， ， ，

(1.福建工程學(xué)院 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 福建 福州350118; 2.中國電子科技集團(tuán)公司第五十八研究所， 江蘇 無錫 214035； 3.福建對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息技術(shù)系， 福建 福州350016)

四旋翼無人飛行器(quadrotor UAV)是一種能夠垂直起降及以各種姿態(tài)飛行(如：懸停、前飛、側(cè)飛和倒飛等)的無人飛行器。相比傳統(tǒng)固定翼和直升機(jī)式無人飛行器，四旋翼無人飛行器具有體積小、重量輕、結(jié)構(gòu)簡單、可垂直起降等特點(diǎn)，近年來隨著微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)等技術(shù)的發(fā)展，四旋翼無人飛行器技術(shù)特別是微型四旋翼無人機(jī)技術(shù)快速發(fā)展得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。

隨著四旋翼無人飛行器應(yīng)用的發(fā)展，特別是高度受限環(huán)境等應(yīng)用對四旋翼無人飛行器在高度控制過程提出更高要求，如過程中快速到達(dá)給定位置，不能出現(xiàn)過大超調(diào)，且對外部擾動及參數(shù)不確定等影響具有自適應(yīng)補(bǔ)償與抑制能力，跟蹤誤差較小等。顯然，傳統(tǒng)的PID、LQ等[3-4]控制方法難以滿足要求。文獻(xiàn)[5-6]針對四旋翼無人飛行器設(shè)計(jì)反步滑模控制，其中文獻(xiàn)[6]利用模糊邏輯來優(yōu)化系統(tǒng)“抖振”，該方法能夠有效改善控制品質(zhì)，但未能徹底解決“抖振”問題。文獻(xiàn)[7]將非線性動態(tài)逆的思想設(shè)計(jì)跟蹤控制器來提高控制精度與魯棒性，但該方法未給出參數(shù)不確定及外部擾動下的測試結(jié)果。為進(jìn)一步提高控制品質(zhì)，自適應(yīng)控制方法被引入：Dydek等將模型參考自適應(yīng)控制應(yīng)用于四旋翼無人機(jī)的飛行控制中[8]，仿真與實(shí)驗(yàn)表明該方法通過對不確定參數(shù)的在線估計(jì)及補(bǔ)償能減小跟蹤誤差及超調(diào)，但該方法未考慮外部擾動影響。李勁松等引入自適應(yīng)優(yōu)化控制方法(adaptive control optimization, ACO)[9-10]，將控制問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，通過迭代優(yōu)化求最優(yōu)系統(tǒng)權(quán)系數(shù)，通過實(shí)驗(yàn)證明了該方法的有效性，但該方法穩(wěn)態(tài)誤差仍待改善，且缺少嚴(yán)格的理論分析。文獻(xiàn)[11]針對參數(shù)不確定設(shè)計(jì)了一種浸入與不變(immersion and invariance， I&I)自適應(yīng)控制方法，并通過仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法的有效性，但外部擾動影響下該方法有效性有待進(jìn)一步研究。文獻(xiàn)[12]針對模型誤差及外部擾動影響，基于Lyapunov方法設(shè)計(jì)了一種魯棒自適應(yīng)控制方法，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性，但其控制性能仍存在提升空間。此外，以上研究大都側(cè)重于軌跡跟蹤控制研究，沒有給出軌跡生成方法，因此無法判斷方法是否能實(shí)現(xiàn)快速到達(dá)給定位置且超調(diào)較小。

針對四旋翼無人飛行器在參數(shù)不確定及外部擾動影響下的高性能高度控制問題，以實(shí)現(xiàn)飛行器在約束空間內(nèi)的快速高度機(jī)動為目標(biāo)，綜合考慮高度機(jī)動軌跡規(guī)劃與控制問題。受文獻(xiàn)[13]等啟示，設(shè)計(jì)了一種基于CNF算法和自適應(yīng)非光滑控制方法的四旋翼無人飛行器高度控制方法，通過軌跡規(guī)劃和軌跡跟蹤控制相結(jié)合的方法克服模型誤差及外部擾動影響，實(shí)現(xiàn)快速、較小超調(diào)的高性能高度控制。

