劉 帆, 李正文, 種 洋

(1.61365部隊(duì)，天津 300140；2.61206部隊(duì)，北京 100042;3.信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，鄭州 450001;4.地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710054 5.海軍工程大學(xué) 導(dǎo)航工程系，武漢 430033)

0 引言

位場(chǎng)向下延拓是航空重力和磁力測(cè)量數(shù)據(jù)處理的重要技術(shù)，向下延拓能夠突出局部場(chǎng)源，以此提高異常解釋的可靠性；向下延拓也可用于構(gòu)建高精度的空間地磁數(shù)據(jù)庫(kù)以滿足高精度地磁導(dǎo)航的需求。通常在空間域上的位場(chǎng)延拓算法面臨著大型矩陣存儲(chǔ)和運(yùn)算困難的問(wèn)題，因?yàn)榻柚鶩FT(快速傅里葉變換)的頻域延拓算法具有計(jì)算快速和處理格網(wǎng)數(shù)據(jù)方便的優(yōu)勢(shì)[1]，所以頻率域上的向下延拓方法一直是研究熱點(diǎn)。2006年徐世浙[2]院士提出了積分迭代法，此法實(shí)現(xiàn)了大深度的位場(chǎng)向下延拓；劉東甲[3]將徐世浙的空間域迭代方法推廣至波數(shù)域，得到了波數(shù)域迭代法。由于向下延拓問(wèn)題是一個(gè)不適定問(wèn)題，下延算子會(huì)放大觀測(cè)數(shù)據(jù)中的高頻噪聲； Tikhonov[4]于上世紀(jì)60年代使用正則化方法給出了穩(wěn)定的向下延拓頻率響應(yīng)；梁錦文[5]從四種頻率響應(yīng)的分析中得出了合適的頻率響應(yīng)公式。如今，反問(wèn)題的正則化解法被廣泛應(yīng)用于位場(chǎng)的向下延拓，其延拓精度要優(yōu)于絕大多數(shù)的延拓方法，但是正則化方法的實(shí)施難點(diǎn)在于正則化參數(shù)的確定，并且正則化參數(shù)對(duì)延拓精度有很大的影響。目前有關(guān)正則化參數(shù)確定方法的研究較少，馬濤等[6]研究了基于L曲線法的位場(chǎng)下延正則化參數(shù)的選取問(wèn)題；劉曉剛等[7]研究了重磁數(shù)據(jù)下延中的最優(yōu)正則化參數(shù)確定方法；曾小牛[8]提出了基于徑向譜的位場(chǎng)向下延拓正則參數(shù)選取方法。

正則化參數(shù)的選取方法大致分為先驗(yàn)選取和后驗(yàn)選取兩大類，先驗(yàn)策略難以在實(shí)際應(yīng)用中檢驗(yàn)其成立的條件，因而確定正則化參數(shù)的后驗(yàn)策略研究具有很大的實(shí)用意義，目前在位場(chǎng)延拓問(wèn)題的正則化求解中廣泛使用的后驗(yàn)策略有L曲線法、GCV法(廣義交叉驗(yàn)證法)、擬最優(yōu)準(zhǔn)則等。L曲線法是被普遍認(rèn)為比較可靠的方法，但是基于頻域的L曲線算法十分復(fù)雜；GCV法的計(jì)算比較方便快速，但由于將空間域中矩陣的求跡運(yùn)算轉(zhuǎn)換至頻域內(nèi)求解十分困難，所以GCV法在頻域中難以實(shí)施，其他的方法幾乎難以轉(zhuǎn)換至頻域內(nèi)實(shí)現(xiàn)。筆者借鑒GCV函數(shù)值的計(jì)算形式，提出一種在頻域內(nèi)可實(shí)施的參數(shù)選取方法，并分別通過(guò)仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的向下延拓實(shí)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明這種方法實(shí)用可行，且具有良好的延拓精度。

1 正則化參數(shù)選取方法

在向下延拓中u0(x,y)表示觀測(cè)面上的位場(chǎng)數(shù)據(jù)，uh(ε,η)表示延拓面上的位場(chǎng)數(shù)據(jù)，h為延拓深度，由位場(chǎng)向上延拓的表達(dá)式[9]，可以得到：

