孟勤超，楊翠麗，喬俊飛

（1. 北京工業(yè)大學(xué) 信息學(xué)部，北京 100124; 2. 北京工業(yè)大學(xué) 計(jì)算智能與智能系統(tǒng)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

給水管網(wǎng)是城市重要基礎(chǔ)設(shè)施，是整個(gè)城市得以生存和發(fā)展的命脈[1]。同時(shí)，給水管網(wǎng)投資巨大，往往占到整個(gè)供水系統(tǒng)的60%～80%，而且還涉及龐大的運(yùn)行動(dòng)力費(fèi)和運(yùn)行管理費(fèi)[2]。

給水管網(wǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，一般是在工程資金投入有限的情況下，尋求滿足用戶用水需求，且使整個(gè)系統(tǒng)的造價(jià)最低可靠性最高的設(shè)計(jì)方案。因此，管網(wǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)直接影響到整個(gè)供水系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)性和可靠性[3]。由于管網(wǎng)系統(tǒng)的非線性和管徑的離散性，管網(wǎng)的多目標(biāo)優(yōu)化求解十分困難，成為了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。文獻(xiàn)[4]第一個(gè)將結(jié)構(gòu)化混合遺傳算法(structured messy genetic algor-ithm, SMGA)應(yīng)用到給水管網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化中，并將系統(tǒng)造價(jià)最低、收益最大作為兩個(gè)目標(biāo)，求得了一系列非支配解，但是SMGA算法的求解效率和所得解的多樣性較差。文獻(xiàn)[5]建立了以管網(wǎng)造價(jià)最小、管網(wǎng)壓降最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型，并采用多目標(biāo)粒子群算法(multi-objective particle swarm optimization algorithm, MOPSO)進(jìn)行優(yōu)化，但是MOPSO算法不適合離散變量的優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)[6]建立了以管網(wǎng)造價(jià)最小、水質(zhì)最優(yōu)為目標(biāo)的優(yōu)化模型，且采用多目標(biāo)遺傳算法(multi-objective optimization genetic algorithm, MOGA)進(jìn)行管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，其研究的重點(diǎn)主要為管網(wǎng)模型的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[7]以管網(wǎng)造價(jià)最低、可靠性最高為目標(biāo)，建立了3個(gè)目標(biāo)的管網(wǎng)優(yōu)化模型，并采用快速非支配排序遺傳算法(nondominated sorting genetic algorithm II, NSGA-II)優(yōu)化管網(wǎng)模型，取得了較好的效果，但是NSGA-II算法容易陷入局部最優(yōu)，使獲得的解分布不均勻。

目前，智能優(yōu)化算法在解決管網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中取得了廣泛的應(yīng)用，但解的多樣性和收斂性不好是其存在的主要問(wèn)題，因此提高多目標(biāo)優(yōu)化算法解的多樣性和收斂性成為重要的研究方向[8-10]。文獻(xiàn)[11]提出了強(qiáng)度帕累托進(jìn)化算法(strength Pareto evolutionary algorithm 2, SPEA2)，通過(guò)引入密度估計(jì)策略和歸檔集截?cái)嗨惴ǎ瑥囊欢ǔ潭壬咸岣吡怂惴ń獾亩鄻有院褪諗啃?。文獻(xiàn)[12]提出的NSGAII算法，其快速非支配排序和擁擠距離策略提高了多樣性和收斂性。這兩種算法均能從一定程度上提高算法的性能，但是都將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題作為一個(gè)整體優(yōu)化。因此當(dāng)目標(biāo)數(shù)大于2時(shí)，這兩種算法的搜索性能急劇下降。文獻(xiàn)[13]提出了基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(multi-objective evolutionary algorithm based on decomposition, MOEA/D)，將一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題分解為多個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)同時(shí)優(yōu)化所有的單目標(biāo)子問(wèn)題，提高了算法解的多樣性和收斂性。但是，對(duì)于具有不同Pareto前沿的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，MOEA/D卻使用了相同的權(quán)值向量。文獻(xiàn)[14]基于支配和分解的框架，在NSGA-II算法基礎(chǔ)上，結(jié)合一組提前設(shè)定的參考點(diǎn)，提出了NSGAIII算法。雖然NSGA-III算法進(jìn)一步提高了解的多樣性和收斂性，但是其收斂速度依然較慢，而且固定的參考點(diǎn)使得具有不同Pareto前沿的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題難以達(dá)到相同的優(yōu)化效果。

