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        電導(dǎo)率連續(xù)變化二維海洋大地電磁場自適應(yīng)有限元正演研究

        2018-03-13 05:08:19潘林冬李予國
        物探化探計算技術(shù) 2018年1期
        關(guān)鍵詞:電磁場電導(dǎo)率電阻率

        潘林冬, 李予國,2*, 趙 慧

        (1.中國海洋大學(xué) 海洋地球科學(xué)學(xué)院,青島 266100;2.海底科學(xué)與探測技術(shù)教育部重點實驗室,青島 266100;3.國防科技大學(xué),長沙 410073)

        0 引言

        大地電磁測深法(MT)是地球物理學(xué)中的一種重要探測方法。它根據(jù)電磁感應(yīng)原理研究天然場源在大地中激勵的電磁場分布,并由觀測到的電磁場研究地球電性結(jié)構(gòu)。大地電磁測深法在地殼和上地幔地質(zhì)構(gòu)造研究等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-3],在石油天然氣勘探、地?zé)岷偷叵滤Y源調(diào)查等領(lǐng)域也發(fā)揮著重要作用[4-5]。1990年以來,大地電磁測深法已成功地應(yīng)用到大洋中脊和大陸架地質(zhì)構(gòu)造研究中[6-8]。

        巖礦石在形成過程中受濕度、含水率等多種因素的影響,這些因素將導(dǎo)致巖礦石的電導(dǎo)率連續(xù)變化[9]。電導(dǎo)率連續(xù)變化介質(zhì)大地電磁場正演方法研究始于20世紀80年代。Kao 等[10-12]提出了層狀介質(zhì)電阻率隨深度線性變化或指數(shù)變化時大地電磁場計算方法;徐世浙等[13]利用有限元法實現(xiàn)了一維分層電阻率連續(xù)變化介質(zhì)大地電磁場正演。近年來,電導(dǎo)率分塊連續(xù)變化介質(zhì)二維和三維電磁場模擬研究也取得了一些進展。李予國等[14]用有限元法模擬了電導(dǎo)率分塊連續(xù)變化二維大地電磁場響應(yīng);戴前偉等[15]討論了電導(dǎo)率分塊線性變化二維高頻大地電磁場有限元正演模擬;阮百堯等[16]提出了電導(dǎo)率連續(xù)變化三維電阻率測深有限元模擬方法;李勇等[17]用有限元法模擬電導(dǎo)率分塊連續(xù)變化三維可控源電磁場響應(yīng)。

        眾所周知,結(jié)構(gòu)網(wǎng)格難以精確模擬海底地形起伏和傾斜界面等復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造和地下復(fù)雜形狀異常體。近年來,基于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格剖分技術(shù)的自適應(yīng)有限元方法在大地電磁場和海洋可控源電磁場數(shù)值模擬中取得了很好的應(yīng)用效果[18-22]。趙慧等[23]研究了非結(jié)構(gòu)三角單元網(wǎng)格自適應(yīng)有限元海洋大地電磁場二維正演算法,它能夠真實地模擬海底地形起伏、傾斜界面等復(fù)雜地質(zhì)構(gòu)造和地下復(fù)雜形狀異常體,并能夠克服海水與海底圍巖巨大電阻率差異引起的數(shù)值模擬困難,提供可靠穩(wěn)定的數(shù)值解。在自適應(yīng)網(wǎng)格細化過程中,采用后驗誤差估計指導(dǎo)網(wǎng)格細化,只對具有較大局部誤差的網(wǎng)格進行細化,從而減少了計算內(nèi)存需求和節(jié)約了計算時間。我們將以上算法推廣到二維電導(dǎo)率連續(xù)變化介質(zhì)中,通過在有限元網(wǎng)格節(jié)點上進行電導(dǎo)率賦值,并且利用單元塊屬性區(qū)分開不同區(qū)域塊體同一邊界上的電導(dǎo)率賦值,使得它能夠模擬電導(dǎo)率連續(xù)變化介質(zhì)二維大地電磁場響應(yīng)。

        1 基本理論

        1.1 大地電磁場的邊值問題及有限單元法

        考慮二維大地電磁模型,假設(shè)在x軸方向電導(dǎo)率保持不變,z軸垂直地表指向地下。平行走向電磁場分量滿足如下偏微分方程[24]

        ▽·(τ▽u)+λu=0

        (1)

        其中:ω為角頻率;σ為電導(dǎo)率(S/m);介質(zhì)的磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7H/m。

        假定有限元模擬區(qū)域離二維不均勻體足夠遠,以致不均勻體產(chǎn)生的異常電磁場在其邊界上衰減為零。在模擬區(qū)域左、右邊界上可以采用Dirichlet邊界條件,其電磁場表達式在文獻[23]中已經(jīng)給出。

