統(tǒng)GM(1,N)缺陷分析及交互作用內(nèi)涵

1.1 傳統(tǒng)GM(1,N)模型構(gòu)建及缺陷分析

(1)

(2)

則參數(shù)列的最小二乘法估計(jì)滿足:

證畢

1.2 交互作用的內(nèi)涵

交互作用,反應(yīng)的是兩個(gè)或兩個(gè)以上影響因素變量之間相互依賴、相互制約,共同對(duì)主系統(tǒng)變量的變化產(chǎn)生影響。當(dāng)某影響因素對(duì)系統(tǒng)行為的作用效應(yīng)的大小會(huì)因另一個(gè)影響因素的水平不同而有所差異時(shí),則表示兩個(gè)影響因素之間存在交互作用。常用的處理交互作用的方法是使用乘積項(xiàng),可以通過(guò)以下簡(jiǎn)單的代數(shù)方程展現(xiàn)交互項(xiàng)的內(nèi)在邏輯。若E(X1)表示系統(tǒng)行為特征序列,驅(qū)動(dòng)因素用X2,X3表示,則傳統(tǒng)獨(dú)立的雙因素灰色預(yù)測(cè)模型可以表示為

E(X1)=β1X2+β2X3+β4

(3)

如果驅(qū)動(dòng)因素X2對(duì)系統(tǒng)的影響通過(guò)式(3)中的驅(qū)動(dòng)系數(shù)β1來(lái)反映,且被認(rèn)為驅(qū)動(dòng)因素X3在X2對(duì)系統(tǒng)行為施加影響時(shí)有調(diào)節(jié)作用,那么當(dāng)X2發(fā)生變化時(shí),β1的取值也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的變化,通常情況下用線性方程說(shuō)明X3對(duì)β1產(chǎn)生的影響,即β1=β3X3+α,則將該式代入式(3)并變形后,可得到包含乘積項(xiàng)的交互作用模型，即

E(X1)=β1X2+β2X3+β3X2X3+β4

(4)

式中,E(X1)表示系統(tǒng)行為特征序列,β3X2X3為交互作用項(xiàng)。當(dāng)交互作用項(xiàng)為零時(shí),表明X2和X3獨(dú)立對(duì)系統(tǒng)行為序列產(chǎn)生影響,兩影響因素不存在交互作用,反之則存在交互作用,如圖1所示。

圖1 兩因素的交互作用示意圖Fig.1 Schematic diagram of interaction between two factors

由圖1可知，上述邏輯闡述過(guò)程過(guò)于簡(jiǎn)單,因?yàn)槠渌愋偷慕换ツＰ蜁?huì)產(chǎn)生同樣的方程,而其他類型的交互模型可以從不同的交互方程中演化而來(lái)。在此,本文僅給讀者提供乘積項(xiàng)表示交互作用的背后邏輯,反映兩個(gè)驅(qū)動(dòng)因素間的雙向線性調(diào)節(jié)作用。當(dāng)然,在實(shí)際應(yīng)用中,涉及驅(qū)動(dòng)因素變量的可能函數(shù)關(guān)系也可能是非線性的,理想的函數(shù)形式應(yīng)當(dāng)通過(guò)數(shù)據(jù)分析驅(qū)動(dòng)因素間的內(nèi)在調(diào)節(jié)機(jī)理,構(gòu)建適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)方程來(lái)反映因素間的交互關(guān)系對(duì)主系統(tǒng)行為的影響。

另外,也可能會(huì)存在3個(gè)及以上驅(qū)動(dòng)因素間存在交互影響關(guān)系,需要進(jìn)一步提煉交互驅(qū)動(dòng)項(xiàng)。3個(gè)及以上驅(qū)動(dòng)因素間的交互關(guān)系,除了兩兩因素間的雙向交互作用,還存在三向交互作用,甚至多向交互作用,此類交互項(xiàng)形式往往可使用乘積項(xiàng)的多項(xiàng)式表示。以三向交互作用為例,其交互形式為

E(X1)=β1X2+β2X3+β3X3+β4X2X3+

β5X3X4+β6X2X4+β7X2X3X4+β8

(5)