本文采用SPEA2算法[11]作為基礎(chǔ)，結(jié)合NSGAIII中基于支配和分解的思想，提出了一種基于參考向量的強(qiáng)度帕累托進(jìn)化算法(strength Pareto evolutionary algorithm 2 based on reference vectors, RVSPEA2)，其目的是提高算法的多樣性和收斂性，并采用文獻(xiàn)[7]的3個(gè)目標(biāo)作為管網(wǎng)優(yōu)化模型，將其應(yīng)用到雙環(huán)管網(wǎng)、紐約管網(wǎng)以及實(shí)際的管網(wǎng)優(yōu)化案例中。

1 給水管網(wǎng)優(yōu)化模型描述

給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的是在滿足用戶用水需求的前提下，使管網(wǎng)經(jīng)濟(jì)性最低和可靠性最高，并求出最優(yōu)管線直徑。本文中采用管網(wǎng)造價(jià)作為經(jīng)濟(jì)性目標(biāo)，節(jié)點(diǎn)富余水頭總和與節(jié)點(diǎn)富余水頭方差作為可靠性目標(biāo)，建立給水管網(wǎng)優(yōu)化模型。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

為了簡(jiǎn)化管網(wǎng)優(yōu)化計(jì)算，本文采用管網(wǎng)造價(jià)作為經(jīng)濟(jì)性目標(biāo)，其目標(biāo)函數(shù)如式(1)：

式中：Z為管網(wǎng)總造價(jià)；Dj、Lj分別為第j根管段的直徑、長(zhǎng)度；Cj(Dj)為管徑為Dj的管段的單位長(zhǎng)度造價(jià)；P為管網(wǎng)中管段總數(shù)。

管網(wǎng)的可靠性目標(biāo)可用節(jié)點(diǎn)富余水頭總和與節(jié)點(diǎn)富余水頭方差表示。其相關(guān)定義如下。

每個(gè)節(jié)點(diǎn)的富余水頭Isi計(jì)算如式(2)：

式中：Hi為管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)i的水壓標(biāo)高；Hmin為管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)所要求的最小自由水壓；I為管網(wǎng)中節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

給水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)富余水頭總和Is為

節(jié)點(diǎn)富余水頭均值Is為

節(jié)點(diǎn)富余水頭方差S為

因此，給水管網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化模型可表示為

管網(wǎng)總造價(jià)Z越小，表明管網(wǎng)系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)性越高。節(jié)點(diǎn)富余水頭Is是指節(jié)點(diǎn)自由水頭超過(guò)節(jié)點(diǎn)所要求的最小自由水頭的部分水頭，它與管網(wǎng)水壓呈線性關(guān)系。在滿足管網(wǎng)約束的條件下，節(jié)點(diǎn)富余水頭越小，管網(wǎng)水壓就越低。節(jié)點(diǎn)富余水頭總和越大，即管網(wǎng)水壓總和越大，一方面反映了資源浪費(fèi)的情況，另一方面也代表了管網(wǎng)存在爆管的危險(xiǎn)。另外，節(jié)點(diǎn)富余水頭方差S反映了管網(wǎng)中各節(jié)點(diǎn)富余水頭的分布情況。節(jié)點(diǎn)富余水頭方差越大，說(shuō)明了管網(wǎng)中各節(jié)點(diǎn)壓力分布不均，亦存在爆管的危險(xiǎn)。因此，節(jié)點(diǎn)富余水頭總和與節(jié)點(diǎn)富余水頭方差越小，表明管網(wǎng)系統(tǒng)可靠性越高。

