吳晨曦, 張 旻, 王可人

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院, 安徽 合肥 230037)

0 引 言

波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)估計是陣列信號處理研究的重要內(nèi)容,在雷達(dá)、無線通信以及電子對抗等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。常規(guī)的空間譜估計方法[1-2]均是在背景噪聲為高斯白噪聲假設(shè)下進行研究的。然而在實際應(yīng)用中,由于天線陣列未得到校準(zhǔn)、接收信道的硬件差異以及非期望干擾等因素的存在,統(tǒng)計特性未知的相關(guān)色噪聲會常常出現(xiàn)。當(dāng)實際噪聲模型不滿足高斯白噪聲時,傳統(tǒng)的高分率方法的性能惡化,導(dǎo)致估計偏差增大、角度分辨率下降等。一般情況下,相關(guān)色噪聲的協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)未知,但在某些特定情況下,可近似將相關(guān)色噪聲進一步簡化,如稀疏陣列,即假定各陣元間的噪聲是不相關(guān)的空間白噪聲,噪聲只對陣列協(xié)方差矩陣主對角線上的元素有貢獻,噪聲協(xié)方差矩陣為一對角陣,但各陣元的噪聲功率不相等,且各陣元噪聲不相關(guān),稱為非均勻噪聲[3-4]。

針對非均勻白噪聲背景下的DOA估計問題近年來也受到廣泛的關(guān)注[3-13],其主要思路是在某些限制條件下(如需要知道部分噪聲信息、陣元數(shù)要大于信號數(shù)的3倍等)對噪聲協(xié)方差矩陣進行估計并進行白化處理后,基于子空間算法獲得信號的DOA信息。文獻[12]針對相干信號,提出了基于空間平滑的DOA估計方法,首先通過迭代運算得到噪聲協(xié)方差矩陣,消除噪聲對陣列協(xié)方差矩陣的影響,然后利用空間平滑技術(shù)恢復(fù)協(xié)方差矩陣的秩,最后利用子空間方法實現(xiàn)DOA估計。文獻[13]首先通過求和平均運算消除噪聲對接收數(shù)據(jù)的影響,然后提出基于加權(quán)L1范數(shù)稀疏重構(gòu)方法實現(xiàn)DOA估計。該方法的優(yōu)點在于無需估計噪聲協(xié)方差矩陣和預(yù)先知道入射信號數(shù)。然而這些方法往往犧牲了巨大的陣列孔徑,使得信號環(huán)境必須要滿足超定條件(即信號個數(shù)要少于陣元數(shù)),隨著現(xiàn)代電磁環(huán)境的日益復(fù)雜,輻射源多、分布密度廣,這一條件并不一定得到滿足,欠定(信號數(shù)多于陣元數(shù))DOA估計問題越來越常見。因此,針對非均勻噪聲下欠定DOA估計問題的研究具有重要的現(xiàn)實意義。

最近,為了提高陣列利用率,嵌套陣列[14]及互質(zhì)陣列[15]作為新型的稀疏陣列技術(shù)被提出,為解決欠定DOA估計問題提供了嶄新的思路,其具有易于構(gòu)造、陣列擴展性好、物理陣元和虛擬陣元具有解析表達(dá)式等優(yōu)點受到廣泛關(guān)注和研究[16-23]。文獻[22]結(jié)合嵌套陣列提出基于協(xié)方差矩陣稀疏重構(gòu)的DOA估計方法,該方法首先對協(xié)方差矩陣進行預(yù)白化處理以消除非均勻噪聲的影響,然后將其轉(zhuǎn)化為基于L1范數(shù)的稀疏重構(gòu)問題進行求解,其缺點在于所有未知的入射信號DOA必須準(zhǔn)確位于事先劃分好的離散字典網(wǎng)格上,而實際情況下該條件并不一定滿足。當(dāng)入射信號的DOA未準(zhǔn)確落在字典網(wǎng)格上即存在網(wǎng)格失配問題時,算法的估計性能會急劇下降。另一方面,雖然更密集的網(wǎng)格有助于減小重構(gòu)誤差提高估計精度,但過度密集的字典網(wǎng)格會使得字典的原子相關(guān)性顯著增加,不能保證字典滿足約束等容條件(restricted isometry property, RIP)[24]。