(1)

式(1)可表示為卷積方程式：

u0(x,y)=Kuh(x,y)

(2)

其中:K為第一類Fredholm積分算子，使用Tikhonov正則化迭代法時(shí)，式(2)的解為[10]：

(3)

(4)

在式(3)、式(4)中α取值較大會(huì)使擬合誤差過(guò)大，但α取值較小會(huì)使正則解過(guò)于接近原問(wèn)題的不適定解而發(fā)生震蕩，筆者使用L曲線法和一種新的方法來(lái)確定正則化參數(shù)，并比較使用這兩種參數(shù)選取方法的延拓精度。

1.1 頻率域的L曲線法

(5)

(6)

通常取L曲線的曲率最大點(diǎn)對(duì)應(yīng)的α作為最優(yōu)正則化參數(shù)，曲率計(jì)算公式如式(7)所示。

(7)

用一階差分和二階差分來(lái)代替函數(shù)ρ(α)、θ(α)的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)。為了快速計(jì)算出c(α)序列，把ρ(α)、θ(α)轉(zhuǎn)換到頻域進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，根據(jù)Parseval等式，這兩個(gè)函數(shù)的頻域計(jì)算式如下：

(8)

(9)

1.2 借鑒GCV法的構(gòu)造泛函法

(10)

式中：

Hα=K(KTK+αI)-1KT

(11)

(12)

則有：

(13)

=K(x,y)*K(x,y)

(14)

對(duì)式(14)兩端同時(shí)進(jìn)行傅里葉變換，得到：

Φ(u,v)Φ(u,v)Gα(u,v)+αGα(u,v)=

Φ(u,v)Φ(u,v)

(15)

(16)

(17)

對(duì)比L曲線法，從式(16)、式(17)中可以看到，由于Φ(u,v)很容易求得,所以Gα是容易得到的,并且式(17)遠(yuǎn)比式(7)的計(jì)算流程少，計(jì)算更加簡(jiǎn)潔、易于實(shí)現(xiàn)。式(17)既滿足了頻域計(jì)算要求,又兼顧了方便快速計(jì)算的優(yōu)點(diǎn),筆者使用式(17)計(jì)算得到的V(α)最小值對(duì)應(yīng)的α為最優(yōu)正則化參數(shù)，為了驗(yàn)證此方法的正確性，分別使用仿真磁異常數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)磁異常數(shù)據(jù)進(jìn)行了向下延拓實(shí)驗(yàn)(本文提出的參數(shù)選取方法為構(gòu)造泛函法)。構(gòu)造泛函法選取正則化參數(shù)求解位場(chǎng)向下延拓問(wèn)題的流程圖如圖1所示。

圖1 構(gòu)造泛函法用于正則化迭代法求解下延位場(chǎng)的流程Fig.1 The process for downward continuation using regularized iteration method with the constructing functional method

2 仿真數(shù)值實(shí)驗(yàn)

筆者使用球體磁異常正演模型生成仿真磁力測(cè)量數(shù)據(jù)[11]：

3x1z1sin 2IcosD+

3x1y1cos2Isin 2D-

3y1z1sin 2IsinD]

(18)