1.2 約束條件

除了優(yōu)化目標(biāo)之外，給水管網(wǎng)的優(yōu)化還必須滿足下列約束條件。

1) 節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性約束管網(wǎng)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足：

式中：A為節(jié)點(diǎn)關(guān)系矩陣，g為與該節(jié)點(diǎn)相連的管段流量，G為節(jié)點(diǎn)流量。

2) 能量平衡約束

管網(wǎng)中閉合回路水頭損失代數(shù)和為零，即

式中：ΔHk為閉合回路l中管段k的水頭損失，L是管網(wǎng)中所有閉合回路。

3) 節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性約束

管網(wǎng)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足

式中：Hi為節(jié)點(diǎn)i的水頭，Hmin和Hmax分別為節(jié)點(diǎn)最小水頭和最大水頭。

4) 能量平衡約束

管網(wǎng)中每個(gè)管段直徑應(yīng)滿足：

式中：Dj為管段j的直徑，D1～Dm為標(biāo)準(zhǔn)管徑。

2 基于參考向量的強(qiáng)度帕累托進(jìn)化算法RVSPEA2

本文基于SPEA2算法，與基于支配和基于分解的選擇機(jī)制相結(jié)合，提出了一種基于參考向量的強(qiáng)度帕累托進(jìn)化算法(RVSPEA2)，旨在進(jìn)一步提高算法解的多樣性和收斂性，以解決給水管網(wǎng)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。

2.1 基于參考向量的選擇機(jī)制

在SPEA2算法的環(huán)境選擇過(guò)程中，當(dāng)前種群中所有的非支配解被放入外部歸檔集中。如果外部歸檔集|Qt|≥N(預(yù)設(shè)值)，則通過(guò)最小距離截?cái)嗨惴▌h除個(gè)體，直至|Qt|=N；如果外部歸檔集|Qt|＜N(預(yù)設(shè)值)，則隨機(jī)選擇支配解放入外部歸檔集，直至|Qt|=N。而在RVSPEA2中，當(dāng)外部歸檔集|Qt|＜N時(shí)，引入?yún)⒖枷蛄?，根?jù)非支配解與參考向量的關(guān)系，有目標(biāo)地選擇支配解放入外部歸檔集，其選擇機(jī)制將在本節(jié)中詳細(xì)介紹。

2.1.1 自適應(yīng)目標(biāo)歸一化

在實(shí)際的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中，各目標(biāo)的范圍往往差別很大，其對(duì)優(yōu)化結(jié)果影響巨大[15]。因此，為了解決目標(biāo)范圍不同的優(yōu)化問(wèn)題，RVSPEA2采用了一種簡(jiǎn)單的目標(biāo)歸一化方法，即對(duì)于第j代種群的第i個(gè)目標(biāo)函數(shù) fi,j(x)，其歸一化如式(11)：

2.1.2 參考向量的生成

為了探索和開發(fā)整個(gè)搜索空間，RVSPEA2采用了一種簡(jiǎn)單且有效的方法用于生成參考向量。首先，在整個(gè)歸一化目標(biāo)空間生成Km個(gè)參考點(diǎn)，其中m為目標(biāo)個(gè)數(shù)，K的計(jì)算公式如式(12)：

圖 1 當(dāng)m=3，K=3時(shí)歸一化空間中的27個(gè)參考點(diǎn)Fig. 1 Twenty-seven reference points on the normalized objective space for a three-objective problem with K=3

2.1.3 關(guān)聯(lián)操作

生成參考向量后，將種群中每個(gè)成員都關(guān)聯(lián)一個(gè)參考向量。首先，計(jì)算種群成員與每一個(gè)參考向量的垂直距離，如式(13)所示。與每個(gè)成員垂直距離最近的參考向量將與該成員相關(guān)聯(lián)，如式(14)：

式中：q 為種群成員，w 為參考向量，d⊥(q;w)代表q 與w 的垂直距離，∥·∥代表向量的模，R 為參考向量集合，函數(shù)argmin 可計(jì)算出當(dāng)目標(biāo)函數(shù)d⊥(q;w)最小時(shí)的變量值w。

