(重慶交通大學(xué) 重慶 400074)

一、引言

有這樣一個問題：5個海盜搶得100枚金幣，他們按抽簽的順序依次提方案：首先由1號提出分配方案，然后5人表決，不少于半數(shù)同意方案才被通過，否則他將被扔入大海喂鯊魚，依此類推。假定“每個海盜都是絕頂聰明的、兇殘的、貪婪的”，那么“第一個海盜提出怎樣的分配方案才能夠活下來并使自己的收益最大化？”

采用簡單的博弈論與遞推關(guān)系模型即可得出結(jié)論：1號海盜能活下來，他分給3號1枚金幣，分給5號海盜1枚，自己獨(dú)得98枚[4]。

然而當(dāng)上述問題中的海盜和金幣數(shù)取足夠大時，問題會變得十分復(fù)雜，常規(guī)方法已不適用。因此，通過建立數(shù)學(xué)模型求解此問題是十分必要的。

本文就海盜和金幣數(shù)量較大，并且海盜數(shù)大于金幣數(shù)的情況下，對“海盜分金幣”的拓展模型進(jìn)行了求解。拓展問題如下：

有n個海盜，按兇狠程度排名老大、老二……老n，他們搶來m個金幣(n>m，且n足夠大)。現(xiàn)在老大提出一種分配方案，然后大家投票，如果有不少于50%的人支持，就按照他提出的方案分。否則，將老大扔下海(下海即被鯊魚吃掉)，由老二來分，依此類推。

其中，海盜都是絕頂聰明的(任何一種情況大家都能想到)，是兇殘的(在利益相同的情況下沒有人情味)，是貪婪的(在條件允許下，誰給的利益多就支持誰，并使自身利益最大化)。問：當(dāng)n,m為任意正整數(shù)時,最多有多少海盜能活下來？

二、模型的建立與求解

(一)問題分析

當(dāng)海盜和金幣的數(shù)量不大時，通過分析發(fā)現(xiàn)在某些情況下必存在一個海盜，無論怎樣分配金幣都不能使自己活下來?；诤１I是絕對聰明的，可假設(shè)一種情況：某些海盜可以利用“組團(tuán)”的方法活下來，即后面的某些海盜通過與其前面的部分海盜進(jìn)行“聯(lián)合”便能活下來。故以此假設(shè)為切入點(diǎn)，通過一定方法計算進(jìn)行“組團(tuán)”方式活下來的海盜數(shù)量，進(jìn)而求得可以活下來的海盜總數(shù)。

有這樣的規(guī)律：第奇數(shù)個海盜d后面的海盜總數(shù)為偶數(shù)(包括海盜d)，第偶數(shù)個海盜c后面的海盜總數(shù)為奇數(shù)(同上)。如果有奇數(shù)個海盜(計為λ)來“分贓”(λ：進(jìn)行“分贓”的海盜總數(shù))，則分配金幣的海盜要活下來，至少需要拿出0.5(λ-1)個金幣來賄賂后面的海盜才能使支持率滿足要求，但海盜是貪婪的，故他只會拿出0.5(λ-1)個金幣，即每個海盜只分1個金幣。

如果有偶數(shù)個海盜(計為(λ+1))來“分贓”，則分配金幣的海盜要能活下來，至少需拿出0.5(λ+1)-1個金幣來賄賂后面的海盜即可使支持率符合要求，可海盜是貪婪的，他也僅會拿出0.5(λ+1)-1個金幣，即每個海盜只分1個金幣。

因此有結(jié)論1：第奇數(shù)個海盜和第偶數(shù)個海盜在能活下來的前提下，都只會拿出0.5(λ-1)個金幣給后面的海盜。

受遞推關(guān)系模型啟發(fā)，本文從倒數(shù)第三個海盜起進(jìn)行分析。

(二)“組團(tuán)”海盜數(shù)量的分析與計算

1.海盜數(shù)量為偶數(shù)

假設(shè)海盜人數(shù)n取偶數(shù)，對第奇數(shù)個海盜和第偶數(shù)個海盜進(jìn)行“配對”(奇數(shù)在前，偶數(shù)在后)，如第n-3、n-2個海盜組合在一起，第n-5、n-4個海盜組合，依次類推(本文所述的‘第幾個海盜’均為按正序排列，例如：n-3

一共有m個金幣，并且金幣數(shù)少于海盜數(shù)，假設(shè)第ω個海盜成為第一個需采取與前面的海盜“組團(tuán)”的方式才能活下來的人?？梢钥闯鲋苯诱页鲞@個人不容易，為此采用間接方式：