式中：取Z軸向上為正；μ0=4π×10-7H/m為真空導(dǎo)磁率；M為磁化強(qiáng)度；v為球體的體積；I為磁化傾角；D為磁化偏角；x1=x-x0、y1=y-y0、z1=z-z0；(x,y,z)是計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)；(x0,y0,z0)為模型球體的球心坐標(biāo)，實(shí)驗(yàn)所用球體磁異常正演模型參數(shù)見(jiàn)表1；分別生成高度為0m和100m的理論磁異常平面格網(wǎng)數(shù)據(jù)，每個(gè)平面上的格網(wǎng)間距為20m×20m,測(cè)點(diǎn)數(shù)88×88個(gè)，格網(wǎng)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性見(jiàn)表2，實(shí)驗(yàn)中在高度為100m的格網(wǎng)數(shù)據(jù)中加入了標(biāo)準(zhǔn)差為3nT的高斯白噪聲，然后將含噪聲的數(shù)據(jù)向下延拓5倍點(diǎn)距，最后將延拓結(jié)果與高度為0m的磁異常理論值相比較，用平均相對(duì)誤差(MRE)和均方根誤差(RMSE)來(lái)評(píng)價(jià)不同參數(shù)選取方法的延拓精度，各觀測(cè)面數(shù)據(jù)等值線見(jiàn)圖2。為了減小邊界效應(yīng)，在進(jìn)行延拓實(shí)驗(yàn)前，先對(duì)高度為100m含有噪聲的格網(wǎng)數(shù)據(jù)使用了區(qū)域場(chǎng)[13]擴(kuò)邊法進(jìn)行擴(kuò)邊處理，擴(kuò)邊點(diǎn)數(shù)為各方向20個(gè)，計(jì)算結(jié)束后再縮邊20點(diǎn)得到向下延拓結(jié)果。實(shí)驗(yàn)中分別使用了Tikhonov正則化迭代法和Landweber正則化迭代法進(jìn)行向下延拓，兩種迭代法的迭代次數(shù)均設(shè)置為20次，Tikhonov正則化迭代法中參數(shù)α是從首項(xiàng)α1為10-8、末項(xiàng)αN為1的等比數(shù)列中選取的，N=200；Landweber正則化迭代法中參數(shù)α是從首項(xiàng)α1為0.7、末項(xiàng)αN為2的等比數(shù)列中選取的，N=200；兩種迭代法都分別使用L曲線法和本文提出的方法選取最優(yōu)參數(shù)以做對(duì)照。

表1 球體磁異常模型參數(shù)

表2 不同高度面上理論磁異常數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

圖2 各觀測(cè)面上的磁異常理論值等值線圖Fig.2 The contour map of magnetic anomaly on each observation plane(a)z=0 m理論磁異常；(b)z=100 m理論磁異常；(c)z=100 m含噪聲理論磁異常

向下延拓精度統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表3，Tikhonov正則化迭代法延拓結(jié)果等值線圖的對(duì)比見(jiàn)圖3，Landweber正則化迭代法延拓結(jié)果等值線圖的對(duì)比見(jiàn)圖4。Tikhonov正則化迭代法延拓結(jié)果過(guò)異常中心的剖面對(duì)比見(jiàn)圖5(a)，Landweber正則化迭代法延拓結(jié)果過(guò)異常中心的剖面對(duì)比見(jiàn)圖5(b)。

為了進(jìn)一步比較和說(shuō)明各個(gè)方法所選參數(shù)的優(yōu)劣，統(tǒng)計(jì)了試驗(yàn)中兩種迭代法迭代20次所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)及其延拓精度(表4)。兩種迭代法中根據(jù)式(17)計(jì)算出的V(α)值與參數(shù)α對(duì)應(yīng)的關(guān)系曲線見(jiàn)圖6。

表3 仿真數(shù)值向下延拓實(shí)驗(yàn)精度統(tǒng)計(jì)

圖3 頻域Tikhonov正則化迭代法向下延拓結(jié)果等值線圖Fig.3 The contour map of Tikhonov regularization iterative method’s downward continuation results in frequency domain(a)最優(yōu)參數(shù)向下延拓結(jié)果；(b)L曲線法所選參數(shù)向下延拓結(jié)果;(c)構(gòu)造泛函數(shù)所選參數(shù)向下延拓結(jié)果

圖4 頻域Landweber正則化迭代法向下延拓結(jié)果等值線圖Fig.4 The contour map of Landweber regularization iterative method’s downward continuation results in frequency domain(a)最優(yōu)參數(shù)向下延拓結(jié)果；(b)L曲線法所選參數(shù)向下延拓結(jié)果;(c)構(gòu)造泛函數(shù)所選參數(shù)向下延拓結(jié)果

迭代方法實(shí)際最優(yōu)參數(shù)RMSE/nTMRE/%Tikhonov正則化迭代法0.39632.63126.76Landweber正則化迭代法1.94792.66886.85