1 預(yù)備知識

1.1 四旋翼無人飛行器動力學(xué)模型

對于常見的“X”形四旋翼無人飛行器，假設(shè)：機(jī)身為剛性結(jié)構(gòu)體并呈對稱分布，螺旋槳為剛性體，轉(zhuǎn)動無形變且位置固定。記x、y、z是慣性坐標(biāo)系下飛行器的質(zhì)心位置；φ、θ、ψ是慣性坐標(biāo)系下飛行器的姿態(tài)角；Ix、Iy、Iz分別是機(jī)體繞三軸的轉(zhuǎn)動慣量；m為機(jī)體質(zhì)量；l為機(jī)體中心到旋翼中心的距離；b、d為旋翼的升力和阻力系數(shù)；g重力加速度；則其動力學(xué)模型可以描述為[1]：

(1)

其中，U1、U2、U3、U4分別是4個通道的虛擬控制量，由4個旋翼的轉(zhuǎn)速決定：

(2)

本文針對其中的高度控制問題開展研究，由理想動力學(xué)模型可知，四旋翼無人飛行器的垂直通道是一個與姿態(tài)存在耦合的二階系統(tǒng)，考慮實(shí)際應(yīng)用中存在的參數(shù)不確定及建模外因素影響，動力學(xué)模型可以描述為：

(3)

記pz=(mn+mu)/(bn+bu)，將式(3)變換為如下形式：

(4)

(5)

其中，pzn=mn/bn，Tzn=mngn/bn；pzu=m/b-pzn；Tzu=Tz-mngn/bn。

將式(5)整理為：

(6)

1.2 新形式Barbalate引理

對于一致連續(xù)函數(shù)x(t)，如果存在標(biāo)量函數(shù)V和M滿足如下條件[14]：

(1)V有下界;

(2)M為連續(xù)正定且徑向無界;

那么，當(dāng)t→時，x(t)→0。

2 高度軌跡生成與控制器設(shè)計(jì)

2.1 基于CNF的高度軌跡生成方法

實(shí)際飛行任務(wù)往往要求四旋翼無人飛行器快速到達(dá)指定高度，而在空間受限環(huán)境中，如：屋頂、懸掛物等影響下，飛行器高度機(jī)動過程中不容許出現(xiàn)嚴(yán)重超調(diào)(過度超過指定高度可能導(dǎo)致碰撞等危險)。因此需要預(yù)先進(jìn)行高度軌跡規(guī)劃，傳統(tǒng)采用的規(guī)劃方法往往沒有考慮飛行器的動力學(xué)特性且算法比較復(fù)雜。針對該問題，本文將利用CNF控制器的超調(diào)小，算法簡單的特點(diǎn)解決高度機(jī)動軌跡規(guī)劃問題，方法設(shè)計(jì)如下。

記：a1=(cosφcosθ)bU1/m，則式(1)中四旋翼無人飛行器的垂直通道動力學(xué)模型可以改寫為:

(7)

由于四旋翼無人飛行器物理結(jié)構(gòu)及動力設(shè)計(jì)的特點(diǎn)，其旋翼一般無法反轉(zhuǎn)，且旋翼存在最低轉(zhuǎn)速要求[9]，即0<ωmin≤ωi<ωmax,i=1,2,3,4，對于U1有：

0

(8)

則：

a1min-g≤az≤a1max-g

(9)

其中，a1max=a1|U1=U1max，a1min=a1|U1=U1min，且a1min-g<0。顯然存在α>0，使得-αg≤az≤αg成立，將以上關(guān)系作為高度軌跡規(guī)劃時的保守約束條件，則垂直通道的動力學(xué)模型應(yīng)該改寫為：

(10)

(11)

考慮常見的階躍高度控制問題，如式(10)和式(11)所示的高度軌跡規(guī)劃問題可以轉(zhuǎn)換為輸入受限的線性系統(tǒng)控制問題，可以設(shè)計(jì)復(fù)合非線性控制器CNF，并依據(jù)離散動力學(xué)模型通過遞推生成規(guī)劃軌跡。具體步驟如下：

步驟1 根據(jù)CNF控制器設(shè)計(jì)方法，分別設(shè)計(jì)控制器的線性控制和非線性控制部分。

u=uL+uN

(12)

其中線性控制器部分為：

uL=Fx+Gr

(13)

非線性控制器部分為：

uN=ρ(r,y)BTP(A+BF)[x-xe]

(14)

其中：

(15)

ρ(r,y)=-η(e-[1-y/r]-0.367 9).