        二維大地電磁場邊值問題與下列泛函極值問題等價[23-24]。

        (2)

        其中:Ω為模擬區(qū)域;Γ為模擬區(qū)域Ω的邊界。

        筆者采用三角網(wǎng)格有限單元法求解上述變分問題,將模擬區(qū)域Ω剖分成ne個三角形單元。由此,方程(2)的積分就轉(zhuǎn)換為各個單元積分之和:

        (3)

        其中:Γe表示底邊界CD上的線段;e表示三角單元。

        在以往的數(shù)值模擬中,假定單元內(nèi)的電性參數(shù)(τ和λ)為常數(shù),即在單元內(nèi)電性是均勻的,電性參數(shù)保持不變,但是連續(xù)變化的電性參數(shù)可能更符合實際情況。在我們的算法中,假定單元內(nèi)電性參數(shù)(τ和λ)與電磁場u均是線性變化的,且可以近似為:

        (4)

        其中:ui、τi和λi分別是三角單元中第i(i=1,2,3)個節(jié)點上u、τ和λ的函數(shù)值;Ni是三角單元的形函數(shù),其表達式如式(5)所示。

        (5)

        a1=z2-z3,b1=y3-y2,c1=y2z3-y3z2

        a2=z3-z1,b2=y1-y3,c2=y3z1-y1z3

        (6)

        a3=z1-z2,b3=y2-y1,c3=y1z2-y2z1

        方程(3)中第一個單元面積分可以寫成式(7)。

        (7)

        其中:ue=(u1,u2,u3)T;K1e為單元矩陣

        (8)

        如果令式(8)中,τ1=τ2=τ3=τ,即得電性參數(shù)為常數(shù)情形的單元矩陣。

        方程(3)中第二個單元面積分可以表示為式(9)。

        (9)

        (10)

        如果令式(10)中,λ1=λ2=λ3=λ,即得電性參數(shù)為常數(shù)情形的單元矩陣K2e。

        圖1 線性插值三角單元Fig.1 Atriangular element

        (11)

        其中:K3e是一個3×3的對稱矩陣,其非零元素為:

        (12)

        其中:

        δ11=12τ1k1+3τ1k2+3τ2k1+2τ2k2

        δ21=3τ1k1+2τ1k2+2τ2k1+3τ2k2

        (13)

        δ22=2τ1k1+3τ1k2+3τ2k1+12τ2k2

        令式(13)中τ1=τ2=τ3=τ,k1=k2=k3=k,即得到CD邊上電性參數(shù)為常數(shù)時單元矩陣K3e的元素。

        計算得到每個單元的系數(shù)矩陣后,將其擴展和合并成總體系數(shù)矩陣為式(14) 。

        (14)

        于是得到泛函的離散形式為式(15)。

        (15)

        對方程(15)求變分得

        KU=0

        (16)

        方程(16)的系數(shù)矩陣是對稱的,但是奇異的。換句話說,需要代入邊界條件,線性方程組才是唯一可解的。代入邊界條件后,方程(16)變?yōu)槭?17)。

        (17)

        求解方程(17)即可得到電磁場平行走向分量。

        由上述有限單元法得到的平行走向電場或磁場值的精度與網(wǎng)格緊密相關(guān),合理可靠的離散網(wǎng)格設(shè)計是獲得高精度數(shù)值模擬結(jié)果的關(guān)鍵。對于簡單的地電模型,基于經(jīng)驗可以得到優(yōu)化離散網(wǎng)格,而對于復(fù)雜模型,僅憑研究者的經(jīng)驗難以取得優(yōu)化網(wǎng)格。新近發(fā)展起來的自適應(yīng)有限元法能夠自動細化網(wǎng)格,并提供可靠的數(shù)值解,該方法所涉及的主要技術(shù)是后驗誤差估計和自適應(yīng)網(wǎng)格細化。

        1.2 非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和自適應(yīng)有限元模擬技術(shù)

        非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格具有更好地模擬海底地形起伏和地下復(fù)雜異常體的能力;自適應(yīng)有限元模擬技術(shù)是指在得到的初始網(wǎng)格基礎(chǔ)上,利用基于梯度恢復(fù)的后驗誤差估計對需要提高精度的網(wǎng)格進行加密,使得到的解滿足精度要求。自適應(yīng)有限元模擬涉及的主要技術(shù)問題,是后驗誤差估計和自適應(yīng)網(wǎng)格細化。

        本文算法采用基于梯度恢復(fù)的后驗誤差估計方法對有限元網(wǎng)格進行評判,指導(dǎo)離散網(wǎng)格的細化,提高解數(shù)值的精度[25]。在L2范數(shù)條件下,恢復(fù)梯度與有限元解的梯度之差為給定單元上的局部誤差指示子:

        ηe=‖(R-I)▽uh‖L2(e)

        (18)

        式中:R為一個梯度恢復(fù)算子;I為單位算子;▽uh為有限元解的梯度;恢復(fù)梯度為R▽uh。Bank等[26]提出了一種新的超收斂梯度恢復(fù)算子R=SmQh,其中Qh為L2投影算子,m為光滑算子平滑迭代次數(shù)(通常取2)。采用平滑算子Sm對Qh▽uh進行平滑,uh為分段線性的,因此▽uh是分段常數(shù)。隨著單元減小,后驗誤差估計逐漸逼近真實的梯度誤差[26]。后驗誤差估計表達式為式(19)。

        ηe=‖(SmQh-I)▽uh‖L2(e)

        (19)

        基于局部誤差指示子的網(wǎng)格細化,對于獲得求解區(qū)域的精確解是合適的,可得到全局精度的解。但是在很多情況下,僅僅需要求得特定位置(如測點)的精確解[18]。如果想要減小測點處數(shù)值解的誤差,需要考慮整個區(qū)域?qū)植空`差的影響,可采用對偶加權(quán)誤差估計方法[27]解決這個問題。

        采用內(nèi)積形式,將方程(1)轉(zhuǎn)化成等價的變分問題,可得:

        B(u,v)=0

        (20)

        其中:

        (21)

        式中:TE模式時u=Ex,k=1,q=iωu0σ;TM模式時,u=Hx,k=1/σ,q=iωu0。

        定義泛函G為電磁場偏微分方程的精確解與有限元數(shù)值解的誤差u-uh的函數(shù),則有如下對偶方程為式(22)。

        B*(w,v)=G(v)

        (22)

        這里B*(w,v)是對偶或伴隨算子,假定B*(w,v)=B(v,w),則有

        G(u-uh) =B*(w,u-uh)

        =B(u-uh,w)

        =B(u-uh,w-wh)

        (23)

        其中:w和wh分別為對偶問題的解析解與有限元解。由式(23)可得:

        (R-I)▽uhdΩ

        (24)

        根據(jù)式(24),定義基于對偶加權(quán)的誤差指示子:

        (25)

        其中,

        (26)

        (27)

        自適應(yīng)有限元算法的基本思路如下:①將模擬區(qū)域進行初始剖分,產(chǎn)生一個粗糙的初始網(wǎng)格,并在該初始網(wǎng)格上進行有限元正演計算得到數(shù)值解;②計算每個單元的局部誤差,選取一定比例具有較大局部誤差的單元進行網(wǎng)格細化,產(chǎn)生一個新網(wǎng)格,并在新網(wǎng)格上進行有限元正演計算;③重復(fù)以上過程,直到有限元解滿足假定的收斂精度或達到最大網(wǎng)格細化次數(shù)為止。我們設(shè)定的細化網(wǎng)格百分比為5%,收斂精度為1%。具體操作流程如圖2所示。

        2 算例

        2.1 一維模型

        為了驗證本文算法的正確性及有效性,模擬一個三層地電模型(圖3)的大地電磁測深響應(yīng)。假定第一層和第三層的電導(dǎo)率分別為0.1S/m和0.01S/m,第一層的厚度為1 000m。第二層是厚度為500m的過渡層,其電導(dǎo)率隨深度線性增加。

        首先,按文獻[24]中一維電導(dǎo)率連續(xù)變化有限元理論編寫了程序;然后,對比程序計算結(jié)果與徐世浙《有限單元法》中的結(jié)果一致;最后,我們模擬電導(dǎo)率連續(xù)變化一維模型大地電磁場響應(yīng),并與一維電導(dǎo)率連續(xù)變化有限元算法結(jié)果進行比較。

        圖2 自適應(yīng)有限元正演算法流程圖Fig.2 Adaptive finite element forwarding algorithm flow chart

        圖3 一維電導(dǎo)率連續(xù)變化地電模型Fig.3 A 1D model with linear variation of conductivity

        圖4為筆者所述三角單元網(wǎng)格剖分自適應(yīng)有限元算法得到的大地電磁測深視電阻率曲線和相位曲線,與用文獻[13]一維有限元法及二維矩形網(wǎng)格剖分有限元方法所得計算結(jié)果的對比。由圖4可見,三種方法的計算結(jié)果非常一致。

        假定視電阻率相對誤差和相位絕對誤差為:

        (28)

        (29)

        圖4 一維層狀模型大地電磁響應(yīng)曲線Fig.4 Magretoele ctromagnetic response curve of one-dimensional layered model(a)視電阻率測深曲線圖;(b)相位曲線