針對上述問題,本文以互質(zhì)陣列為基礎(chǔ)研究了基于全變分范數(shù)最小化的DOA估計方法,用于解決非均勻噪聲背景下的欠定DOA估計問題。相對現(xiàn)有方法,該方法并不需要進行預(yù)白化處理,通過在代價函數(shù)中利用全變分范數(shù)和L1范數(shù)懲罰項分別對角度的稀疏性和噪聲項進行約束,有效避免了傳統(tǒng)稀疏重構(gòu)DOA估計方法中由于角度離散化所導(dǎo)致的模型不匹配對估計性能的影響。

1 互質(zhì)陣列模型

互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示,其由兩個不同陣元間距的均勻線陣組成。其中,子陣1的陣元數(shù)為N,間距為Md;子陣2的陣元數(shù)為2M,間距為Nd。以子陣1的第1個陣元為參考陣元,則總陣元數(shù)為2M+N-1,陣元位置集合為

U={nMd,n=0,1,…,N-1}∪

{mNd,m=1,2,…,2M-1}

圖1 互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure of coprime array

假設(shè)K個遠(yuǎn)場窄帶平面波信號分別以[θ1,θ2,…,θK]入射到該互質(zhì)陣列上,t時刻陣列接收數(shù)據(jù)可表示為

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(1)

式中,X(t)=[x1(t),x2(t),…,x2M+N-1(t)]T為陣列輸出數(shù)據(jù)向量;N(t)=[n1(t),n2(t),…,n2M+N-1(t)]T為噪聲向量;信號向量為S(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T;A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]為(2M+N-1)×K維的陣列流型矩陣,其中a(θi)=[1,e-j2πMdsinθi/λ,…,e-j2π(2M-1)Ndsinθi/λ]T為入射角θi的導(dǎo)向矢量,λ為入射信號波長。

假設(shè)各入射信號之間互不相關(guān),則協(xié)方差矩陣可表示為

R=E[X(t)XH(t)]=ARsAH+Q

(2)

2 非均勻噪聲下的欠定DOA估計

2.1 基于差聯(lián)合陣列的數(shù)據(jù)預(yù)處理

首先給出差聯(lián)合陣列的概念[25],定義集合D為

D={xi-xj},xi,xj∈U

(3)

式中,U表示陣元的位置集合;xi,xj表示不同陣元的位置。D表示所有陣元位置差所構(gòu)成的集合,由于集合D中會存在相同的元素,定義集合D中不同的元素所構(gòu)成的集合為差聯(lián)合陣列,記為Du。 集合Du中元素du在集合D中出現(xiàn)的次數(shù)定義為權(quán)重系數(shù)w(du),差聯(lián)合陣列Du中是正數(shù)的元素數(shù)目為陣列可提供的自由度,其直接決定了最多可估計信號數(shù)。

由于差聯(lián)合陣列與陣列可得到的波程差是一一對應(yīng)的。因此,可根據(jù)差聯(lián)合中虛擬陣元的分布情況來構(gòu)造出擴展的虛擬均勻線陣輸出數(shù)據(jù)。對于如圖1所示的互質(zhì)陣列,當(dāng)背景噪聲為非均勻噪聲時,陣列輸出協(xié)方差矩陣RCPA具體可表示為

(4)

式中,O1=πMsinθk;Ω1=π(2MN-M-N)sinθk;Ψ1=π(2MN-M-N)sinθk;R(du)=R(xi-xj)表示波程差,每個波程差du所對應(yīng)的元素個數(shù)為w(du)。

(5)

式中,Ri(du)表示波程差du所對應(yīng)的所有元素中的第i個元素。

由差聯(lián)合陣列的定義可知,互質(zhì)陣列的連續(xù)差聯(lián)合陣列為

{-MNd,-(MN-1)d,…,-d,0,

d,…,(MN-1)d,MNd}

(6)

因此,可利用存在的波程差信息構(gòu)造與連續(xù)差聯(lián)合陣列相對應(yīng)的均勻線陣輸出向量Z表示為

(7)

(8)

Z=ΦS+w

(9)

式中,w表示(2MN+1)×1維稀疏向量,其除了第(MN+1)元素外其余元素均為0；Φ為(2MN+1)×K維虛擬陣列流型矩陣,其導(dǎo)向矢量為

(10)