圖 2 當(dāng)m=3，K=3時(shí)歸一化空間中的參考向量Fig. 2 Reference vectors on the normalized objective spacefor a three-objective problem with K=3

2.1.4 環(huán)境選擇操作

經(jīng)過(guò)關(guān)聯(lián)操作后，一個(gè)參考向量可能會(huì)有一個(gè)或多個(gè)種群成員與之相關(guān)聯(lián)，甚至沒有種群成員與之相關(guān)聯(lián)[16]。當(dāng)外部歸檔集|Qt|＜N時(shí)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)已有成員所關(guān)聯(lián)的參考向量，排除這部分參考向量，從剩余參考向量所關(guān)聯(lián)的種群成員中選擇成員填滿外部歸檔集。當(dāng)外部歸檔集|Qt|≥N時(shí)，則依然通過(guò)最小距離截?cái)嗨惴▌h除個(gè)體[6]，直至|Qt|=N。通過(guò)參考向量選擇可以保證算法初期優(yōu)化解的多樣性，避免算法陷入局部最優(yōu)；而在算法后期，在保證算法收斂性的同時(shí)，通過(guò)最小距離截?cái)嗨惴ǎM(jìn)一步提高算法的多樣性。

2.2 算法流程及性能測(cè)試

設(shè)種群大小為N，最大進(jìn)化代數(shù)為T，RVSPEA2算法的具體流程如下：

1) 初始化種群P0和外部歸檔集Q0，進(jìn)化代數(shù)t=0；

2) 合并 Pt和 Qt為 Qt+1；

3) 計(jì)算種群Qt+1中各成員的適應(yīng)度；

4) 通過(guò)選擇機(jī)制，從Qt+1中選出N個(gè)成員；

5) 進(jìn)行錦標(biāo)賽選擇配對(duì)、單點(diǎn)交叉和均勻變異操作，得到Pt+1；

6) 計(jì)算t=t+1，并判斷算法的終止條件，若滿足則進(jìn)行下一步，否則轉(zhuǎn)至2)；

7) 通過(guò)選擇機(jī)制選出N個(gè)非支配解，并輸出結(jié)果。

為了驗(yàn)證算法的性能，將RVSPEA2算法與SPEA2、NSGA-II和MOEA/D進(jìn)行對(duì)比，用于優(yōu)化雙環(huán)管網(wǎng)和紐約管網(wǎng)，其布局圖分別如圖3和圖4所示，其節(jié)點(diǎn)水壓和管段長(zhǎng)度等詳細(xì)數(shù)據(jù)參照文獻(xiàn)[17]。為了比較算法所得解的多樣性和收斂性，本文采用了以下3個(gè)性能指標(biāo)。

圖 3 雙環(huán)管網(wǎng)Fig. 3 Two-loop network

圖 4 紐約管網(wǎng)Fig. 4 New York Tunnels network

1) IGD(inverted generational distance)[18]

IGD的定義如式(15)，其中P*為一組均勻分布在Pareto前沿上的解，P為算法所求得的非支配解，d(x, P)代表解x與P中解的最小歐式距離。如果P*中解的數(shù)量足夠多，IGD在一定程度上能同時(shí)反映解的多樣性和收斂性。IGD的值越小，算法所得解的多樣性和收斂性越好。

2) GD(generational distance)[19]

GD的定義如式(16)所示，其用于計(jì)算非支配解與Pareto前沿之間的距離。GD的值越小，算法所得解的收斂性越好。

3) SP(spacing)[20]

SP用于計(jì)算非支配解中相鄰解之間距離的方差，其公式如式(17)：

對(duì)于雙環(huán)管網(wǎng)問(wèn)題，RVSPEA2算法具體參數(shù)設(shè)置如表1所示，為了公平對(duì)比，SPEA2、NSGA-II和MOEA/D的參數(shù)設(shè)置與本文所提算法相同，每種算法均獨(dú)立運(yùn)行30次。表2列出了SPEA2、NSGA-II、MOEA/D與本文提出的RVSPEA2算法優(yōu)化雙環(huán)管網(wǎng)的結(jié)果。從表2中可以看出，在IGD、GD和SP 3個(gè)指標(biāo)的均值上，本文提出的RVSPEA2算法都優(yōu)于其他算法，說(shuō)明在雙環(huán)管網(wǎng)問(wèn)題上，RVSPEA2算法所得解的多樣性和收斂性最好。