記第ω海盜的后面一個海盜為第η個海盜(η=ω+1)，η必定也是無法獲得金幣的。假設(shè)海盜η能分到金幣，那么意味著第ω海盜依然可以通過分配金幣的形式活下來，而無需合作，這與假設(shè)矛盾，故第η個海盜不能拿到金幣。

按照上文所述的“配對”的方法和結(jié)論1，可得結(jié)論2：海盜η必定是第奇數(shù)個海盜。

故此時由偶數(shù)個海盜來分贓，則有：

0.5[(n-η)+1]-1=m

得：η=n-(2m+1)

ω=n-(2m+2)

因此從第n-(2m+2)個海盜開始實(shí)行“組團(tuán)”策略。

2.海盜數(shù)量為奇數(shù)

假設(shè)海盜人數(shù)n取奇數(shù)(n足夠大)，則第奇數(shù)個海盜a后面的海盜總數(shù)為奇數(shù)(包括海盜a)，第偶數(shù)個海盜b后面的海盜總數(shù)為偶數(shù)(包括海盜b)。

從后往前，依舊從倒數(shù)第三個海盜開始分析，對第偶數(shù)個海盜和第奇數(shù)個海盜開始“配對”(奇數(shù)在前，偶數(shù)在后)，如第個n-3、n-2海盜組合在一起，第n-5、n-4個海盜組合……

易知，人數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)的“分贓”情況是相同的。經(jīng)計算，仍然是從第η=n-(2m+2)個海盜開始“組團(tuán)”。

綜上，在海盜數(shù)、金幣數(shù)為任意正整數(shù)n、m時(n>m)，第一個需要發(fā)起“組團(tuán)”才能活下來的是第n-(2m+2)個海盜?？梢钥闯霎?dāng)n≤2m+1時，不存在“組團(tuán)”的必要，此時全部海盜都能活下來。下文僅討論n≥2m+2的情況。

(三)模型求解

確定第一個發(fā)起采取“組團(tuán)”策略的海盜后，再來確定其需要聯(lián)合多少海盜。下文所用未知數(shù)含義如下。

xi+1(i=1，2，3……)：從后往前，第i次組團(tuán)成功后能活下來的海盜總數(shù)；

n-xi：第i次組團(tuán)時，這個團(tuán)體中等級最高的海盜；

ki(i=1,2,3……n)：提出“組團(tuán)”的海盜所需聯(lián)合的其他海盜的數(shù)量；

ki+1：第i個團(tuán)體的總?cè)藬?shù)；

假設(shè)第n-(2m+2)個海盜聯(lián)合了從第n-x1個海盜起的k1+1個海盜，則有(n-(2m+2))-(n-x1)=k1,化簡得:

x1=k1+2+2m

(1)

為使支持率更容易滿足要求，所以m個金幣均分給后面合適的海盜[4]。由支持率不小于一半的條件得：因海盜是兇殘而無人情味的，得：

2(m+k+1)≥x1+1

(2)

聯(lián)解(1)、(2)得：ki=1

再看第n-(x1+1)個海盜，假設(shè)其聯(lián)合了從第n-x2個海盜開始的k2+1個海盜。所以(n-(x1+1))-(n-x2)=k2

化簡得

x2=k2+x1+1

(3)

再結(jié)合(1)、(3)得：k2=x1-2m=3

(4)

余下的海盜按照上面同樣的方法進(jìn)行“組團(tuán)”，直至在固定的海盜人數(shù)的限制條件下，找不到足夠的需要聯(lián)合的人數(shù)ki。

利用ki與xi的關(guān)系得：

ki=k1+k2+…+ki-1+2+i-2

(5)

xi=k1+k2+……+ki+2+2m+i-1

(6)

采用求解數(shù)列遞推公式的方法計算(5)、(6),得：

ki=2i-1

(7)

xi=2i+1+2m-1

(8)

停止“組團(tuán)”的條件為：第n-(xi+1)個海盜前面的人數(shù)不足ki+1，這時從第n-xi個海盜之后的所有海盜都能活下來。由(7)、(8)得：

n-(xi+2)

解得：

i=log2(n-2m)-2，且i∈Z+

所以

i=[log2(n-2m)]-1，“[]”代表取整

活下來的海盜數(shù)h最多為：

h=xi+1=2i+1+2m，i=[log2(n-2m)]-1

三、結(jié)論

設(shè)海盜數(shù)與金幣數(shù)分別為n，m；支持率要求大于或等于50%時，活下來的海盜最多為：

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