        圖5 等效二維地塹模型Fig.5 Equivalent two-dimensional graben model(a)二維含電導(dǎo)率連續(xù)變化層地塹模型圖;(b)二維電導(dǎo)率分塊均勻體地塹模型

        2.2 二維地塹模型

        圖5(a)為一個四層地塹模型。第一層是電導(dǎo)率為3.333 3S/m,厚度為1 000m的海水層。第二層為500m厚的過渡層,其電導(dǎo)率隨深度線性增加:

        σ(z)=3.3333-3/500×(z-1000)

        (30)

        圖6 視電阻率隨周期變化曲線圖Fig.6 MT apparent resistivities for TE mode and TM mode(a)TE模式;(b)TM模式

        圖7 相位隨周期變化曲線圖Fig.7 MT impedance phase for TE mode and TM mode(a)TE模式;(b)TM模式

        2.3 復(fù)雜地電模型

        設(shè)計一個如圖8所示的復(fù)雜二維海洋地電模型,該模型關(guān)于y=0 m對稱。海水層電導(dǎo)率3.333 3 S/m,厚度為1 000 m。在海底下方,有兩個厚度各為1 000 m的電導(dǎo)率隨深度線性變化水平地層。第一層的電導(dǎo)率隨深度線性減少,由頂部處的3.333 3 S/m減小到底部處的0.333 3 S/m。第二層的電導(dǎo)率隨深度線性增加,由頂部處的0.333 3 S/m增加到底部處的1 S/m。海底下方第三層是電導(dǎo)率為1 S/m的半空間,但其中含有一個形態(tài)較復(fù)雜的二維異常體。該異常體由上、下兩部分組成,下面部分是電阻率為10 S/m的高導(dǎo)體,而上面部分電導(dǎo)率線性連續(xù)變化。

        圖9和圖10分別為圖8地電模型的初始網(wǎng)格和細化的最終網(wǎng)格,由圖9和圖10可以看出在接收站處網(wǎng)格得到了加密。

        我們模擬了該模型的大地電磁測深響應(yīng)。計算頻率范圍為10-4Hz~101Hz,計算頻率點均勻分布,每個數(shù)量級取10個頻點,總共計算了51個頻率的大地電磁場響應(yīng)。接收站在-15 000 m~15 000 m范圍內(nèi)按點距為500 m布設(shè)在海底,總共61個測點。

        圖8 二維復(fù)雜地質(zhì)體電導(dǎo)率連續(xù)變化地電模型Fig.8 A two-dimensional model with linear variation of conductivity

        圖9 二維復(fù)雜地質(zhì)體初始網(wǎng)格Fig.9 Initial mesh of two - dimensional complex geological

        圖10 二維復(fù)雜地質(zhì)體細化最終網(wǎng)格Fig.10 Two dimensional complex geological body refinement final mesh

        圖11為TE模式大地電磁測深視電阻率和相位斷面圖。由圖11可以很清楚地推斷出深部高導(dǎo)體(低阻體),也能看出海底下方兩個電導(dǎo)率連續(xù)變化的水平層。圖12為TM模式的視電阻率和相位斷面圖。對比圖11(a)和圖12(a)可知,TE模式深部視電阻率曲線是圈閉的,而TM模式視電阻率曲線在最下方并未圈閉,說明了TE模式對勾畫異常體的范圍效果更好些。

        圖11 TE模式視電阻率斷面圖和相位斷面圖Fig.11 TE mode apparent resistivity pseudosection and phase pseudosection(a) 視電阻率斷面圖;(b)相位斷面圖

        圖12 TM模式視電阻率斷面圖和相位斷面圖Fig.12 TM mode apparent resistivity pesudosection and phase pseudosection(a) 視電阻率斷面圖;(b)相位斷面圖

        3 結(jié)論

        研究了電導(dǎo)率連續(xù)變化二維介質(zhì)大地電磁場自適應(yīng)有限元正演算法。與電導(dǎo)率分塊均勻介質(zhì)數(shù)值模擬方法不同,我們在單元節(jié)點上進行電導(dǎo)率賦值,在不同區(qū)域塊體的相同邊界的節(jié)點電導(dǎo)率利用區(qū)域塊編號屬性來區(qū)分,單元內(nèi)各點處的電導(dǎo)率通過線性插值獲到,從而使得我們能夠模擬電導(dǎo)率線性連續(xù)變化介質(zhì)電磁場響應(yīng)。同時,由于采用了非結(jié)構(gòu)三角單元網(wǎng)格剖分技術(shù),我們的算法能夠更好地模擬復(fù)雜地電模型。

        致謝

        感謝外審專家提出的寶貴意見,感謝劉穎博士的幫助和討論。

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