通過上述的預(yù)處理操作,陣列自由度得到了增加。利用2M+N-1個陣元能得到MN個陣列自由度,因此最多可同時對MN個信號進行DOA估計。

2.2 基于全變分范數(shù)最小化的DOA估計方法

對于式(9),可將其看作單快拍DOA估計問題,目前主流的方法是基于稀疏重構(gòu)的思想進行求解。然而傳統(tǒng)稀疏重構(gòu)方法都是直接采用在l2空間的范數(shù)來度量稀疏參數(shù),需要進行離散化處理來構(gòu)造完備字典,這就不可避免會存在模型不匹配問題。要從根本上解決模型不匹配問題,最好的方法是采用連續(xù)建模法,即在對稀疏域建模時直接采用連續(xù)處理的方法而不對稀疏域進行離散化。本文引入全變分范數(shù)[26-27]用于DOA估計, 將范數(shù)定義在連續(xù)空間內(nèi)從根本上解決模型不匹配問題,提高了估計精度和分辨性能。

首先給出全變分范數(shù)‖‖TV的定義,對于一個復(fù)測量數(shù)據(jù)s, 其全變分范數(shù)‖s‖TV可定義為

(11)

式中,sup表示取上確界;Bj表示集合[0,1]中不交連可測量的子集。

進一步對式(9)兩邊同乘以e-j2πnd/λ,同時令τk=d(1-sin(θk))/λ∈[0,1],可得

e-j2πnd/λw(n)=

(12)

式中,n=-MN,-MN+1,…,MN-1,MN。式(12)的矩陣形式可表示為

r=Fs+n

(13)

式中,Fm,n=e-j2πm τn;n為一個稀疏的噪聲向量；r=[r(-MN),…,r(MN)]T；s=s(τ),0≤τ≤1,s(τ)在連續(xù)域上可表示為

(14)

為了實現(xiàn)對s(τ)的精確估計,構(gòu)建一個代價函數(shù),分別利用全變分范數(shù)和L1范數(shù)懲罰項對角度和噪聲項進行約束,即

(15)

式中,η是權(quán)衡TV范數(shù)和L1范數(shù)項的正則化參數(shù)。

對于式(15)的優(yōu)化問題,其原始變量是無窮維的,直接求解是十分困難的。這里,考慮利用其對偶性將其轉(zhuǎn)化為易解的半正定規(guī)劃問題,最后通過其對偶解得到原始變量的解。其對應(yīng)的對偶形式為

s.t. ‖F(xiàn)Hc‖∞≤1, ‖c‖∞≤η

(16)

式中,對偶變量c是有限維的,但約束條件是無限維的仍不能直接求解。幸運的是第一個約束條件可利用有限維線性矩陣不等式進行替代。因此,進一步可轉(zhuǎn)換成半正定規(guī)劃問題進行求解,即

(17)

通過上述的求解過程可知,本文方法通過利用全變分范數(shù)巧妙解決了傳統(tǒng)稀疏重構(gòu)DOA估計算法中模型不匹配和約束等容條件之間的矛盾問題,無需在兩者之間采取折衷的辦法,從而提高了估計精度。

3 仿真實驗與分析

本節(jié)中將通過仿真實驗對本文方法的估計性能進行驗證,并與文獻[14]的SS-MUSIC方法以及文獻[22]的L1-CSPR方法進行比較。選用互質(zhì)陣列作為接收陣列,陣元數(shù)為10,其中，M=3,N=5。背景噪聲為非均勻噪聲,信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)定義為

(18)

實驗中以均方根誤差(root mean square error, RMSE)作為算法性能評價標(biāo)準(zhǔn),DOA估計的RMSE定義為

(19)

3.1 可行性分析

為驗證本文方法對欠定條件下DOA估計的有效性,假設(shè)15個等功率信號入射到互質(zhì)陣列上,波達(dá)方向分別為[-62.57°,-49.68°,-39.24°,-30.63°,-22.45°,-14.79°,-7.61°,-0.26°,6.93°,13.97°, -21.67°,29.81°,38.37°,48.19°,60.51°],實驗中所使用的快拍數(shù)L=500,信噪比SNR=10 dB,3種方法的估計結(jié)果如圖2所示。

圖2 3種方法的估計結(jié)果比較Fig.2 Comparison of the results of three methods

由圖2的實驗結(jié)果可知,在不超過陣列自由度的條件下,本文方法與L1-CSPR方法依然具有良好的估計效果,而SS-MUSIC方法的估計效果不佳,甚至?xí)霈F(xiàn)個別信號DOA估計錯誤的情況,這是因為非均勻噪聲的存在影響了信號子空間與噪聲子空間的正確分離,從而導(dǎo)致估計效果不佳。