(16)

受篇幅所限分析及證明過程省略，詳見文獻(xiàn)[13-14]。

步驟2 將系統(tǒng)離散化

首先將動力學(xué)方程整理為狀態(tài)空間方程形式，即：

(17)

離散化可以得到：

(18)

最后，根據(jù)設(shè)計(jì)得到的CNF控制器及當(dāng)前高度、給定高度等，只需選定參數(shù)α、F和η(調(diào)整上升時間和超調(diào)，可以根據(jù)工作環(huán)境及要求離線預(yù)先生成，參數(shù)選定方法詳見文獻(xiàn)[13-14])，再根據(jù)離散狀態(tài)空間方程、狀態(tài)初值及控制律(式(12)-(16))遞推生成高度軌跡。

2.2 自適應(yīng)非光滑控制器設(shè)計(jì)與分析

利用CNF方法可以生成到達(dá)指定高度的合理軌跡，為了使飛行器按照給定軌跡到達(dá)指定高度，需要設(shè)計(jì)一個高性能的高度軌跡跟蹤控制器，控制器需要克服應(yīng)用中常見的參數(shù)不確定及外部擾動等影響因素。因此，本文將設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)非光滑控制器，sig(ξ)α=|ξ|αsign(ξ)設(shè)計(jì)步驟如下：

步驟1 控制器設(shè)計(jì)

(19)

為保證ζ1收斂，選取虛擬控制量為：

β=x2r-k1sig(ζ1)α

(20)

其中，設(shè)計(jì)參數(shù)k1>0，0<α<1。

將式(20)代入式(17)得：

(21)

進(jìn)一步選取Lyapunov函數(shù)：

(22)

(23)

將式(6)代入并整理得：

(24)

選擇控制為：

(25)

其中，設(shè)計(jì)參數(shù)k2>0。則式(24)可以改寫為:

(26)

步驟2 自適應(yīng)律設(shè)計(jì)

根據(jù)式(26)，如果?。?/p>

(27)

顯然有：

(28)

(29)

定理考慮由系統(tǒng)(式(5))，控制器(式(25))及自適應(yīng)律(式(29))所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)，當(dāng)t→，ζ1→0、ζ2→0，即x1→x1r、x2→x2r。

證明 定義標(biāo)量函數(shù)：

M(ζ1,ζ2)=k1ζ1sig(ζ1)α+k2ζ2sig(ζ2)α

(30)

根據(jù)式(28)易得：

(31)

結(jié)合定義及式(20)有：

(32)

將式(24)代入式(6)并整理可得：

(33)

結(jié)合定義有：

(34)

根據(jù)定義(30)，M(ζ1,ζ2)為連續(xù)正定且徑向無界。根據(jù)1.2中引理可得：當(dāng)t→時，ζ1→0、ζ2→0，即x1→x1r、x2→x2r。

(35)

這里：λ為很小正數(shù)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

圖1 四旋翼無人機(jī)高度控制Simulink模型Fig.1 Simulink model of altitude control for quadrotor UAV