可見(jiàn),三因素間的交互作用更加復(fù)雜,包括主效應(yīng)、雙向交互作用和三向交互作用,分別由3個(gè)驅(qū)動(dòng)因素自身(X2,X3,X4)、成對(duì)項(xiàng)(X2X3,X3X4,X2X4)、共同的乘積項(xiàng)(X2X3X4)表示。三向交互作用的顯著性主要由共同乘積項(xiàng)體現(xiàn),若β7=0,則不存在三向交互作用,該模型則退化為上文中的雙向交互作用模型。對(duì)于4個(gè)及以上因素的交互作用,采用類似的推理方式,模型結(jié)構(gòu)形式將更加復(fù)雜。

對(duì)于交互作用的識(shí)別,在經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)學(xué)研究里,交互作用的識(shí)別是通過(guò)F檢驗(yàn)或者標(biāo)準(zhǔn)t檢驗(yàn)來(lái)推斷兩影響因素間的交互效應(yīng)是否顯著,進(jìn)而判斷是否需要引入交互作用項(xiàng),而統(tǒng)計(jì)建模的最大特點(diǎn)就是大樣本大數(shù)據(jù),這一點(diǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中存在的“貧信息,小樣本”數(shù)據(jù)類型則不太適用。因此,本文依據(jù)交互作用的現(xiàn)實(shí)含義,通過(guò)專家經(jīng)驗(yàn)分析并利用灰色系統(tǒng)理論中的灰色關(guān)聯(lián)分析方法對(duì)兩個(gè)相關(guān)因素間的邏輯關(guān)系加以研究,確定驅(qū)動(dòng)因素間是否存在交互作用關(guān)系。

2 基于交互作用的IEGM(1,N)模型構(gòu)建及參數(shù)求解

2.1 基于交互作用的IEGM(1,N)模型構(gòu)建

為了能夠有效解決傳統(tǒng)模型沒(méi)有考慮交互作用項(xiàng)的缺陷,將影響因素的交互作用項(xiàng)引入經(jīng)典GM(1,N)模型的灰作用量,構(gòu)建基于交互作用的IEGM(1,N)(interaction effect grey model ofNvariables)模型及其拓展模型,以反映不同輸入變量間的交互作用關(guān)系對(duì)系統(tǒng)行為變量的影響,并通過(guò)江蘇省高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值的案例分析,驗(yàn)證本文模型的有效性和實(shí)用性。

(6)

為基于交互作用的GM(1,N)模型,記為IEGM(1,N)

(7)

為IEGM(1,N)模型的白化微分方程。

則參數(shù)列的最小二乘法估計(jì)滿足:

證畢

在估計(jì)出參數(shù)列之后,可以參照文獻(xiàn)[1]中GM(1,N)求解過(guò)程,對(duì)IEGM(1,N)模型進(jìn)行求解,便可得到以下求解步驟。

(1) 白化方程(7)的解為

(8)

(2) 當(dāng)驅(qū)動(dòng)項(xiàng)及交互項(xiàng)變化幅度很小時(shí),可視驅(qū)動(dòng)項(xiàng)和交互項(xiàng)為灰常量,則IEGM(1,N)模型的近似時(shí)間響應(yīng)式為

(9)

(3) 累減還原式為

(10)

(4) IEGM(1,N)差分模擬式為

(11)

證明(1)由白化微分方程(7)可得通解公式為

(12)

(13)

再將式(13)代入式(12)便可得到式(9),定理得證。

證畢

式(2)～式(4)將驅(qū)動(dòng)項(xiàng)和交互項(xiàng)看作灰常量,類似看成是GM(1,1)模型證明過(guò)程便可得證。

定理2和定理3分別給出了IEGM(1,N)模型參數(shù)估計(jì)和模擬值計(jì)算公式,當(dāng)主系統(tǒng)行為和驅(qū)動(dòng)因素交互項(xiàng)作用機(jī)制已知時(shí),便可通過(guò)上述定理進(jìn)行計(jì)算。

2.2 基于交互作用的IEGM(1,N)模型的拓展模型

其中

(14)

其中

(15)

證明由定理4和定理5的證明過(guò)程可知,這3種模型均是在經(jīng)典建模的基礎(chǔ)上,代入背景值和累減還原公式進(jìn)行化簡(jiǎn)得到,它們之間可以相互轉(zhuǎn)化推導(dǎo),因此是等價(jià)的。