3.2 估計精度分析

本實驗條件與實驗1相同,分析信噪比、快拍數(shù)對3種方法估計精度的影響。對于L1-CSPR方法,Δ為完備字典的間隔,分別取1°、0.5°、0.2°,對于SS-MUSIC方法,其角度搜索間隔為0.1。每個SNR、快拍數(shù)下進行500次蒙特卡羅實驗。圖3為快拍數(shù)為L=500,信噪比變化范圍為-8～8 dB時,步長為2時, 3種方法的RMSE隨SNR變化曲線;圖4為SNR=0 dB,快拍數(shù)變化范圍為100～600時,步長為100時,3種方法的均方根誤差隨快拍數(shù)變化曲線。

圖3 RMSE隨SNR變化曲線Fig.3 RMSE versus different SNR

圖4 RMSE隨快拍數(shù)變化曲線Fig.4 RMSE versus different snapshot number

由圖3和圖4的實驗結(jié)果可知,L1-CSPR方法的估計精度與完備字典的間隔有著直接的關(guān)系,當(dāng)完備字典的間隔較大時,入射信號的DOA與完備字典之間不匹配,導(dǎo)致估計性能明顯下降,隨著完備字典間隔的減少,估計精度隨之增加。而本文方法在整個角度域?qū)OA進行估計,無需構(gòu)造完備字典,有效避免了模型不匹配對估計精度的影響。在相同的實驗條件下,本文方法的估計精度要高于L1-CSPR和SS-MUSIC方法,尤其在低信噪比、少快拍數(shù)情況下更明顯。

3.3 分辨概率分析

圖5 成功分辨概率隨SNR變化曲線Fig.5 Successful resolution probability versus SNR

由圖5的實驗結(jié)果可知,在一定的SNR范圍內(nèi),3種方法成功分辨概率均隨著SNR的增加而增大。當(dāng)SNR>0 dB時,3種方法的分辨成功概率都達(dá)到100%。在低SNR條件下,本文方法的成功分辨概率要高于L1-CSPR方法和SS-MUSIC方法。

3.4 運算時間比較

本實驗條件與實驗1相同,將本文方法與L1-CSPR方法、SS-MUSIC方法的運算時間進行比較。L1-CSPR方法的完備字典間隔為0.1°,SS-MUSIC方法的角度搜索間隔為0.1°。仿真環(huán)境:Matlab 8.1平臺,英特爾 i7處理器,8 GB內(nèi)存。具體實驗結(jié)果如圖6所示。

圖6 運算時間比較Fig.6 Comparison of calculation time

由圖6的實驗結(jié)果可知,本文方法的運算時間處于L1-CSPR方法與SS-MUSIC方法之間,然而考慮到其在估計精度以及分辨力等方面的良好性能,這種運算性能的損失是可以接受的。

4 結(jié) 論

本文以互質(zhì)陣列為基礎(chǔ)研究了基于全變分范數(shù)最小化的DOA方法,用于解決非均勻噪聲背景下的欠定DOA估計問題。理論分析與仿真實驗表明,該方法具有良好的陣列擴展特性,利用2M+N-1個陣元最多可同時對MN個信號進行DOA估計。相對于現(xiàn)有方法,該方法無需進行預(yù)白化處理,同時在連續(xù)角度域?qū)OA進行估計,有效避免了傳統(tǒng)稀疏重構(gòu)算法中由于角度域離散化所導(dǎo)致的模型失配問題對估計性能的影響,提高了估計精度和分辨性能。

[1] SCHMIDT R O. Multiple emitter location and signal parameters estimation[J]. IEEE Trans.on Antennas and Propagation, 1986, 34(3):267-280.

[2] ROY R, KAILATH T. RSPRIT-estimation of signal parameters via rotational invariance techniques[J]. IEEE Trans.on Antennas and Propagation, 1989, 37(3):984-995.

[3] PESAVENTO M, GERSHMAN A M. Maximum likelihood direction of arrival estimation in the presence of unknown nonuniform noise[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2001, 49(7):1310-1324.

[4] QI C Y, CHEN Z J, WANG Y L, et al. DOA estimation for coherent sources in unknown nonuniform noise fields[J]. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems, 2007, 43(3):1195-1204.