圖2 高度軌跡規(guī)劃結(jié)果Fig.2 Results of altitude trajectory plan

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)非光滑高度控制的性能，設(shè)計(jì)如下系列實(shí)驗(yàn)：(1)α=1.0，且自適應(yīng)律關(guān)閉時，即將控制器退化為普通的反步控制器，這里簡稱為Controller 1；(2)α=0.9，且自適應(yīng)律關(guān)閉時，即將控制器退化為普通的非光滑控制器，這里簡稱為Controller 2；(3)α=1.0，且自適應(yīng)律開啟時，即將控制器退化為普通的反步控制器，這里簡稱為Controller 3；(4)α=0.9，且自適應(yīng)律開啟時，這里簡稱為Controller 4；圖3給出了4種實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比情況，可以看出Controller 1控制品質(zhì)最差；相比之下Controller 2控制品質(zhì)有所改善；由于自適應(yīng)律的作用，Controller 3和Controller 4的控制品質(zhì)相比Controller 1和Controller 2有明顯提高，二者相比，最大跟蹤誤差相比：Controller 3最大跟蹤誤差為0.278 7 m，而Controller 4為0.227 3 m；穩(wěn)定階段跟蹤誤差相比：Controller 3穩(wěn)定段誤差振幅為0.047 1 m，Controller 4為0.027 1 m。顯然Controller 4的控制品質(zhì)更佳。因此，自適應(yīng)非光滑控制對于參數(shù)失配及外部擾動具有更好的魯棒性。

圖3給出了4種仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果及對比情況。

圖3 高度控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.3 Results of altitude control experiments

可以看出Controller 1控制品質(zhì)最差；相比之下Controller 2控制品質(zhì)有所改善；由于自適應(yīng)律的作用，Controller 3和Controller 4的控制品質(zhì)相較Controller 1和Controller 2有明顯提高，二者相比，最大跟蹤誤差方面：Controller 3最大跟蹤誤差為0.278 7 m，而Controller 4為0.227 3 m，穩(wěn)定階段跟蹤誤差方面：Controller 3穩(wěn)定段控制誤差振幅為0.047 1 m，而Controller 4為0.027 1 m。綜上，Controller 4的控制品質(zhì)最佳，自適應(yīng)非光滑控制對于參數(shù)失配及外部擾動具有更好的魯棒性，可以實(shí)現(xiàn)更高精度的高度軌跡及定高控制。

注2：由于忽略了外部擾動的時變性，因此自適應(yīng)非光滑無法實(shí)現(xiàn)完美補(bǔ)償。

注3：本文所提出自適應(yīng)非光滑控制方法運(yùn)行過程中，理論上只能保證跟蹤誤差趨于零，但無法保證估計(jì)結(jié)果收斂于真實(shí)值。研究表明，只有輸入信號滿足持續(xù)激勵條件時估計(jì)值才會逼近真值[15]。

進(jìn)一步為考察分?jǐn)?shù)冪次對自適應(yīng)非光滑控制的影響，選擇α為1.0、0.9、0.8、0.7，重復(fù)上述仿真實(shí)驗(yàn)(其他參數(shù)不變，具體參數(shù)見上文)，結(jié)果及對比如圖4所示。由結(jié)果可知減小α，可以減小最大跟蹤誤差與穩(wěn)定段誤差(見表1，其中“比例”一項(xiàng)指不同α值時的誤差與α=1.0時的誤差之比)。對于實(shí)際應(yīng)用中α過小可能會引起系統(tǒng)抖顫，因此α需要根據(jù)實(shí)際情況做出選擇。

表1不同α?xí)r高度控制誤差對比

Tab.1Comparisonoferrorsofaltitudecontrolwithdifferentα

α最大誤差比例/%穩(wěn)定段誤差振幅/m比例/%1．00．27861000．04711000．90．253791．10．038281．10．80．227381．60．027157．40．70．199471．60．016434．8

圖4 不同α?xí)r高度控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.4 Results of altitude control experiments with different α

4 結(jié) 語

針對動力學(xué)參數(shù)及外部擾動影響下的四旋翼無人機(jī)高度控制問題展開研究。設(shè)計(jì)了一種基于CNF與自適應(yīng)非光滑控制的高度控制方法，并借助仿真及對比驗(yàn)證本文方法的有效性。結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)方法可以快速地實(shí)現(xiàn)高度軌跡規(guī)劃，且所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)非光滑高度軌跡控制方法可以有效改善控制品質(zhì)，算法簡單易于實(shí)現(xiàn)，無需準(zhǔn)確的系統(tǒng)參數(shù)，適合應(yīng)用于高度受限環(huán)境中的四旋翼無人機(jī)的高度控制。

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