3 案例分析

高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)是提升國(guó)家創(chuàng)新能力的重要載體,是國(guó)家之間經(jīng)濟(jì)、科技競(jìng)爭(zhēng)的制高點(diǎn),代表了國(guó)家未來(lái)技術(shù)與產(chǎn)業(yè)的發(fā)展方向。從高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)本身來(lái)看,人力投入和經(jīng)費(fèi)投入是創(chuàng)新產(chǎn)出的重要影響因素,它們之間相互影響、相互制約。在人力資本投入方面,科技人才是高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)持續(xù)發(fā)展的基本動(dòng)力,擁有高質(zhì)量的科技人才和高規(guī)模的人力投入,才能保證企業(yè)研發(fā)創(chuàng)新活動(dòng)的高效持續(xù)進(jìn)行,進(jìn)而提升企業(yè)創(chuàng)新產(chǎn)出,而人才投入多少,對(duì)產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值貢獻(xiàn)度的大小受到資金投入的調(diào)節(jié)作用。在資金投入方面,研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入能夠反映高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)研發(fā)創(chuàng)新的基礎(chǔ)能力和潛在產(chǎn)出,并為高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)研發(fā)創(chuàng)新活動(dòng)的順利完成提供基礎(chǔ)保障,但資金效益的產(chǎn)生依賴人才優(yōu)勢(shì)的發(fā)揮。因此,從經(jīng)驗(yàn)分析角度看,增加和合理利用科技人員和研發(fā)經(jīng)費(fèi),明晰兩者間的交互作用關(guān)系,會(huì)直接促進(jìn)高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值的增加,提升高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)的創(chuàng)新產(chǎn)出。

為了能驗(yàn)證本文模型在實(shí)際應(yīng)用中的有效性,擬通過(guò)多種模型的對(duì)比分析,對(duì)江蘇省高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。江蘇省十分重視高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展,近些年對(duì)該產(chǎn)業(yè)的發(fā)展投入了大量的精力,主要包括科技人員投入和研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入。在變量選擇方面,本文以我國(guó)高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為產(chǎn)出指標(biāo)(系統(tǒng)行為變量),以科技活動(dòng)人員數(shù)(萬(wàn)人)和研發(fā)經(jīng)費(fèi)內(nèi)部支出(億元)為投入指標(biāo)(驅(qū)動(dòng)因素變量),2005-2015年這3個(gè)指標(biāo)的數(shù)據(jù)如表1所示，其數(shù)據(jù)來(lái)源于江蘇省統(tǒng)計(jì)年鑒和2015年江蘇省高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)主要數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)公報(bào)。

表1 江蘇省高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值及影響因素

為了避免不同數(shù)量級(jí)、量綱給模型帶來(lái)病態(tài)性誤差,本文將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行初值化,并在現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上,計(jì)算出3種變量的增長(zhǎng)速度,結(jié)果如表2所示。

由表3中4種模型計(jì)算結(jié)果可知,傳統(tǒng)GM(1,N)的平均相對(duì)誤差高達(dá)33.01%,其兩步外推誤差也高達(dá)25.71%,已經(jīng)基本失去模擬和預(yù)測(cè)的意義。產(chǎn)生那么大誤差的主要原因是驅(qū)動(dòng)因素變化幅度較大,不滿足作為灰常量的建?；A(chǔ),而且該模型沒(méi)有考慮到人員投入與資金投入之間的交互作用關(guān)系,因此傳統(tǒng)模型模擬和預(yù)測(cè)效果不理想。為了作為參照,本文還將GM(1,1)模型用于高新技術(shù)產(chǎn)值的單變量建模,基于模擬效果還不錯(cuò),誤差為6.25%,但是不能保證具有較好的外推效果,兩步外推平均誤差高達(dá)27.51%,主要是因?yàn)镚M(1,1)僅適用于低速增長(zhǎng)的準(zhǔn)指數(shù)序列建模,對(duì)于波動(dòng)增長(zhǎng)序列建模效果較差。

表2 各變量初值化后的數(shù)值增長(zhǎng)速度

表3 各種模型模擬和預(yù)測(cè)結(jié)果

則關(guān)聯(lián)度計(jì)算公式為

4 結(jié) 論

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