圖5 頻域內(nèi)兩種正則化迭代法向下延拓的剖面對(duì)比圖Fig.5 Sectional comparison of two regularized iteration methods in the frequency domain(a)Tikhonov正則化迭代法延拓結(jié)果過(guò)異常中心的剖面對(duì)比;(b)Landweber正則化迭代法延拓結(jié)果過(guò)異常中心的剖面對(duì)比

圖6 頻域內(nèi)兩種正則化迭代法向下延拓的α-V(α)曲線Fig.6 The α-V(α) curves of two regularization iterative methods’ downward continuation in frequency domain(a)頻域Tikhonov正則化迭代法的v倍曲線；(b)頻域Landweber正則化迭代法的v倍曲線

對(duì)比表3和表4，再結(jié)合圖1～圖4，可以發(fā)現(xiàn)在兩種迭代法中，使用構(gòu)造泛函法均比使用L曲線法得到的參數(shù)更優(yōu)，均不同程度地提高了延拓精度；并且在這兩種正則化迭代法中，使用構(gòu)造泛函法選取的參數(shù)更接近實(shí)際最優(yōu)參數(shù)，延拓精度也更接近最優(yōu)延拓精度。對(duì)于Tikhonov正則化迭代法而言，使用構(gòu)造泛函法選取參數(shù)的延拓精度比使用L曲線法的延拓精度有大幅度提高；對(duì)于Landweber正則化迭代法而言，使用構(gòu)造泛函法選取參數(shù)的延拓精度比使用L曲線法的延拓精度有略微提高。從圖6中可以看出，在Tikhonov正則化迭代法中，V(α)曲線在α∈(0.15,0.6)時(shí)較為平緩，曲線在極小值點(diǎn)附近變化很??；而在Landweber正則化迭代法中V(α)曲線是明顯的先下降再上升的形態(tài)，在極小值點(diǎn)附近變化較為明顯。

3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

筆者使用美國(guó)地質(zhì)勘探局(USGS)海軍科學(xué)研究實(shí)驗(yàn)所(NRL)于2008年在阿富汗實(shí)測(cè)的航空磁力資料進(jìn)行數(shù)據(jù)處理檢驗(yàn)。從官方網(wǎng)站上所下載到的數(shù)據(jù)，已經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)預(yù)處理并被歸算到離地面5 000m的高度。我們截取了東經(jīng)64°～64.814°、北緯31°～31.814°之間的經(jīng)過(guò)交叉測(cè)線改正后的磁異常觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行延拓實(shí)驗(yàn)。試驗(yàn)中先將該區(qū)域內(nèi)的數(shù)據(jù)處理成點(diǎn)距為1km的88×88點(diǎn)的格網(wǎng)(延拓前的原始磁異常格網(wǎng))，然后將此格網(wǎng)向上延拓5倍點(diǎn)距后再向下延拓5倍點(diǎn)距至原高度，用向下延拓后的結(jié)果與原始實(shí)測(cè)格網(wǎng)異常數(shù)據(jù)進(jìn)行比較并統(tǒng)計(jì)精度。試驗(yàn)中使用區(qū)域場(chǎng)法對(duì)原始格網(wǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)邊，擴(kuò)邊點(diǎn)數(shù)為20個(gè)，對(duì)計(jì)算得到的結(jié)果再縮邊20個(gè)點(diǎn)得到向下延拓結(jié)果，向下延拓的實(shí)驗(yàn)方法與仿真數(shù)值試驗(yàn)方法相同。圖7為用于延拓實(shí)驗(yàn)的原始磁異常格網(wǎng)，圖8為分別使用L曲線法和構(gòu)造泛函法選取參數(shù)的Tikhonov正則化迭代法的延拓結(jié)果。圖9為分別使用L曲線法和構(gòu)造泛函法選取參數(shù)的Landweber正則化迭代法的延拓結(jié)果。Tikhonov正則化迭代法延拓結(jié)果過(guò)異常中心的剖面對(duì)比見(jiàn)圖10(a)，Landweber正則化迭代法延拓結(jié)果過(guò)異常中心的剖面對(duì)比見(jiàn)圖10(b)。表5為延拓前的原始磁異常格網(wǎng)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性，表6為實(shí)測(cè)航磁數(shù)據(jù)延拓實(shí)驗(yàn)的精度統(tǒng)計(jì)。