[5] CHIAO E C, LORENZELLI F, KUNG Y. Stochastic maximum likelihood DOA estimation in the presence of unknown nonuniform noise[J].IEEE Trans.on Signal Processing, 2008, 56(7):3038-3044.

[6] 劉國紅,孫曉穎,王波.非均勻噪聲下頻率及二維到達(dá)角的聯(lián)合估計[J].電子學(xué)報,2011, 39(10): 2427-2430.

LIU G H, SUN X Y, WANG B. Joint estimation for frequency and 2-D DOA in nonuniform noise[J]. Acta Electronica Sinica, 2011, 39(10):2427-2430.

[7] 潘婕,周建江,汪飛.非均勻噪聲稀疏均勻圓陣的二維DOA估計[J].航空學(xué)報,2011, 32(3): 448-456.

PAN J, ZHOU J J, WANG F. 2-D DOA estimation for sparse uniform circular array in presence of unknown noise[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2011, 32(3):448-456.

[8] SEGHOUANE A K. A Kullback-Leibler methodology for unconditional ML DOA estimation in unknown nonuniform noise[J]. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems, 2011, 47(4): 3012-3021.

[9] GONCHAROVA A A, WEBER R J, HUANG Y. Sparse array DOA estimation in the presence of unknown non-uniform noise[C]∥Proc.of the IEEE Aerospace Conference, 2011:1-8.

[10] YANG P, LIU Z, JIANG W L. Improved sparse Bayesian learning method for direction-of-arrival estimation in non-uniform noise[J]. Journal of Electromagnetic Waves and Applications, 2014, 28(5): 563-573.

[11] LIAO B, HUANG L, CHAN S C. New approaches to direction of arrival estimation with sensor arrays in unknown nonuniform noise[J].IEEE Sensor Journal,2016,16(24):8982-8989.

[12] JUN W, BIN L, CHONG T G. Spatial smoothing based methods for direction of arrival estimation of coherent signals in nonuniform noise[J]. Digital Signal Processing, 2017, 67: 116-122.

[13] TIAN Y, SUN X. DOA estimation in the presence of unknown nonuniform noise without knowing the number of sources[J]. International Journal of Electronics Letters,2016,4(1):108-116.

[14] PAL P, VAIDYANATHAN P P. Nested arrays: a novel approach to array processing with enhanced degrees of freedom[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2010, 58(8): 4167-4181.

[15] VAIDYANATHAN P P, PAL P. Sparse sensing with co-prime samplers and array[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2011, 59(2):573-586.

[16] LIU C L, VAIDYANATHAN P P. Remarks on the spatial smoothing step in coarray MUSIC[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2015, 22(9): 1438-1442.

[17] WENG Z, DJURIC P M. A search-free DOA estimation algorithm for coprime arrays[J]. Digital Signal Processing, 2014, 24(1): 27-33.

[18] ZHANG Y D, QIN S. AMIN M G. DOA estimation exploiting coprime arrays with sparse sensor spacing[C]∥Proc.of the IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, 2014: 2267-2271.

[19] QIN S, ZHANG Y D, AMIN M G. Generalized coprime array configurations for direction-of-arrival estimation[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2015, 63(6): 1377-1390.

[20] HE Z Q, SHI Z P, HUANG L, et al. Underdetermined DOA estimation for wideband signals using robust sparse covariance fitting[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2015, 22(4): 435-439.

[21] TAN Z, NEHORAI A. Sparse direction of arrival estimation using co-prime arrays with off-grid targets[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2014, 21(1): 26-29.

[22] HE Z Q, SHI Z P, HUANG L. Covariance sparsity-aware DOA estimation for nonuniform noise[J]. Digital Signal Processing, 2014, 28: 75-81.

[23] PAL P, VAIDYANTHAN P P. Pushing the limits of sparse support recovery using correlation information[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2015, 63(3): 711-726.

[24] CHI Y, SCHARF L L, PEZESHKI A. Sensitivity to basis mismatch in compressed sensing[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2011, 59(5): 2182-2195.

[25] HOCTOR R T, KASSAM S A. The unifying role of the coarray in aperture synthesis for coherent and incoherent and imaging[J]. Proceedings of the IEEE, 1990, 12(10):735-752.

[28] GRANT M, BOYD S. CVX: Matlab software for disciplined convex programming, version 2.0 beta.[EB/OL].[2016-11-03]. http:∥cvxr.com/cvx.