表 1 雙環(huán)管網(wǎng)和紐約管網(wǎng)參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameters of two-loop network and New York tunnels network

對(duì)于紐約管網(wǎng)問(wèn)題，RVSPEA2算法具體參數(shù)設(shè)置如表1所示，SPEA2、NSGA-II和MOEA/D的參數(shù)設(shè)置與RVSPEA2算法相同，每種算法均獨(dú)立運(yùn)行30次。表3列出了SPEA2、NSGA-II、MOEA/D與本文提出的RVSPEA2算法優(yōu)化紐約管網(wǎng)的結(jié)果。從表3中可以看出，本文提出的RVSPEA2算法在IGD、GD和SP這3個(gè)指標(biāo)的均值上，都優(yōu)于其他算法。因此，在紐約管網(wǎng)問(wèn)題上，RVSPEA2算法所得解的多樣性和收斂性也優(yōu)于SPEA2、NSGAII和MOEA/D算法。

表 2 雙環(huán)管網(wǎng)優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimization results for two-loop network

表 3 紐約管網(wǎng)優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization result for New York tunnels network

通過(guò)雙環(huán)管網(wǎng)和紐約管網(wǎng)的測(cè)試，驗(yàn)證了本文提出的RVSPEA2算法在解決管網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)上的性能。

3 工程實(shí)例

現(xiàn)將RVSPEA2算法應(yīng)用于實(shí)際管網(wǎng)中。本實(shí)例為北京市某高校給水管網(wǎng)設(shè)計(jì)工程，管網(wǎng)布局如圖5所示，管網(wǎng)中有1個(gè)水源、43個(gè)節(jié)點(diǎn)和60條管線。RVSPEA2算法參數(shù)設(shè)置如表4所示。圖6畫出了RVSPEA2算法所求出的非支配解。在實(shí)際工程應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際工程情況和決策者的經(jīng)驗(yàn)，在保證供水基本可靠及居民正常用水的情況下，合理地選擇一個(gè)施工方案。針對(duì)該實(shí)際工程問(wèn)題，本文給出3個(gè)施工方案以供決策者選擇，如表5所示。當(dāng)資金有限時(shí)，應(yīng)選擇造價(jià)較低的方案，如方案A；當(dāng)資金充足、管網(wǎng)可靠性更重要時(shí)，可采用節(jié)點(diǎn)富余水頭總和小、節(jié)點(diǎn)富余水頭方差小的方案，如方案C；當(dāng)資金和管網(wǎng)可靠性同等重要時(shí)，可選擇方案B。

圖 5 工程實(shí)例Fig. 5 Engineering example

表 4 工程實(shí)例參數(shù)設(shè)置Table 4 Parameters for engineering example

圖 6 工程實(shí)例的非支配解Fig. 6 Non-dominated solutions for engineering example

表 5 3種不同情況下的施工方案Table 5 Construction schemes for three different cases

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)管網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，本文結(jié)合選擇機(jī)制中支配和分解的思想，提出了一種基于參考向量的強(qiáng)度帕累托進(jìn)化算法——RVSPEA2。該算法通過(guò)在目標(biāo)空間中生成均勻分布的點(diǎn)，生成一組參考向量，并基于SPEA2算法的選擇機(jī)制，將進(jìn)化產(chǎn)生的解與各參考向量相關(guān)聯(lián)，通過(guò)參考向量配合支配強(qiáng)度進(jìn)行解的選擇，提高了算法解的多樣性和收斂性。兩個(gè)經(jīng)典管網(wǎng)的驗(yàn)證表明了RVSPEA2算法解決管網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的有效性。最后，本文將RVSPEA2算法應(yīng)用于工程實(shí)例，并給出3種施工方案以供決策者選擇。

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