從表6中可以看出，在兩種迭代法中使用構(gòu)造泛函法選取參數(shù)的延拓精度都要優(yōu)于L曲線法。在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)中，基于L曲線法選擇參數(shù)的Tikhonov正則化迭代法的延拓精度明顯好于仿真實(shí)驗(yàn)，因?yàn)樯涎邮堑屯V波過(guò)程，平滑掉了原始數(shù)據(jù)中的高頻干擾，所以這一現(xiàn)象也說(shuō)明了Tikhonov迭代法抗干擾能力比Landweber迭代法差。

對(duì)比表3和表6，可以看到無(wú)論是仿真實(shí)驗(yàn)還是實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，在Tikhonov正則化迭代法中，使用構(gòu)造泛函法和L曲線法選出的參數(shù)相差較大，但是在Landweber正則化迭代法中，使用兩種方法選出的參數(shù)相差不大，這說(shuō)明在Tikhonov正則化迭代法中，構(gòu)造函數(shù)法選取參數(shù)的優(yōu)勢(shì)更加明顯，在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)中，所有方法的延拓精度都十分理想，平均相對(duì)誤差均小于7%，相比圖7，可以看到圖8和圖9中的延拓結(jié)果幾乎沒(méi)有明顯的畸變和邊界效應(yīng)。

圖7 原始磁異常數(shù)據(jù)格網(wǎng)Fig.7 The original magnetic anomaly data grid

觀測(cè)面高度/m最小值/nT最大值/nT平均值/nT標(biāo)準(zhǔn)差/nT5000(原始異常)-282.690859.8296-151.906166.6123

表6 實(shí)測(cè)航磁數(shù)據(jù)向下延拓實(shí)驗(yàn)精度統(tǒng)計(jì)

圖8 頻域Tikhonov正則化迭代法向下延拓結(jié)果等值線圖Fig.8 The contour map of Tikhonov regularization iterative method’s downward continuation results in frequency domain(a)L曲線法所選參數(shù)向下延拓結(jié)果；(b)構(gòu)造泛函數(shù)所選參數(shù)向下延拓結(jié)果

圖9 頻域Landweber正則化迭代法向下延拓結(jié)果等值線圖Fig.9 The contour map of Landweber regularization iterative method’s downward continuation results in frequency domain(a)L曲線法所選參數(shù)向下延拓結(jié)果；(b)構(gòu)造泛函數(shù)所選參數(shù)向下延拓結(jié)果

圖10 頻域內(nèi)兩種正則化迭代法向下延拓的剖面對(duì)比圖Fig.10 Sectional comparison of two regularized iteration methods in the frequency domain(a)Tikhonov正則化迭代法延拓結(jié)果過(guò)異常中心的剖面對(duì)比;(b)Landweber正則化迭代法延拓結(jié)果過(guò)異常中心的剖面對(duì)比

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)仿真數(shù)值實(shí)驗(yàn)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果進(jìn)行分析，得到以下結(jié)論：

1)在頻域內(nèi)使用正則化迭代法進(jìn)行向下延拓時(shí)，使用構(gòu)造泛函法選取的參數(shù)優(yōu)于使用L曲線法選取的參數(shù)，使用Tikhonov正則化迭代法時(shí)，構(gòu)造泛函法的優(yōu)勢(shì)更加明顯。

2)相比L曲線法而言,構(gòu)造泛函法的計(jì)算過(guò)程不涉及到求導(dǎo)運(yùn)算，計(jì)算過(guò)程更加方便快速，并且具有更好的延拓精度。

3)構(gòu)造泛函法選出的參數(shù)與實(shí)際最優(yōu)參數(shù)十分接近，且在兩種迭代法中選取參數(shù)的效果比較穩(wěn)定，不同數(shù)據(jù)的延拓精度處于同一個(gè)水平。

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